National audienceCet article propose une amélioration du comportement des techniques de filtrage dans les modèles d'état non linéaires. Pour cela, on introduit des techniques de filtrage de type Kalman étendu, "sans parfum" ou particulaire qui exploitent en particulier la concaténation des équations d'état et d'observation afin de limiter les effets des non linéarités dans la propagation de l'état et d’améliorer l’estimation de l'état 'instant antérieur. On vérifie que les performances obtenues par ces nouveaux algorithmes améliorent souvent les algorithmes de filtrage classiques correspondants

Chonavel, Thierry

HAL-Université de Bretagne Occidentale

Ame´lioration du filtrage non line´aire dans les mode`lesd’e´tat par re´-estimation de l’e´tat passe´Thierry ChonavelTo cite this version:Thierry Chonavel. Ame´lioration du filtrage non line´aire dans les mode`les d’e´tat par re´-estimation de l’e´tat passe´. 23e e´d. du colloque GRETSI, Sep 2011, Bordeaux, France. 2011.<hal-00725203>HAL Id: hal-00725203https://hal.archives-ouvertes.fr/hal-00725203Submitted on 24 Aug 2012HAL is a multi-disciplinary open accessarchive for the deposit and dissemination of sci-entific research documents, whether they are pub-lished or not. 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Pour cela,on introduit des techniques de filtrage de type Kalman étendu, "sans parfum" ou particulaire qui exploitent en particulier la concaténationdes équations d’état et d’observation afin de limiter les effets des non linéarités dans la propagation de l’état et d’améliorer l’estimation del’état ’instant antérieur. On vérifie que les performances obtenues par ces nouveaux algorithmes améliorent souvent les algorithmes de filtrageclassiques correspondants.Abstract – In this paper, we propose improvements of nonlinear filtering techniques. To this end, we consider extended, uncented and particlebased approaches that account for concatenation of state and observation equations to limit the effect of non-linearities approximations in statepropagation and enable improved state vector estimate at the previous instant. We check that obtained performances often improve the results offiltering with these techniques, compared to the classical filtering counterparts.1 IntroductionDans cet article, on considère un modèle d’état non linéaire,décrit avec les notations classiques suivantes :xt+1 = ft+1(xt,vt+1) équation d’étatyt = ht(xt,nt). équation d’observation(1)Historiquement, dans le cas linéaire décrit par Kalman [8] etdans les travaux ultérieurs, que les modèles soient ou non liné-aires et/ou gaussiens, il est d’usage de décomposer le problèmedu filtrage en deux étapes successives : une étape de prédictionet une étape de filtrage, mettant ainsi en œuvre l’équation d’étatpuis l’équation d’observation. Ce schéma se retrouve en parti-culier dans le filtrage de Kalman étendu (EKF), le filtrage deKalman sans parfum (UKF) [6], ou dans des mises en œuvredu filtrage particulaire [3].Afin d’améliorer l’estimation de l’état, la technique la plusefficace consiste éaliser un lissage. Le lissage peut être envi-sagé au moyen de techniques récentes performantes [4, 2]. Ce-pendant, pour certaines applications les contraintes de temps-réel peuvent imposer une estimation immédiate de l’état ’ins-tant courant et donc de mettre en œuvre un filtrage de l’état.Afin d’améliorer le filtrage, diverses techniques ont été consi-dérées afin d’intégrer la connaissance de l’observation dansl’étape de prédiction. C’est le cas notamment avec les versionsparticulaires de l’EKF ou de l’UKF [9] ou des techniques ité-ratives inspirées de l’algorithme de Kalman étendu itéré [1, 5].Dans cet article, nous mettons en évidence l’intérêt qu’il peuty avoir à ré-estimer la valeur de l’état passé au vu de l’obser-vation courante. En effet, a différence du cas linéaire, et du faitdes approximations mises en jeux dans les traitements non li-néaires, la ré-estimation de l’état courant artir d’un état passélissé conduira n état actuel filtré différent de celui qui aurait étéobtenu par l’itération classique de la prédiction et du filtrage,même lorsque le prédicteur intègre la connaissance de l’obser-vation.On commencera ici par proposer des formules de filtragedans les modèles d’état non linéaires, basées respectivementsur l’approximation de Taylor au premier ordre et sur la trans-formation sans parfum des fonctions du modèle, et qui mettenten jeu une ré-estimation de l’état ’instant précédent. Dans cetteapproche, nous procédons simultanément ne estimation du bruitd’état ’instant courant. Ces algorithmes qui combinent l’esti-mation de l’état avec la ré-estimation de l’état précédent sontnommés respectivement CEKF (EKF Combiné) et CUKF (UKFCombiné). Ils sont présentés dans les paragraphes 2 et 3. Nousavons également développé des versions particulaires de cesfiltres combinés, conduisant aux filtres CPEKF et CUPF quisont les pendants des filtres PEKF et UPF [9], versions parti-culaires de l’EKF et de l’UKF, qui seront présentées au para-graphe 4.Dans le paragraphe 5, on présente le comportement de cesfiltres sur quelques exemples pour lesquels on montre qu’ilspeuvent améliorer les performances des filtres classiques cor-respondants.2 Filtre CEKFNotons kt la combinaison des fonctions ft et ht :yt = ht(ft(xt−1,vt),nt) = kt(xt−1,vt,nt), (2)et pˆ l’approximation gaussienne de la loi de probabilité p. Pourévaluer pˆ(xt|y1:t) = N (xt;xt|t,Pt|t), la loi approchée de l’étatsachant y1:t = {y1, . . . ,yt}, on commence par évaluer un es-timateur lissé xt−1|t de xt−1 ainsi qu’une version filtrée vt|tdu bruit d’état au moyen de l’approximationpˆ(xat−1|y1:t) = N (xat−1;xat−1|t,Pat−1|t) (3)de p(xat−1|y1:t), où xat−1 = [xTt−1, vTt ]T représente un étataugmenté. Notonskx,t =∂kt∂x, kv,t =∂kt∂v, kn,t =∂kt∂n, hn,t =∂ht∂n.(4)On suppose que xt−1 ∼ N (xt−1|t−1,Pt−1|t−1),vt ∼ N (vt,Qt) et nt ∼ N (nt,Rt) et on noteyt|t−1 = kt(xt−1|t−1,vt,nt), (5)la valeur prédite de yt calculée artir de l’état filtré ’instant t−1.Le développement de Taylor au premier ordre de l’équation (5)donne alorsyt ≈ yt|t−1 + kx,t(xt−1 − xt−1|t−1)+kv,t(vt − vt) + kn,t(nt − nt)(6)et en notantδyt|t−1 = yt|t−1 − kx,txt−1|t−1 − kv,tvt − kn,tnt, (7)on obtient la relationpˆ(xt−1,vt|y1:t) ∝ pˆ(yt|xt−1,vt)pˆ(xt−1)pˆ(vt)∝ exp(− 12‖ yt − δyt|−1 − kx,txt−1 − kv,tvt ‖2(hn,tRthTn,t)−1− 12‖ xt−1 − xt−1|t−1 ‖2P−1t−1|t−1− 12‖ vt − vt ‖2Q−1t)(8)où ‖ . ‖M représente la norme induite par la matrice définiepositive M. On note par l’exposant .(xv) le vecteur d’état aug-mentéx(xv) = [xTt−1 vTt ]T (9)et pour la loi pˆ(x(xv)t−1 |y1:t) = N (x(xv)t−1 ;x(xv)t−1|t,P(xv)t−1|t) l’iden-tification de la moyenne et de la covariance s’obtient en iden-tifiant les termes correspondants de l’équation (8). Ainsi, onobtient l’inverse de P(xv)t−1|t sous la forme d’une matrice bloc,P(xv)t−1|t =([B]ij)−1, avec i, j ∈ {1, 2}, et l’état lissé x(xv)t−1|tau moyen de calculs usuels de régression linéaire :[B]11 = kTx,t(hn,tRthTn,t)−1kx,t + Pt−1|t−1−1[B]12 = [B]21 = kTx,t(hn,tRthTn,t)−1kv,t[B]22 = kTv,t(hn,tRthTn,t)−1kv,t + Q−1tx(xv)t−1|t = P(xv)t−1|t×kTx,t(hn,tRthTn,t)−1(yt − yt|t−1 − kx,txt−1|t−1)+P−1t−1|t−1xt−1|t−1kTv,t(hn,tRthTn,t)−1(yt − yt|t−1 − kx,txt−1|t−1)+Q−1t vt .(10)Finalement, les paramètres filtrés de l’approximation gaussiennede l’état sont donnés par etxt|t = ft(xt−1|t,vt|t)Pt|t = [fx,t fv,t]P(xv)t−1|t[fx,t fv,t]T .(11)Finalement, l’algorithme CKEF s’écrit :1. initialization : x0 = x0|0, P0 = P0|02. itérations : pour t ≥ 1,– lissage : calculerP(xv)t−1|t et x(xv) = [xTt−1|t vTt|t]T artirdes équations (10)– filtrage : calculer xt|t et Pt|t artir des équations (11).3 Filtre CUKFA la différence du développement de Taylor, la transforma-tion sans parfum [6] procède en appliquant de façon exacte latransformation non linéaire considérée n ensemble de pointstest (σ-points) et s’est rapidement imposée comme une alter-native performante au filtre de Kalman étendu. Comme dansle filtre UKF, on propose d’appliquer la transformation sansparfum ’état augmenté x(xvn)t−1 = (xTt−1,vTt ,nTt )T pour calcu-ler les paramètres de pˆ(xt|t−1,yt|t−1). Mais on l’applique iciplus particulièrement a fonction kt(xt−1,vt,nt) pour calcu-ler pˆ(xt−1|t,vt|t), dont on déduit ensuite pˆ(xt|t). En utilisantles notations standards de la transformation sans parfum [7] eten notant Qt et Rt les covariances respectives de vt et de nt,l’algorithme s’écrit alors comme suit :1. initialisation : choisir x0|0 et Px0|02. itérations : pour t ≥ 1,- définition des points test ’instant t− 1x(xvn)t−1|t−1 =xt−1|t−1vtntP(xvn)t−1|t−1 =Pxt−1|t−1 0 00 Qt 00 0 RtX(xvn)t−1|t−1 = [x(xvn)t−1|t−1|x(xvn)t−1|t−1 ±√(na + λ)P(xvn)t−1|t−1]=Xxt−1|t−1X vt−1|t−1Xnt−1|t−1 =[X(xv)t−1|t−1Xnt−1|t−1](12)- ré-estimation de l’état ’instant t− 1 :Yt|t−1 = kt(Xxt−1|t−1,Xvt−1|t−1,Xnt−1|t−1)yt|t−1 =∑2na+1i=1 W(m)i Yt|t−1,iPyt|t−1 =∑2na+1i=1 W(c)i (Yt|t−1,i − yt|t−1)×(Yt|t−1,i − yt|t−1)TP(xv)yt|t−1 =∑2na+1i=1 W(c)i (Xxvt−1|t−1,i −[xt−1|t−10])×(Yt|t−1,i − yt|t−1)Tx(xv)t−1|t =[xt−1|tvt|t]=[xt−1|t−10]+ P(xv)yt|t−1 (Pyt|t−1)−1[yt − yt|t−1]P(xv)t−1|t =[Pxt−1|t−1 00 Qt]−P(xv)yt|t−1 (Pyt|t−1)−1(P(xv)yt|t−1 )TX(xv)t−1|t = [x(xv)t−1|t, x(xv)t−1|t ±√(n(xv) + λ)P(xv)t−1|t]=[X xt−1|tX vt|t](13)-estimation des paramètres filtrés ’instant t :X xt|t = ft(Xxt−1|t,Xvt|t)xt|t =∑2n(xv)+1i=1 W(m)i Xt|t,iPxt|t =∑2n(xv)+1i=1 W(c)i (Xt|t,i − xt|t)×(Xt|t,i − yt|t)T .(14)4 Versions particulairesIl est possible de définir des versions particulaires des filtresprécédents. Il est parfois indiqué dans la littérature que la com-binaison des filtres EKF ou UKF et du filtrage particulaire conduisentes améliorations comparativement ’emploi isolé d’une de cestechniques. Des versions particulaires des filtres EKF et UKFont été proposées dans [9]. Elles consistent ropager des réali-sations des approximations gaussiennes obtenues par les filtresEKF et UKF dans les étapes de prédiction et de filtrage. Demême, on pourra construire des versions particulaires des filtresCEKF et CUKF que l’on notera CEPF CUPF. Pour cela, ’ins-tant t, on lisse comme pour le CEKF ou le CUKF la distributionde xt−1 pour chacune des particules puis on exploite cette loicomme loi d’importance pour propager la particule vers l’ins-tant t. On peut appliquer ce procédé pour obtenir une versionCPF du filtre particulaire classique PF. Faute de place, nousne détaillerons pas ici cette méthode qui conduit, dans notreimplémentation, es performances proches de celles du PF clas-sique.5 ExemplesOn considère le modèle étudié dans les références [9, 5] etdéfini par(I){xt+1 = 1 + sin(0.04pit) + 0.5xt + vt+1yt = 1It≤30(0.2x2t ) + 1It>30(0.5xt) + nt(15)où vt ∼ Ga(3, 1/2), la loi gamma étant définie ici parp(x|α, β) =1βαΓ(α)xα−1e−x/β1IR+(x), (16)et nt ∼ N (0, 10−5). On reprend ici les mêmes paramètres quedans [9, 5]. Le tableau 2 présente l’EQM (Erreur QuadratiqueMoyenne) estimée sur l’état filtré pour les filtres envisagés. Lesvariances σ2ÊQMde ces estimateurs ÊQM des EQM sont éga-lement fournies. On voit en particulier que le CUPF surpasseles autres filtres en termes d’EQM.TAB. 1 – EQM des états filtrés pour le modèle (I)Filtre ÊQM σ2ÊQMEKF 0.0123 0.0005CEKF 0.0116 0.0001UKF 0.072 0.0002CUKF 0.072 0.0002PF 0.0092 0.0040CPF 0.0097 0.0041UPF 0.0101 0.0001CUPF 0.0057 0.0000Considérons maintenant le modèle suivant :(II){xt+1 = (xt + cos(0.5t) + vt)αyt = (xt + nt)1/α.(17)Ce modèle peut décrire la compensation au niveau d’un dispo-sitif d’observation d’une non linéarité introduite dans un sys-tème. On prendra α = 1/2. Le tableau 2 donne les résultatsobtenus pour un signal de T = 100 échantillons et pour les va-riances de bruit σ2v = 1 et σ2n = 0.01. Les résultats sont donnéspour un nombre variable de particules (N = 10, 102, 103). Se-lon la complexité, les résultats sont moyennés sur 100 104 réa-lisations indépendantes. On y voit que le filtre CUPF offre desperformances optimales parmi les technique présentées et four-nit une EQM sensiblement indépendante du nombre de parti-cules proposées. Cette propriété se trouve être ici encore plusnettement marquée que pour le filtre UPF classique. On voitpar ailleurs que le CEKF donne de bonnes performances alorsque l’EKF ne fonctionne pas, et que le CUKF améliore le filtreUKF de façon significative. Le filtre CPF par contre conduitsensiblement aux mêmes performances que le filtre PF et commelui reste sensible au nombre de particules choisi.TAB. 2 – EQM des états filtrés pour le modèle (II)Filtre ÊQM σ2ÊQMEKF 6.3276 16.4383CEKF 0.0142 0.0000UKF 0.0716 0.0003CUKF 0.0119 0.0003PF (N=10,100,1000) 0.0667, 0.0106, 0.0092 0.0012, 0, 0CPF 0.0754, 0.0112, 0.0092 0.0018, 0, 0UPF 0.0177, 0.0111, 0.0101 0.0000, 0, 0CUPF 0.0110, 0.0092, 0.0093 0.0000, 0, 0FIG. 1 – Modèle (II) pour les différents filtres avec 10 parti-cules.6 ConclusionOn a introduit dans cet article des filtres non linéaires quiexploitent une ré-estimation de l’état ’instant précédent et quisont les pendants des filtres EKF, UKF, PF et UPF. En particu-lier le filtre CUKF proposé s’avère particulièrement performantet peu sensible au nombre de particules employées.Références[1] S.A. 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