Корнилов, В. Е.

Electronic archive of Tomsk Polytechnic University

И З В Е С Т И ЯТОМСКОГО ОРДЕНА ОКТЯБРЬСКОЙ РЕВОЛЮЦИИ И ОРДЕНА ТРУДОВОГОКРАСНОГО ЗНАМЕНИ ПОЛИТЕХНИЧЕСКОГО ИНСТИТУТА имени С. М. КИРОВАТом 205 1972П Р И Л О Ж Е Н И Е  Ц Е П Н Ы Х  Д Р О Б Е Й  К В Ы Ч И С Л Е Н И Ю  Е-Ф У Н К Ц И И  М А К -РО БЕ РТ АВ. Е . КО РН И ЛО В(Представлена кафедрой высшей математики Томского политехнического института)В настоящей статье Е-функция М ак-Роберта (1) представляется в виде 'суммы подходящих дробей и остаточного члена, для которого дана оценка в области вещественного переменного * > 0 .В статье применяются сокращенные обозначенияу =  x:Q...t),  (а)п = а (а +  1), (а)0 =  1.Д л я  Е-функции М ак-Роберта  ([1], стр. 200)Е( +,.арIip1 ,р?:л) =  [дс] =I  ^ + » u n -  х » і , р > < 1 + 1 ,и .iüLoг (Рі +  т).Г (ро +  т)\ xпараметры которой удовлетворяю т неравенствам. . . >  а р >  1, Рі >  . . . >  р„,Pi >  Р „ > Ѵ  (2 )имеет место следую щ ая  теорема.Теорема. Функция (1) с параметрами (2) может быть представ­лена в виде следующей р — 1 кратной суммы подходящих дробей:Е \ х \ =  Г .е д . Л Д а Д  x  Г (P1) - T  (р,)+ (3)t t y  T i  Qin(Xp-I)Коэффициенты а Х(М (u =  I , . . . ,  р — \, р =  1,..., п) в равенстве (3) имеют все положительные значения ( [2], стр. 5, 24) и ввиду ([3], стр. 28, (7)), ([4], стр. 23, (5)) определяю тся согласно равенствамП  ( 1 4 -— ) — У] Cn -— -  =  Qz (х )>[1=1 V ащ>- Iк=0 (а 4 ка Ж1 >  ... >  а ж„ >  О, U = I , . . . ,  p  — q .ß' П  f l  +  —  )  -  i «  <*-’ "  +  * - , h x* =  Q1, (x). (4)|1_0 V aI+ K=o (an)<c1 >  «rti >  ... >  a * „  > 0 ,  T.= p — q +  I , . . . ,  1.155P  2п ( Ящъ)I ,+ . ,  р  —  д ;a^ d x  ^ 2n  ^ а^ѵ)\п —1 л—ас—I ^__  ]^л-ас-ал — 1p in Y )  =  2 ^ + 1 2  Ся/C=O т =0P 2п ( ^Ча)(атс +  п — к — т — 1)AC +  1Ьк\У.-- d[ Q  2/7 (  ß + j . ) ]dxЛ — 1 Л — A C - I=  V x k- 1 V  Cl+ m jrJ -  1)K=O т = 0  (я ^  +  т ) к + 1 (p, T Z = P - q +  I , . . . ,  p — I; P 2nD  =( 5 )m (P r.—p + q4  U l)/c+m + lОстаточный член Rpn(x ) в равенстве (3) меньш е суммы 0, 1,..., р — 1 кратных сумм:R  A v ^ r ( g I ) - r K )  R p n  \ Х ) < .  -  Г1 (Pi)-- t Qq)п+  2п\(ах4  I ) n q 2nblmn\4 - 4(а2 +  1)я (Xi) qm6lm...6p_0_i j At!___________= 1  Y p ~Q J  Y n  Я2п(х р —)  Я‘2п + 1 ( X p - q  + l )n  n^ 2 - 2 - 4 (6)+  У  ... vm=l oB\ (Pq)nYp F Y n  Qin (Q2n+] (Xp_i)B неравенстве (6) многочлены и Q2n+i ( x )  и коэф ф ициен­ты X0,..., Хр_і следую щ ие:Я2П + 1 (X) Xkк = 0 (а* ~f~ 1 )к, I t =  I,..., P - C 1. Y )Qw (X) =  V c ; .П к ( ?K—p +  q 4" U-)кк = 0 ( а * 4  1 )кX«, TZ  = P  —  q +  1,..., /7 — 1.X0 =  ^  — X, X1 _  Pl--PffX2.. Лр OTi ...CTpUlmX, . . . , (8)TCp-Q- 1 -- Pl • • -Ра7^ XaIm--aP-I Vар-?+і ..л ра1т...(Xp-q-i jД оказательство . На основании ([ 1 [, стр. 201,(3)) и стр. 72, (IO)y (12 ))  представим функцию (1) кратным интегралом:E [x] = 1Г (Рі —  «/>-<7+1 )---r (Pff — 0O  .taP~l XX  (I — tyq~ap~] dt... J* s"p-ff+i_1 ( I — s)Pi- 4-ff+i -1 dx X0OO OOX  Г r * p - q ~ l e ~ r dr.f  n " ! - 1 j 1 4  v " d )(9)x  j156Последний интеграл равенства (9) ввиду ([5], стр. 144) и ([3], стр. 28) представим суммой подходящ ей  дроби и остаточного члена:OOXE [х] =  Ip -î jО' Pin (Уі) ,■н...Л -1e ~ * d v <  I  P ^ T ( X 1) X, a i >  I, Уi.= ■w(10)I «2л ( У і )К +  1)„«2л(Уі)«2/1+і(Уі)J Второе слагаемое неравенства (10) вычисляется до конца и мень ше первого слагаемого неравенства (6)/ р_ і Г  (CL1) п\  О Д  К ) - + К О ДК + 1 )л « 2 л(У і )« 2 л + і( Ух )  T ( P 1) - - P ( P 17) 'п\X ------------------------------------------ , Ух =  —(a I +  1)„ «2л Ю « 2л + і Ы  W( H )Д л я  доказательства неравенства (11) ввиду равенств (15) преобра­зуем ее левую  частьI р _ I til I р—2 Г  (Ot2) П\( а і  +  1)« «2 П (У і ) « 2л+1 (Ух) (ax +  I )nqu  (y 2) «2л+ 1 (y2)" a ’ Г (VUx) I++  / p_2r ( a 2) Ѵ - О Д  I S i  xEIim« 2k ( y :+ )X = IIim Ръі 1 11L «2к (у:8х) I  +  8 X Р 2  ИI +  Т х Р г<(12)</ р - 2 Г (a2) га! =  у_К + | ) „ « 2 л ( У 2) «2л+ і ( У 2) ’ 3 a 2Д л я  доказательства неравенства (12) получим несколько формул. 1). Располож им корни подходящ и х  дробей в порядке  возрастания Ti <  ••• <  Тл, 8х < - - - < 8и> тогда ввиду ([2], стр. 15) и (15) Т х > 8х> ^ =  =  1 гаѴ ^ < Ы ^ _ , „ = 1 і 2 ...... 0 < У < о о .«2к(у:тх) «2к (у :8х)(13)2). П оследовательности четных п одходящ и х  дробей являются в о з ­растаю щ им и последовательностями ([5], стр. 12)IhK (У) ^ Рік+2 ( у )  к  =  j 2«2к (У ) «2к+2 (У )(14)3). Второе слагаемое правой части неравенства (10) ввиду (4), (5), (.7) и ([6], стр. 374, (67)) преобразуем  следую щ им  путем:  »! _  + л + і( У і )  + „ ( У )(Я1 +  1) л«2л( Уі )  «2л + 1 (У, )  «2л + 1 ( У J ) «2л (У)1 X^ _  V ’X _Уі x S  1 +  Тх+ 1  S i  I +  3x: y t(15)= ^  a i. Px-Tx- N +л!.1 1 +  Тх: У і  х = і 1 +  8х:ух ( а і +  1)л1574) Ввиду неравенств (13) и (14) получим еще несколько неравенствУ + Тха2<<У +  7х(«2 — £)У<Рік+2 (у:тх)?2к+2(у:7х)р 2к+2 ( у \ )Гк  =  1 ,2 , . . .S >  0.(16)( 1 7 )У +  8ха2 У +  8X (а2 — £) <72к + 2Далее, ввиду неравенств (13), (14), (16) и (17), сумма, располо­женная в фигурных скобках левой части неравенства (12), удовлетво­ряет неравенствуPt« (У:7х) Уп'Ѵ —X=I іх n— V<  у  -l im .-*"*°° ?2л (У:Тд)Um f e W  8 q 2K( y : \ )vТх«2 JX=I Ix< (18)п2 *X=I_У +  Tx (а2 — г) УУ +  Тха2-V_У +  8X (а 2 £) У T- °Ха 2= F (у).П равая часть неравенства (18) ввиду (4), (7) и (15) имеет неп оло  ж ительное значениеF (У) =п\(a I +  1 )п a. Я2п + 1Уa0 —  s/г!(otI +  1 )/і 9-2/1 ( ~  92/1 + 1 ( —а 0< 0 , (19)поэтому, ввиду неравенств (18) и (19), справедливо такж е и неравенст­во (12).П реобразуя аналогично вышеизложенному р — 2 кратный интеграл Ip-2 правой части неравенства (12), а такж е ввиду ([7 ] ,  стр. 312, (9 )) ,  ( [4 ] ,  стр. 23, (5)) и (9), мы получим неравенство (11).Первое слагаемое праівой части неравенства (10) представим в ви­де суммы элементарных дробей. Интеграл от каж дой элементарной дроби в свою очередь будет опять являться интегралом такого же ви ­да, как  и последний интеграл правой части равенства (9) и т. д.Последовательное интегрирование элементарных дробей один раз и остаточных членов до конца и представление интегралов от элемен­тарных дробей подходящими дробями и остаточными членами и опять следующее интегрирование элементарных дробей и т. д. приведет нас к формуле (3) и оценке остаточного члена согласно формуле (6), что и требовалось доказать.Л И ТЕРА ТУ РА1. Г. Б е й т м е н  и А. Э р д е й и .  Высшие трансцендентные функции (гипергео- метрическая функция, функции Лежандра). М., Физматгиз, 1965.2. Т. И. С т и л т ь е с .  Исследования о непрерывных дробях. М., ОНТИ, 1936.3. В. Е. К о р н и л о в .  Применение цепных дробей к вычислению некоторых видов интегралов. «Изв. ТПИ», т. 131, стр. 26—30, Томск, 1965.1584. В. Е . К о р н и л о в .  Приложение цепных дробей к вычислению интегралов от биномных дифференциалов. «Изв. ТПИ». т. 131, стр. 21—25, Томск, 1965.5. А. Н. Х о в а н с к и й .  Приложение цепных дробей и их обобщений к вопросам приближенного анализа. М., ГИ ТТЛ , 1956.6. В. И. С м и р н о в .  Курс высшей математики, т. 3, ч. 2, М., ГИ ТТЛ, 1953.7. H. Н. Л е б е д е в .  Специальные функции и их приложения. М., Гостехиздаг, 395?.

Приложение цепных дробей к вычислению Е-функции Мак-Роберта

Abstract

Similar works

Full text

Available Versions

Electronic archive of Tomsk Polytechnic University