Stanilov, Grozio

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 1 Grozio STANILOV, Sofia KANONISIERUNG DER KURVEN ZWEITER ORDNUNG Wir lösen mit Hilfe von Maple, die folgende wichtige Aufgabe der analyti-schen Geometrie der Ebene: Es sei eine nichtausgeartete Kurve zweiter Ordnung bezüglich des Koordi-natensystems Oxy = Oe1e2 gegeben: F(x,y) = a11x2 + a22y2 + 2a12xy + 2a13x + 2a23y + a33 = 0. a/ Finde die kanonische Gleichung der Kurve! b/ Finde die Koordinatentransformationen, die zur kanonischen Gleichung der Kurve führen! c/ Zeichne die Kurve! Um diese Aufgabe zu lösen, entwickeln wir zwei computerunterstützte Programme mit Hilfe von Maple. 1. Teil. Mittelpunktskurven (Ellipsen, Hyperbeln) Schreibe die linke Seite der Kurvengleichung im Maple-Format: F:=a11*x^2+a22*y^2+2*a12*x*y+2*a13*x+2*a23*y+a33; Die Eigenwerte der zugehörigen Matrix sind  s1:=1/2*a11+1/2*a22+1/2*(a11^2-2*a11*a22+a22^2+4*a12^2)^(1/2); s2:=1/2*a11+1/2*a22-1/2*(a11^2-2*a11*a22+a22^2+4*a12^2)^(1/2); Maple berechnet die Koordinaten des ersten normierten Eigenvektors: p1:=2*a12/(8*a12^2+2*(a11-a22)^2-2*(a11-a22)* ((a11-a22)^2+4*a12^2)^(1/2))^(1/2); p2:=-2*(1/2*a11-1/2*a22-1/2*(a11^2-2*a11*a22+a22^2+4*a12^2)^(1/2)) /(8*a12^2+2*(a11-a22)^2-2*(a11-a22)* ((a11-a22)^2+4*a12^2)^(1/2))^(1/2); Maple findet auch die Koordinaten des Mittelpunkts M0(x0,y0) der Kurve: x0:=-(a12*a23-a13*a22)/(-a11*a22+a12^2); y0:=-(-a11*a23+a12*a13)/(-a11*a22+a12^2); Berechne noch die Konstante in der kanonischen Gleichung: k:=simplify(eval(F,[x=x0,y=y0])); Beispiel 1. a11:=1; a22:=3; a12:=2; a13:=4; a23:=-5; a33:=8; Man verwende das Paket: with(plots): t1:  =textplot([0,-4,O],align={LEFT},color=red): t10:=textplot([75,-2.5,e1],align={LEFT},color=red): t11:=textplot([-2.9,60,e2],color=red,align={LEFT}): t12:=textplot([x0+43,y0-2.5,e1],color=green,align={LEFT}):  2 t13:=textplot([x0-3,y0+43,e2],color=green,align={LEFT}): t14:=textplot([x0+p1*40-4,y0+p2*40,f1],color=blue,align={LEFT}): t15:=textplot([x0-p2*40,y0+p1*40-4,f2],color=blue,align={LEFT}): t2:  =textplot([x0-3,y0-3,M0],align={LEFT},color=green,thickness=4): t3:  =plot([t,0,t=-45..80],thickness=1): t4:  =plot([0,t,t=-45..80],thickness=1): t5:  =plot([x0+t,y0,t=-45..45],thickness=2,color=green): t6:  =plot([x0,y0+t,t=-45..45],color=green,thickness=2): t7:  =plot([x0+p1*t,y0+p2*t,t=-40..40],color=blue,thickness=2): t8:  =plot([x0-p2*t,y0+p1*t,t=-40..40],color=blue,thickness=2): t9:  =implicitplot(F=0,x=-45..85,y=-60..40,color=red,thickness=2, numpoints=3000): display([t1,t2,t3,t4,t5,t6,t7,t8,t9,t10,t11,t12,t13,t14,t15], view=[-45..85,-65..65]); Das erste Koordinatensystem Oxy  = Oe1e2 ist rot1                                                 1 Die Farben sind nur in den elektronischen Versionen (online beziehungsweise CD), aber nicht in der Hardcopy erkennbar.  gezeichnet, das zweite M0e1e2 grün und das dritte M0f1f2 blau, wobei f1(p1,p2). Die Translation ist Oe1e2 → M0e1e2 oder Oxy → M0x1y1, die Rotation M0e1e2 → M0f1f2 oder M0x1y1 → M0XY.  3 Die Transformationsformeln sind für die Translation: x:=x0+x1; y:=y0+y1; und für die Rotation: x1:=simplify(p1*X-p2*Y); y1:=simplify(p2*X+p1*Y); Die kanonische Gleichung ist KanGleich:=s1*X^2+s2*Y^2+k=0; 2. Teil.  Kurven ohne Mittelpunkt (Parabeln) Hier stellen wir ein Programm für die Kanonisierung von Parabeln in klas-sischer Art vor. Zunächst wird eine Rotation durchgeführt, dann kommt eine Translation. Das Program wird gleich in dem Beispiel 2 vorgeführt. Beispiel 2. a11:=1; a22:=4; a12:=2; a13:=1; a23:=-2; a33:=6; F:=a11*x^2+a22*y^2+2*a12*x*y+2*a13*x+2*a23*y+a33; G:=eval(F,[x=m,y=n]); s1:= 0; s2:=a11+a22; p2:=(1/sqrt(a12^2+a11^2))*a11; p1:=-a12*1/sqrt(a11^2+a12^2); x:=x1*p1-y1*p2; y:=x1*p2+y1*p1; F1:=simplify(eval(F,[a22=a12^2/a11])); F2:=collect(F1,[x1,y1],recursive); x1:=X+a; y1:=Y+b; a:= (a33*(a11^2+a12^2)^2-a11*(a11*a13+a23*a12)^2)/2/ (a12*a13-a11*a23)/(a12^2+a11^2)^(3/2); b:=a11*(a11*a13+a23*a12)/(a12^2+a11^2)^(3/2); KanGleich:=collect(simplify(F2),[X,Y],recursive)=0; v1:=eval(x,[x1=a,y1=b]); v2:=eval(y,[x1=a,y1=b]); with(plots): t1:  =textplot([-0.2,-0.2,O],align={LEFT,DOWN},color=red): t2:  =plot([t,0,t=-3..3]): t10:=textplot([2.8,-0.1,e1],color=red,  align={DOWN}): t3:  =plot([0,t,t=-3..3]):t11:=textplot([-0.1,3,e2],color=red,align={LEFT}): t4:  =plot([p1*t,p2*t,t=-2..2],color=blue): t5:  =plot([-p2*t,p1*t,t=-2..2],color=blue): t6:  =textplot([v1-0.2,v2+0.13,V],align={WRITE,ABOVE},color=green): t12:=textplot([p1*1.6-0.2,p2*1.6-0.2,f1],color=blue,align={ABOVE}): t13:=textplot([-p2*1.6-0.2,p1*1.6,f2],color=blue,align={ABOVE}): t14:=textplot([v1+p1*1.6,v2+p2*1.6-0.2,f1],align={WRITE},color=green): t7:  =plot([v1+p1*t,v2+p2*t,t=-2..2],color=green): t8:  =plot([v1-p2*t,v2+p1*t,t=-2..2],color=green): t15:=textplot([v1-p2*1.6-0.2,v2+p1*1.6,f2],align={DOWN},color=green): t9:=implicitplot(G=0,m=-3..3,n=-2..2.5,color=red,thickness=2): display([t1,t2,t3,t4,t5,t7,t6,t8,t9,t10,t11,t12,t13,t14,t15]);  4  Bemerkung 1. Diese Arbeit ist eine Bearbeitung von Stanilov, G., Slavova, S. (2007). Bemerkung 2. Ich bedanke mich für finanzielle Unterstützung bei der Ale-xander von Humboldt Stiftung. Literatur Stanilov, G. (2007). Analytische Geometrie, 5.Auflage. Sofia: SofTeh – bulgarisch. Stanilov, G., Slavova, S. (2007). Canonization of Curves of Second Order by Computer Methods. In Proceedings of the 36. Spring Conference of the Union of Bulgarian Mathematicians, Albena, April 02-06, 2007 (S. 410-416) – bulgarisch, englischer Abstrakt. 

Kanonisierung der Kurven zweiter Ordnung

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