Embacher, Franz

Eldorado - Repository of the TU Dortmund

In J. Roth & J. Ames (Hrsg.), Beiträge zum Mathematikunterricht 2014 (S. 341–344).  Münster: WTM-Verlag  Franz EMBACHER Kompetenzen hinsichtlich der Methode der Fallunterscheidungen.  1. Hintergrund Fallunterscheidungen zählen zu den mathematischen Methoden, die vor allem in technischen und ingenieurwissenschaftlichen Fächern in ganz praktischer Hinsicht wichtig sind, etwa beim Implementieren von techni-schen Ablaufplänen und Simulationen. Im Rahmen des Mathematikunter-richts der Sekundarstufe 2 wird die Methode der Fallunterscheidungen vor allem beim Lösen von Bruchungleichungen und Betrags(un)gleichungen angewandt, seltener hingegen als Hilfsmittel beim Beweisen, als Beispiel einer mathematischen Argumentationsform par excellence. Fallunterscheidungen – insbesondere in den im Mathematikunterricht an-gewandten Kontexten – werden, neben anderen Themen, in den an der Fachhochschule Technikum Wien [1] angebotenen Mathematik-Vorkursen behandelt. Im Rahmen der Abhaltung dieser Vorkurse im Sommer 2012 und im Sommer 2013 konnte der Autor einen Eindruck von den Schwierig-keiten der Studierenden bei der Anwendung von Methoden, die auf Fallun-terscheidungen beruhen, gewinnen. Probleme von StudienanfängerInnen hinsichtlich der mathematischen An-forderungen in technischen und ingenieurwissenschaftlichen Fächern sind bekannt und werden in der wachsenden Literatur zu diesem Themenkom-plex (siehe etwa [2]) in vielfältigen Schattierungen dokumentiert. Oft, wie auch an der Fachhochschule Technikum Wien, wird versucht, Wissens- und Kompetenzlücken in Vor- und Brückenkurse zu schließen. Ergänzend dazu kann die Untersuchung von Schwierigkeiten im Umgang mit konkre-ten Inhalten und Methoden Hinweise für den Mathematikunterricht liefern, um die zukünftigen StudienanfängerInnen bereits im schulischen Vorfeld auf die erwarteten Anforderungen vorzubereiten. Als im Sommer 2013 der Entschluss fiel, speziell die Kompetenzen hin-sichtlich der Methode der Fallunterscheidungen in einer kleinen Erhebung genauer zu untersuchen, standen die Studierenden der Fachhochschule nicht mehr zur Verfügung, wohl aber mehrere Studierendengruppen an der Universität Wien. An eine erste, im Sommer und im Herbst 2013 durchge-führte Untersuchung schloss sich eine zweite Erhebung im Jänner 2014 an. 341 2. Empirische Untersuchung Sommer/Herbst 2013 Für die erste Untersuchung wurden zwei Studierendengruppen der Univer-sität Wien herangezogen: • 73 TeilnehmerInnen am „Vorkurs Physik/Mathematik-Teil“ der Fakultät für Physik im Sommer 2013. Es handelt sich um Physik-Studierende vor dem ersten Semester, die als eine mehr oder weniger typische Gruppe von StudienanfängerInnen angesehen wer-den können, die ein Fach gewählt haben, in dem mathematische Me-thoden eine gewisse Rolle spielen, die aber zum Großteil nicht im engeren Sinn an Mathematik interessiert sind. • 25 TeilnehmerInnen am „Seminar zur Unterrichtsplanung“ im Rah-men des Mathematik-Lehramtsstudiums. Es handelt sich um Studie-rende typischerweise im 5. – 9. Semester, die als „angehende Ma-thematik-Lehrkräfte“ angesehen werden können. Beiden Studierendengruppen wurde (ohne Vorbereitung) die Aufgabe ge-stellt, die Bruchungleichung 2 1 11xx− <− mit Hilfe der Methode der Fallun-terscheidungen zu lösen. Bereits vorab wurde vermutet, dass eine besonde-re Schwierigkeit bei einer auf den beiden möglichen Vorzeichen des Nen-ners 1x−  beruhenden Fallunterscheidung darin besteht, dass jeweils nach der Ermittlung der Lösung der für jeden Fall erhaltenen (linearen) Unglei-chung darauf vergessen wird, die entsprechende Fallbedingung (d.h. eine der Bedingungen 1 0x− >  und 1 0x− < , die die beiden zu bearbeitenden Fälle definieren) zu berücksichtigen. Daher wurde folgendes Punkteschema für die Bewertung veranschlagt:  Punkte Beschreibung 0 keine adäquate Fallunterscheidung angesetzt 1 adäquate Fallunterscheidung angesetzt, maximal 1 Fall ausgeführt, Fallbedingung nicht berücksichtigt 2 adäquate Fallunterscheidung angesetzt, alle Fälle ausgeführt, Fall-bedingungen nicht berücksichtigt 3 adäquate Fallunterscheidung angesetzt, 1 Fall ausgeführt, Fallbe-dingung berücksichtigt 4 adäquate Fallunterscheidung angesetzt, alle Fälle ausgeführt, Fall-bedingungen berücksichtigt, Fälle nicht (korrekt) zu einer Gesamt-lösung kombiniert 5 Fallunterscheidungen richtig durchgeführt und (korrekt)  zur Ge-samtlösung kombiniert 342 Das Ergebnis für die Gruppe der Physik-StudienanfängerInnen  lässt praktisch keine Erinnerung an eine frühere Anwendung der Methode erkennen. Das Ergebnis der zukünftigen Mathematik-Lehrkräfte  343 fiel erwartungsgemäß besser aus. Dennoch konnten nur 12% die Aufgabe korrekt lösen. 44% der Studierenden erzielten 2 Punkte, d.h. sie berück-sichtigten die Fallbedingungen nicht und erzielten keine oder eine falsche Lösung.  3. Empirische Untersuchung Jänner 2014 In einer Nachfolgeuntersuchung mit TeilnehmerInnen einer Mathematik-Vorlesung für Physik-Lehramtsstudierende (die nicht gleichzeitig Mathe-matik studieren) und mit den Studierenden im „Seminar zur Unterrichtpla-nung“, die auch an der ersten Untersuchung teilnahmen, wurde eine Auf-gabe gestellt, die eine Fallunterscheidung in einem nichtmathematischen Kontext (Kriminalfall, Fallunterscheidung nach dem Geschlecht der Tat-verdächtigen) beinhaltete. Erstaunlicherweise erzielten die Studierenden schlechtere Ergebnisse als bei einer zum Vergleich gestellten Bruchunglei-chungs-Aufgabe vom obigen Typ! Bereits bei der Erstellung des „Kriminalfalls“ hatte der Autor den Ein-druck, dass es im Alltagsleben kaum Situationen gibt, in denen die Gefahr besteht, eine „Fallbedingung“ zu vergessen! Dies wurde dadurch unter-mauert, dass einige Studierende in einem Gespräch nach der Erhebung die Krimi-Aufgabenstellung (bei der sie in das Korsett einer formellen Fallun-terscheidung gezwängt wurden) als unnatürlich bezeichneten, d.h. die ei-gentliche Aufgabenstellung schlicht und einfach nicht verstanden! 4. Resümee Das Hauptproblem scheint von der nichttrivialen Logik herzurühren, die die Methode der Fallunterscheidungen mit sich bringt, wenn sie in den „traditionellen“ Kontexten wie Bruchungleichungen [und wohl auch Be-trags(un)gleichungen] angewandt wird. Eine mögliche Abhilfe bestünde nach Ansicht des Autors darin, Fallunterscheidungen im Mathematikunter-richt von diesen problematischen Kontexten zu befreien und in logisch ein-sichtigeren Zusammenhängen (wie einfachen Beweisaufgaben) einzuset-zen. So könnte auch ihr Ruf verbessert werden, den ihnen der fast aus-schließliche Einsatz beim Lösen einer kleinen (und vielfach unbeliebten) Klasse von Gleichungen und Ungleichungen eingebracht hat. Literatur [1] Website: http://www.technikum-wien.at/. [2] Bausch, I., Biehler, R., Bruder, R., Fischer, P. R., Hochmuth, R., Koepf, W., Schrei-ber, S. & Wassong, T. (Hrsg.) (2014): Mathematische Vor-und Brückenkurse: Kon-zepte, Probleme und Perspektiven, Springer Spektrum: Wiesbaden. 344

Kompetenzen hinsichtlich der Methode der Fallunterscheidungen

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Kompetenzen hinsichtlich der Methode der Fallunterscheidungen

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