Построены кубатурные формулы (4p-1)-й и (4p+1)-й степени точности для вычисления интегралов по поверхности сферы четырехмерного пространства. Показано, что в полученных формулах достигнута максимально возможная алгебраическая степень точности. Также построены кубатурные формулы 4-й и 6-й степени точности

Шамсиев, Э. А.

Electronic archive of Tomsk Polytechnic University

61. Рассмотрим в четырехмерном евклидовомпространстве R 4 группу Gm, полученную прямымпроизведением группы всех ортогональных преобразований правильного mугольника на себя.Известно [1], что кольцо инвариантных формгруппы Gm порождается базисными инвариантными формамигде Пm − базисная инвариантная форма степени mгруппы преобразований правильного mугольника. Определим условия, при выполнении которыхдля сферы S3={x∈R4| x12+x22+x32+x42=1} существует кубатурная формула (2m−1)й степени точности, инвариантная относительно группы Gm [2. С. 130] вида(1)где Dk и tk определялись бы как параметры квадратурной формулы Гаусса или ГауссаМаркова для отрезка [0,1] с постоянным весом(2)Имеют место следующие утверждения.Теорема 1. Пусть m=2p. Кубатурная формула (1)имеет алгебраическую степень точности 4p−1, если (2)является квадратурной формулой Гаусса с N=p узлами.Теорема 2. Пусть m=2p. Кубатурная формула (1)имеет алгебраическую степень точности 4p−1, если(2) является квадратурной формулой ГауссаМаркова с N=p+1 узлом при t1=0 и tp+1=1.Теорема 3. Пусть m=2p+1. Кубатурная формула(1) имеет алгебраическую степень точности 4p+1,если (2) является квадратурной формулой ГауссаМаркова с N=p+1 узлом при t1=0 или tр+1=1.Доказательство. На поверхности сферы S3 одиниз базисных инвариантных форм второй степенилинейно выражается через второй, например:x12+x22=1−(x32+x42).Поэтому на S3 линейно независимыми многочленами степени не выше 2m−1, инвариантными относительно группы Gm, являются:Подставляя в кубатурную формулу (1) вместоf(x) многочлен (x32+x42)q, при выполнении условийтеорем 1−3, получаем точные равенстваС другой стороны, подставляя в кубатурной формуле (1) вместо f(x) многочлен Пm(x3,x4), получаем (3)2 23 3 3012 2(cos , sin2 ( 2)2 2cos , sin(2 1) (2 1)(cos , sin)) .mmmjmdm m mj jm mj jm mππ πϕ ϕ ϕπ ππ π=Π ≅+ +Π +− −Π×  ×    + ∫∑2 22 21 1.q qπ π=+ +2 21 2 3 4 1 2 3 42 2 2 23 4 3 4 3 4, , ,1, , 0,1, 2, ...,21 10,1, 2, ..., 1, ãäå öåëàÿ ÷àñòü .2 2( , ) ( , ) ( , )( )( , )( ) ( ) ,lm m ml qmmlm mq mx x x x x x x xx x x x x xΠ Π Π−Π =− −= − −+ + +    110( ) ( ).Nk kkt dt D tϕ ϕ=≅∑∫( )32 120 1 , 1,( 1(2 ) (2 )cos , 1 sin ,(2 ) (2 )cos , sin )N mkn k i jSkkk kf x ds D fmti n i ntm mj n j nt tm mππ ππ π= = =≅ − ×− −× −− −∑ ∑ ∑∫2 2 2 21 2 3 41 2 3 4, , ,( , ) ( , ),m mx x x xx x x x+ Π + ΠЕстественные наукиУДК 519. 644О НЕКОТОРЫХ КУБАТУРНЫХ ФОРМУЛАХ ДЛЯ ТРЕХМЕРНОЙ СФЕРЫЭ.А. Шамсиев Ташкентский государственный технический университет Email: shamciev_tstu@mail.ruПостроены кубатурные формулы (4p−1)й и (4p+1)й степени точности для вычисления интегралов по поверхности сферы четырехмерного пространства. Показано, что в полученных формулах достигнута максимально возможная алгебраическая степеньточности. Также построены кубатурные формулы 4й и 6й степени точности.Естественные науки7Сократив на , заметим, что (3) являетсяформулой прямоугольников с числом узлов, равным 2m, которая точна для всех многочленов степени не выше 2m−1 и, следовательно, для многочлена Пm(x3,x4) тоже.К аналогичному заключению придем, если вкубатурной формуле (1) вместо f(x) подставим многочленыТак как кубатурная формула (1) инвариантнаотносительно группы Gm и точна для всех инвариантных многочленов степени не выше 2m−1, то согласно теореме С.Л. Соболева, она имеет алгебраическую степень точности, равную 2m−1. Теоремыдоказаны.Пусть p=1 и m=2 кубатурная формула (1) имееттретью степень точности и содержит 8 узлов, чтосовпадает с нижней границей для числа узлов [2. С. 203] (Теорема 1).Пусть p=1 и m=3. Тогда кубатурная формула (1)имеет пятую степень точности и содержит 24 узла,что на 4 единицы превышает соответствующуюнижнюю границу (Теорема 3).Пусть p=2 и m=4. Тогда кубатурная формула (1)имеет алгебраическую степень точности, равную 7 исодержит 48 узлов, что на восемь единиц превышаетсоответствующую нижнюю границу (Теорема 2).В общем случае построенные кубатурные формулы при более простой конструкции содержат вдва раза меньше узлов, чем формулы аналогичнойстепени точности, получаемые методом повторного применения квадратурных формул.Теорема 4. Не существует кубатурной формулывида (1), алгебраическая степень точности которойбыла бы выше, чем 2m−1. Доказательство. Плоскости отражения группыGm задаются уравнениями [3]Перемножая левые части первых m уравнений ивозводя в квадрат полученное выражение, получаем многочлен P 2(x1, x2) степени 2m. Этот многочленнеотрицателен S3 и поэтому, интеграл от него поэтой области положителен. С другой стороны,подставляя P 2(x1, x2) в кубатурную формулу (1), получаем нулевое значение, так как узлами кубатурной формулы служат вершины и середины правильного mугольника, лежащие на осях симметрии. Отсюда следует, сколь бы мы увеличиваличисло точек в формуле (1), она не будет давать точное значение многочлена P 2(x1, x2).Теорема доказана.2. Можно построить и другие кубатурные формулы, инвариантные относительно группы Gm.Построим кубатурную формулу 4й степени точности для S3.Линейно независимые инвариантные многочлены группы G3 до 4й степени таковы:(4)Кубатурную формулу 4й степени точности будем искать в виде(5)где a(1)=(1, 0, 0, 0), b(1)=(0, 0, 1, 0), c(1)=(√1−p2, 0, p, 0).Требуя, чтобы кубатурная формула (5) была точнадля многочленов (4), получаем следующую системунелинейных алгебраических уравнений:Решая систему, находимСледующая кубатурная формула 6й степениточности инвариантна относительно группы G5:Здесь a(1)=(1,0,0,0), b(1)=(0,0,1,0), c(1)=( 0, 0).1 ,32 ,3( )( ) ( )( ) ( )32 512 25 51 12 25 251 1(11 6 12)( ) ( )6011 6 (9 3)( ) ( )60 120(9 3) 9( ) ( ).120 100iiSi ii ii ji jf x ds f af a f bf b f cππ ππ π== == =−≅ −−− − + +++ − +∑∫∑ ∑∑ ∑2 221 28 1, , , .6 9 27 2A A B C pπ π π= = − = = = −21 22 21 232 2243 3 3 9 23 3 9 1 (1 4 ) 03 9 0 .3 93 92A A B CA A p p CB p CB p CB p Cπππ + + + = − + − − = + = + = + =( )( ) ( ) ( )33113 3 921 1 1( ) ( )( ) ( ) ( ),iiSi i ji i jf x ds A f aA f a B f b C f c== = =≅ ++ − + +∑∫∑ ∑ ∑3 2 3 2 2 2 2 2 21 1 2 3 3 4 3 4 3 41, 3 , 3 , , ( ) .x x x x x x x x x x− − + +1 23 4sin cos 0,sin cos 0, 0, 1, 2,..., 1.km kk kx xm mk kx x k mm mπ πηπ πη += − == − = = −2 2 2 21 2 1 2 3 4 3 4 3 4, ,( , ) ( , )( ) ( , )( ) .10,1,2,..., .2l lm m mx x x x x x x x x xmlΠ Π Π+ +− =   22mπ+СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ1. Носков М.В. Кубатурные формулы для приближенного интегрирования периодических функций / В кн.: Кубатурные формулы и функциональные уравнения. − Л.: Издво ЛГУ, 1985. −С. 15−24 (Методы вычислений. − Вып. 14).2. Мысовских И.П. Интерполяционные кубатурные формулы. −М.: Наука, 1981. − 336 с. 3. Игнатенко В.Ф. О плоских алгебраических кривых с осями симметрии // Укр. геометр. сборник. − 1978. − Вып. 21. − С. 31−33.

О некоторых кубатурных формулах для трехмерной сферы

Abstract

Similar works

Full text

Available Versions

Electronic archive of Tomsk Polytechnic University