Notre contribution sur la technique de normalisation utilisée en commande linéaire adaptative a été controversée. Nous donnons ici notre point de vue en situant notre apport dans la perspective de l'état de l'art lorsque nous avons abordé ce problème en 1981

Praly, Laurent

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Normalisation en commande line´aire adaptative de B.Egardt a` L. PralyLaurent PralyTo cite this version:Laurent Praly. Normalisation en commande line´aire adaptative de B. Egardt a` L. Praly. 2009.<hal-00529563>HAL Id: hal-00529563https://hal-mines-paristech.archives-ouvertes.fr/hal-00529563Submitted on 25 Oct 2010HAL is a multi-disciplinary open accessarchive for the deposit and dissemination of sci-entific research documents, whether they are pub-lished or not. The documents may come fromteaching and research institutions in France orabroad, or from public or private research centers.L’archive ouverte pluridisciplinaire HAL, estdestine´e au de´poˆt et a` la diffusion de documentsscientifiques de niveau recherche, publie´s ou non,e´manant des e´tablissements d’enseignement et derecherche franc¸ais ou e´trangers, des laboratoirespublics ou prive´s.Normalisation en commande line´aire adaptativede B. Egardt a` L. PralyLaurent Praly20 avril 2001AbstractNotre contribution sur la technique de normalisation utilise´e en commande line´aireadaptative a e´te´ controverse´e. Nous donnons ici notre point de vue en situant notreapport dans la perspective de l’e´tat de l’art lorsque nous avons aborde´ ce proble`me en1981.1 E´nonce´ du proble`meet e´tat de l’art avant notre contributionConside´rons le re´gulateur proportionnel adaptatif :θ(k) = θ(k − 1) + y(k − 1) [y(k)− amy(k − 1)]γ + y(k − 1)2u(k) = (am − θ(k)) y(k)(1)ou` u est la commande, y est la sortie mesure´e et θ est l’e´tat du re´gulateur, interpre´te´ dans cequi suit comme un parame`tre adapte´ et am est un nombre a` choisir dans (−1, 1), interpre´te´comme le poˆle souhaite´ pour la boucle ferme´e.De fac¸on nominale, ce controˆleur re´gule a` 0 la sortie y du syste`me :y(k) = a y(k − 1) + u(k − 1) (2)En effet, Goodwin, Ramadge et Caines ont e´tabli :Proposition 3 ([1, Theorem 5.1]) Pour toute condition initiale (y(0), θ(0)), la suite (y, θ)correspondante, solution du syste`me en boucle ferme´e (1)-(2), est borne´e et la suite y(k) estde carre´s sommables.Par contre pour le syste`me a` re´guler :y(k) = a y(k − 1) + u(k − 1) + d(k) (4)avec d est une suite borne´e (inconnue), Egardt a montre´ dans [3, Example 4.2] l’existence desolutions non borne´es [3] lorsque le controˆleur (1) est utilise´. Par exemple, si am = 0, le triplet1de suites :y(k) =ε√k, θ(k) = εk∑i=11i√i− 1i, d(k) = ε1k−a− εk−1∑i=11i√i− 1i√i− 1 (5)est, pour tout ε > 0, une solution du syste`me boucle´ (1)-(4). Or les suites y et d tendent vers0, mais la suite θ tend vers +∞. Notons que la suite d est aussi petite que nous voulons ennorme $∞ et en norme $3.Ce proble`me re´sulte d’une auto-corre´lation trop forte de la suite d. En effet, conside´ronsle cas ou` d est une moyenne mobile :d(k) = ωk −n∑i=1ciω(k − i)avec ω est un processus stochastique, de´fini sur un espace de probabilite´ (Ω,F , P ), adapte´ a`la suite croissante des sous-sigma alge`bres Fk engendre´es par les observations des suites u ety jusqu’a` l’instant k, et ve´rifiant, presque suˆrement et pour tout i :E {ω(i)|Fi−1} = 0 , E{ω(i)2|Fi−1}= σ2 , supk1kk∑i=1ω(i)2 < +∞ .Puisque la suite d n’est plus nulle qu’en moyenne, nous devons modifier la mise a` jour deθ pour introduire cet effet de moyennisation. Une fac¸on d’obtenir cette modification est dere´aliser que le parame`tre a dans l’e´quation (4) satisfait les e´quations : a(k) = a(k − 1)y(k)− u(k − 1) = y(k − 1) a(k − 1) + d(k)Pour le cas ou` les ci sont nuls, la meilleure estimation θ(k) de a(k) au sens du crite`re :minθE{(θ − a(k))2|Fk−1}est donne´e par le filtre de Kalman :r(k) = r(k − 1) + y(k − 1)2 ,θ(k) = θ(k − 1) + y(k − 1) [y(k)− amy(k − 1)]r(k).Le re´gulateur proportionnel adaptatif stochastique conside´re´ est alors :r(k) = r(k − 1) + y(k − 1)2 ,θ(k) = θ(k − 1) + y(k − 1) [y(k)− amy(k − 1)]r(k),u(k) = [am − θ(k)] y(k) .(6)Il est identique a` (1) sauf que la constante γ a e´te´ remplace´e par r(k − 1). Nous avons :2Proposition 7 ([2, Theorem 5.1]) Si les coefficients ci de la moyenne mobile sont tels qu’ilexiste ε > 0 tel que, pour tout complexe z de module supe´rieur ou e´gal a` 1, nous avons :1− ε2≥ Re´(k∑i=1cizi),alors, pour toute condition initiale, (y(0), θ(0)), la suite (y, θ) correspondante, solution dusyste`me en boucle ferme´e (6)-(4), est presque suˆrement borne´e au sens suivant :lim supk→+∞1kk∑i=1y(i)2 + θ(i)2 < +∞et, presque suˆrement, nous avons :limk→+∞1kk∑i=1E{y(i)2|Fi−1}= σ2 .L’inte´reˆt du contre-exemple donne´ par la solution (5) est d’indiquer que le proble`me denon bornitude porte peut-eˆtre, et ceci de fac¸on ge´ne´rale, non pas sur la suite y du syste`me,mais sur l’e´tat θ du controˆleur. Cette remarque justifie l’introduction dans le controˆleur d’unme´canisme empeˆchant cette non bornitude. Le me´canisme le plus direct est la projection surun compact mais ce n’est pas le seul (voir [3, Theorem 4.3]) :r(k) = λ r(k − 1) + α y(k − 1)2 + βθ(k) = sat(θ(k − 1) + y(k−1) [y(k)−amy(k−1)]r(k))u(k) = (am − θ(k)) y(k)(8)avec la fonction sat donne´e par :sat(x) = min{amax,max{amin, x}}ou` nous supposons connaˆıtre des re´els amin et amax tel que le parame`tre a du syste`me a`commander ve´rifie :a ∈ [amin, amax] . (9)Notons aussi que nous avons introduit les parame`tres λ ∈ [0, 1], α ≥ 1 et β > 0 pour engloberdans une meˆme famille les algorithmes (1) et (6). Dans ce contexte, Egardt a e´tabli :Proposition 10 ([3, Theorem 4.4]) Si la condition (9) est satisfaite, pour toute conditioninitiale (y(0), θ(0), r(0)), avec r(0) ≥ 0, tout parame`tres λ ∈ [0, 1), α ≥ 1 et β > 0 et toutesuite borne´e d, la suite (y, θ, r) correspondante, solution du syste`me en boucle ferme´e (4)-(8),est borne´e.Le de´monstration originelle donne´e par Egardt est longue et complexe. Elle donne cepen-dant une description assez pre´cise du comportement. Nous donnons ici la preuve plus simpleque nous avons propose´e et qui est a` la base de notre contribution.3Preuve de la Proposition 10 :E´tape 1 : Proprie´te´ de la suite θ − a (Voir [3, Lemma 4.2]). Posons :θ˜(k) = θ(k) − a , e(k) = y(k)− amy(k − 1) = d(k)− θ˜(k − 1) y(k − 1) .De (4) et (8), nous de´duisons, avec (9), d’une partθ˜(k)2 ≤ max{amax − a, a− amin}2 = Aet d’autre part :θ˜(k)2 ≤ θ˜(k − 1)2 − 3α− 22αe(k)2r(k)+ 2d(k)2r(k). (11)Il s’en suit en particulier que, en notant D la norme $∞ de la suite d, nous avons, pour tout k,e(k)2r(k)≤ B = α2A+4D2β3α− 2 . (12)Aussi, nous obtenons, pour tout $ ≤ k,1k − $+ 1k∑i=#e(i)2r(i)≤ 2αA3α− 21k − $ + 1 +4α3α− 21k − $+ 1k∑i=#d(i)2r(i). (13)E´tape 2 : Solutions borne´es. Collectons les de´finition de e et de r. Ceci donne apre`s unemajoration : r(k) = λ r(k − 1) + α y(k − 1)2 + β ,y(k)2 ≤ 1 + a2m1− a2me(k)2r(k)r(k) +1 + a2m2y(k − 1)2 .ou encore :r(k) = λ r(k − 1) + α y(k − 1)2 + β ,y(k)2 ≤ λ(1 + a2m)1− a2me(k)2r(k)r(k − 1) +(1 + a2m2+2αa2m1− a2me(k)2r(k))y(k − 1)2+(1 + a2m)1− a2me(k)2r(k)β .Posons alors :s(k) = λ r(k) + κ y(k)2 ,ou` κ est un nombre strictement positif que nous pre´ciserons plus tard. Nous obtenons :s(k) ≤ λ [λ r(k − 1) + αy(k − 1)2 + β]+ κ[λ(1 + a2m)1− a2me(k)2r(k)r(k − 1) +(1 + a2m2+α(1 + a2m)1− a2me(k)2r(k))y(k − 1)2+(1 + a2m)1− a2me(k)2r(k)β],≤[λ+κ(1 + a2m)1− a2me(k)2r(k)]λ r(k − 1)4+[λακ+1 + a2m2+α(1 + a2m)1− a2me(k)2r(k)]κy(k − 1)2+[λ+κ(1 + a2m)1− a2me(k)2r(k)]βet doncs(k) ≤[µ+ δe(k)2r(k)]s(k − 1) + C β , (14)ou` nous avons pose´ :µ = max{λ,λακ+1 + a2m2}, δ =1 + a2m1− a2mmax {κ,α} , C = λ+ κ(1 + a2m)1− a2mB .Puisque λ et am sont strictement plus petits que 1, nous pouvons toujours choisir κ pour queµ soit aussi strictement plus petit que 1. Par exemple, nous pouvons prendre :κ = max{1,4αλ1− a2m}.En effet ceci donne :λακ+1 + a2m2≤ 1− a2m4+1 + a2m2=3 + a2m4< 1 .Notons alors qu’avec (12) ceci implique, pour tout k,s(k) ≤ M s(k − 1) + C β (15)avec :M = [µ+ δB] .Pour de´montrer que les solutions (θ, y, r) sont borne´es, sachant de´ja` que la composanteθ l’est, il nous suffit d’e´tablir que la suite s est borne´e. En particulier, lorsque λ est nul,ceci montrera que y est borne´e et donc aussi r. Montrons donc que la suite s ne peut resterstrictement plus grande que :S = maxs(0), 8αδD2(3α− 2)(1 + µ) log( 3+µ2(1+µ))1min{1, ακ} , 2Cβ1− µque sur un intervalle de longueur maximale K, le plus petit entier satisfaisant :K ≥(4Aδ1+µ)+ log(M + 1−µ2)log(43+µ) − 1 . (16)Ceci sera suffisant pour montrer sa bornitude puisque (15) implique alors, pour tout k,s(k) ≤ MK S + MK − 1M − 1 C β .5Supposons donc l’existence d’entiers $ et j tels que :s($− 1) ≤ S , s(k) > S ∀k ∈ {$, . . . , $+ j} .Puisque nous avons :λ r(k − 1) = s(k − 1) − κ y(k − 1)2 ,α y(k − 1)2 = ακs(k − 1) − αλκr(k − 1) ,nous obtenons, pour tout k dans {$+ 1, . . . , $+ j + 1},r(k) ≥ max{[s(k − 1) + (α− κ) y(k − 1)2],[λκ− ακr(k − 1) + ακs(k − 1)]},≥ min{1,ακ}S ,≥ 8αδD2(3α− 2)(1 + µ) log(3+µ2(1+µ)) (17)et donc :d(k)2r(k)≤(3α− 2)(1 + µ) log(3+µ2(1+µ))8αδ.Nous en concluons, avec (13),1j + 1#+j+1∑i=#+1e(i)2r(i)≤ 2αA3α− 21j + 1+(1 + µ) log(3+µ2(1+µ))2δ. (18)Nous avons aussi, pour tout k dans {$+ 1, . . . , $+ j + 1},C β ≤ 1− µ2S ≤ 1− µ2s(k − 1) .Alors, puisque (14) donne, pour tout k dans {$+ 1, . . . , $+ j + 1},s(k) ≤[1 + µ2+ δe(k)2r(k)]s(k − 1)nous avons successivement :s($+ j + 1) ≤#+j+1∏k=#+1[1 + µ2+ δe(k)2r(k)]s($) ,≤(1 + µ2)j+1exp(#+j+1∑k=#+1log(1 +2δ1 + µe(k)2r(k)))s($) ,≤(1 + µ2)j+1exp(#+j+1∑k=#+12δ1 + µe(k)2r(k))s($) ,6≤(1 + µ2)j+1exp(4Aδ1 + µ+ log(3 + µ2(1 + µ))(j + 1))s($) ,≤(3 + µ4)j+1exp(4Aδ1 + µ)s($) ,≤(3 + µ4)j+1exp(4Aδ1 + µ) (M +1− µ2)S ,ou` nous avons utilise´ (15) pour obtenir la dernie`re ine´galite´. Nous en de´duisons que j doiteˆtre infe´rieur ou e´gal a` K de´fini en (16) car sinon nous aurionsS < s($+K + 1) ≤(3 + µ4)K+1exp(4Aδ1 + µ) (M +1− µ2)S ≤ Set qui est une contradiction. Ceci conclut notre preuve.2 Notre contribution sur la normalisationPour prolonger la description de notre contribution, observons que les Les deux proprie´te´sessentielles que nous avons utilise´es dans la deuxie`me e´tape de notre preuve de la Proposition10 sont :• l’ine´galite´ (12) signifiant que le rapport e(k)2r(k) est borne´. Elle a pour conse´quence di-recte (15) qui signifie que les suites y et r ne peuvent croˆıtre plus rapidement qu’uneexponentielle,• l’ine´galite´ (13) qui nous a donne´ (18). Son interpre´tation qu’Egardt n’a pas e´crite estque, puisque d est borne´e, si la suite y ou la suite r reste grande sur un intervalle detemps et que cet intervalle est assez long, alors le rapport e(i)2r(i) est petit en moyenne surcet intervalle.Ces deux ine´galite´s re´sultent de l’ine´galite´ cle´ e´tablie par Egardt dans [3, Lemma 4.2]) (voir(11) ci-dessus) :θ˜(k)2 ≤ θ˜(k − 1)2 − 3α− 22αe(k)2r(k)+ 2d(k)2r(k).avec :θ˜(k)2 ≤ A .En particulier nous voyons que, si au lieu de supposer que d est une suite borne´e, noussupposons que d satisfait :d(k)2 ≤ D2 + η r(k) (19)avec :η ≤(3α− 2)(1 + µ) log(3+µ2(1+µ))16αδalors l’ine´galite´ (18) reste valide pour peu que nous multiplions par 2 la valeur de´finissantla constante S. Mais ceci a aussi une conse´quence que Egardt n’a pas signale´e en termed’interpre´tation. En effet, d’une part, pour que l’hypothe`se (19) apporte une nouveaute´ ilfaut imposer que λ ne soit pas nul. Ce que n’ont pas fait Egardt ou Samson [4, 6]. De plus7la pre´sence de r dans la mise a` jour de θ n’est plus justifie´e par le contexte stochastique etici, pour notre exemple simplifie´, par l’utilisation du filtre de Kalman. Sa justification est denormaliser les signaux de sorte que l’effet de la perturbation introduite par d, sur la mise a`jour de θ, soit borne´. Ceci modifie comple`tement le point de vue. Ainsi en particulier il estplus approprie´ de voir l’introduction de r en reprenant le controˆleur nominal (1); en y ajoutantun me´canisme garantissant la bornitude de θ, e.g. une projection, et en y remplacer dans lamise a` jour de θ tous les signaux par leur version normalise´e, i.e. :θ(k) = satθ(k − 1) + y(k−1)√r(k) [ y(k)√r(k) − amy(k−1)√r(k) ]γ + y(k−1)2r(k) ,= sat(θ(k − 1) + y(k − 1) [y(k)− amy(k − 1)]γr(k) + y(k − 1)2).Cette approche permet meˆme un changement de la de´finition de r. Toujours en e´tudiant detre`s pre`s la deuxie`me e´tape de notre preuve de la Proposition 10, nous voyons que la seuleproprie´te´ que nous avons utilise´e sur la suite r est qu’elle ve´rifie :r(k) ≤ λ1 r(k − 1) + α1 y(k − 1)2 + β (20)avec λ1 ∈ (0, 1), α1 ≥ 1, β > 0, ine´galite´ utilise´e pour obtenir (14), etr(k) ≥ λ2 r(k − 1) + α2 y(k − 1)2 (21)avec λ2 ∈ (0, 1), α2 ≥ 1, ine´galite´ utilise´e pour obtenir (17). En particulier, ceci permet demodifier la de´finition de r en :r(k) = λ r(k − 1) + (u(k − 1)2 + y(k − 1)2) + 1 (22)En effet, puisque :|u(k − 1)| = |am − θ(k − 1))| |y(k − 1)| ≤(|am − a|+ |θ˜(k)|)|y(k − 1)| ,≤(|am − a|+√A)|y(k − 1)| ,nous avons bien (20) et (21) avec :λ1 = λ2 = λ , α1 = 1 + (|am − a| +√A)2 , α2 = 1 .Ce changement de point de vue pour r, passant de l’inverse de la trace de la matrice decovariance a posteriori de θ˜(k) a` celui de normalisation de la perturbation est essentiel pourpermettre de faire un saut qualitatif quant a` la classe des syste`mes pour lequel le controˆleuradaptatifθ(k) = sat(θ(k − 1) + y(k−1) [y(k)−amy(k−1)]r(k))u(k) = (am − θ(k)) y(k)donne des solutions borne´es. Par exemple nous pouvons maintenant re´pondre a` la questionsuivante :Que se passe t’il si le syste`me a` re´guler ne ve´rifie que:y(k) +∑iai(k) y(k − i) =∑jbj(k) u(k − j) + d(k)ou` par rapport au syste`me nominal (2), nous pouvons avoir :8– des instationnarite´s avec ai et bj de´pendant du temps,– des dynamiques ne´glige´es avec la pre´sence de plusieurs ai et bj ,– des non line´arite´s avec d pouvant de´pendre de u et y mais satisfaisant (19) avec la suite rdonne´e par (22).En effet, pour cela dans la preuve de la Proposition 10, il suffit de remplacer d par wa de´finipar :wa(k) = y(k) − a y(k − 1) − u(k − 1)ou` a est une constante arbitraire dans [amin, amax]. Puisque nous avons :wa(k) =((a− a1(k)) −a2(k)λ · · · (b1(k)− 1) b2(k)λ b3(k)λ2 · · ·)y(k − 1)√λ y(k − 2)√λ2 y(k − 3)...u(k − 1)√λu(k − 2)√λ2 u(k − 3)...+d(k) ,les ine´galite´s de Young et Schwarz donnent, pour tout k,wa(k)2 ≤ 2(η + [a1(k)− p]2 + [b1(k)− 1]2 +∑i>1ai(k)2 + bi(k)2λi−1)r(k) + 2D2Nous aurons donc des solutions borne´es si nous pouvons trouver a dans [amin, amax] tel quenous ayons par exemple, pour tout k,(η + [a1(k)− p]2 + [b1(k)− 1]2 +∑i>1ai(k)2 + bi(k)2λi−1)≤(3α− 2)(1 + µ) log(3+µ2(1+µ))32αδou` µ et δ se de´duisent de a et des parame`tres λ, am, amin et amax du controˆleur par :µ = max{λ,λακ+1 + a2m2}, δ =1 + a2m1− a2mmax{κ,α} .avec :α = 1 + (|am − a| + max{amax − a, a− amin})2 , κ > 2λα1− a2m.En fait au lieu d’avoir ceci pour tout k, il suffit de l’avoir en moyenne. (Voir [5]).References[1] G.C. Goodwin, P.J. Ramadge and P.E. Caines, Discrete time multivariable adaptivecontrol, IEEE Trans. on Auto. Control, Vol.AC-25, No.3, June 1980, pp.449-456.[2] G.C. Goodwin, P.J. Ramadge and P.E. Caines, Discrete time stochastic adaptive control,SIAM Journal on Control and Optimization, Vol.19, No.6, November 1981, pp.829-853.9[3] B. Egardt, Stability of adaptive controllers. Springer Verlag. 1979[4] B. Egardt, C. Samson Stable adaptive control of non-minimum phase systems Systems& Control Letters, Volume 2, Issue 3, October 1982, Pages 137-144[5] L. Praly, Commande adaptative indirecte multivariable: stabilite´ et robustesse. Colloquenational du CNRS. Belle-Ile. Septembre 1982.[6] C. Samson Stability analysis of adaptively controlled systems subject to bounded distur-bances Automatica, Volume 19, Issue 1, January 1983, Pages 81-8610

Normalisation en commande linéaire adaptative de B. Egardt à L. Praly

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