Schweiger, Fritz

Eldorado - Repository of the TU Dortmund

Fritz SCHWEIGER, SalzburgDie Algorithmen von Poincare´, Brun und SelmerEiner der bekanntesten Algorithmen ist der euklidische Algorithmus.Man gehe aus von zwei reellen Zahlen a0 > 0 und a1 > 0 mit a0 ≥ a1.Dann bilde man δ(a0, a1) = (a0 − a1, a1) und ordne bei Bedarf um. Istalso a0 − a1 > a1, so setze man a′0 = a0 − a1 und a′1 = a1, andernfallsa′0 = a1 und a′1 = a0 − a1. Bald hat man diesen Algorithmus beschleu-nigt, indem man die Subtraktion durch eine Division ersetzt hat, alsoaus dem Paar (a0, a1) das Paar σ(a0, a1) = (a0 − ka1, a1) bildete. Dabeiist k ≥ 1 die gro¨ßte ganze Zahl, so dass dann noch a0 − ka1 ≥ 0 gilt.Dann ist automatisch a1 ≥ a0 − ka1 und es erfolgt in jedem Fall einezyklische Umordnung. Es ist sehr praktisch vom heutigen Standpunktaus, hier Matrizen zu verwenden und den Algorithmus zu beschreiben inder Form (a′0a′1)=(0 11 −k)(a0a1).Alle wichtigen Rekursionen ko¨nnen aus dem Produkt von Matrizen herge-leitet werden. Vor allem sind es die Na¨herungsbru¨che, die damit bequemdargestellt werden:(pn+1 pnqn+1 qn)=(pn pn−1qn qn−1)(k 11 0)Wie man leicht einsieht, bricht dieser Algorithmus genau dann ab, wenndas Verha¨ltnis a : b rational ist. Ferner ist offensichlich der Algorithmushomogen, das heißt, das Paar (x0, x1) und das Paar (λx0, λx1) fu¨hrenauf denselben algorithmischen Verlauf. Schon den Griechen war bekannt,dass geometrische Verha¨ltnisse zu periodischen Algorithmen fu¨hren ko¨nnen.Die Standardbeispiele sind der Goldene Schnitt und die Wurzel aus 2.Letztlich kann man auf den beru¨hmten Satz von Lagrange hinweisen.Die Idee der mehrdimensionalen Kettenbru¨che hat mindestens zwei Wur-zeln (siehe dazu auch Schweiger 2006). Es sind dies der Versuch, denerwa¨hnten Satz von Lagrange u¨ber quadratische Irrationalita¨ten zu ver-allgemeinern (hier ist C. G. Jacobi zu nennen) und die Frage nach Ap-proximationen eines n-tupels reeller Zahlen durch rationale Zahlen mitgemeinsamem Nenner. Interessanterweise ist die zweite Frage auch mitMusiktheorie verbunden. Verschiedene Vorschla¨ge mehrdimensionaler Al-gorithmen wurden auch von H. Poincare´, V. Brun und E. S. Selmer ge-macht.Im Jahre 1868 publizierte E. Heine die Arbeit”Allgemeine Theorie derkettenbrucha¨hnlichen Algorithmen, in welchen jede Zahl aus drei vor-hergehenden gebildet wird“ die er im Nachlass von G. G. J. Jacobi(1804-1851) gefunden hatte. Seien u0, v0, w0 drei positive Zahlen und seienl0 = [v0u0],m0 = [w0u0]. Dann setzt er u1 = v0−l0u0, v1 = w0−m0u0, w1 = u0.Mittels Matrizen erha¨lt man u1v1w1 = −l0 1 0−m0 0 11 0 0 u0v0w0 .Natu¨rlich geht es mittels Iteration weiter. A¨hnlich wie zuvor, sieht manleicht, dass die Tripel (u0, v0, w0) und λ(u0, v0, w0) denselben algorithmi-schen Verlauf bestimmen.Jacobi teilt am Schluss seiner Arbeit auch drei Beispiele mit, na¨mlich(1, 3√2, 3√4), (1, 3√3, 3√9) und (1, 3√5, 3√25), die alle periodische Algorith-men ergeben. Das letzte Tripel ist aber eine aufwendige Rechnung, dennman findet (u7, v7, w7) = (u13, v13, w13). Nun damit stehen wir schon voreinem bis heute ungelo¨sten Problem: Ob das Tripel ( 3√2, 3√4, 1) eine peri-odische Entwicklung hat, ist unbekannt. Die Verallgemeinerung des Sat-zes von Lagrange ist ein noch offenes Problem.Leichter lesbar sind etwa die beiden Arbeiten von Viggo Brun”Euclide-an Algorithms and Musical Theory“oder”Algorithmes euclidiens pourtrois et quatre nombres“. Ein scho¨ner Nachruf auf Viggo Brun ist ausder Feder Scribas erschienen (Scriba 1985).Gegeben sei wieder ein Tri-pel (a0, a1, a2) mit a0 ≥ a1 ≥ a2 > 0. Man bildet daraus zuna¨chstσ(a0, a1, a2) = (a0 − a1, a1, a2) und ordnet sodann um. Dies fu¨hrt aufdrei Mo¨glichkeiten!a′0 = a0 − a1, a′1 = a1, a′2 = a2a′0 = a0, a′1 = a0 − a1, a′2 = a2a′0 = a0, a′1 = a1, a′2 = a0 − a1.Natu¨rlich la¨sst sich dies wiederum mittels Matrizen beschreiben.Aber nun ist es Zeit, den Zusammenhang mit Musiktheorie aufzudecken,der auch im erwa¨hnten Nachruf von Scriba beschrieben wird. In der so-genannten reinen Stimmung ist das Verha¨ltnis der Frequenz eines Toneszu seiner Oktave 1 : 2. Fu¨r die Quinte findet man 2 : 3 und fu¨r dieQuarte 3 : 4. Nun will man ein Saiteninstrument bauen, welches inner-halb der Oktave eine feste Zahl von To¨nen besitzt. Wenn man an einKlavier denkt, sind dies 12 Saiten, die im umgekehrten Verha¨ltnis ku¨rzerwerden. Man kann hier eine Exkursion in die Geschichte der Musik oderin die Musik anderer Kulturen einschieben. Nun stellen wir uns vor, dasVerha¨ltnis zweier aufeinander folgenden Saiten soll eine feste Zahl sein.Wir suchen also eine Zahl λ, so dassλx ≈ 2, λy ≈ 32, λz ≈ 43.Dies ist ein Problem diophantischer Approximation, na¨mlich das Tripel(log 2, log 32 , log43) durch Tripel ganzer Zahlen anzuna¨hern. Arbeitet manmit Na¨herungswerten, so findet man etwa die Entwicklung 122010100001..Die Spalten der entsprechenden Matrizen sind nun die gesuchten Werte(x, y, z). Die Entwicklung 1220101 liefert etwa (12, 7, 5), die Entwicklung12201010000 die Na¨herungen (53, 31, 22). Man kann auf a¨hnliche Weiseauch von den drei Verha¨ltnissen Oktave, Quinte und große Terz (5 : 4)ausgehen, also die drei Zahlen (log 2, log 32 , log54) approximieren und fin-det das Tripel (12, 7, 4).In der musikalischen Praxis ist die Na¨herung (12, 7, 5) von besondererBedeutung. Diese entspricht einer Einteilung einer Oktave in 12 aufein-ander folgende Tonschritte, deren Frequenzen sich jeweils um den Faktorλ = 12√2 erho¨hen. Eine Quinte ist in der temperierten Stimmung stattdurch 32 durch λ7 ≈ 1, 498 gegeben, also etwas”enger“. Dafu¨r ist dieQuarte 43 mit λ5 ≈ 1, 335 etwas”weiter“.Dieser Faktor wird meist anders hergeleitet. Man fordert, dass 7 Oktaven-schritte genau 12 Quintenschritte entsprechen. Tatsa¨chlich ist dies in dernatu¨rlichen Stimmung nicht der Fall, denn 27 ist verschieden von (32)12.Es ist 219 = 524288 und 312 = 531441. Das Verha¨ltnis 312 : 219 ≈ 1, 01365heißt das Pythagoreische Komma. Setzt man daher die Quinte mit λ7an, so erha¨lt man wieder 2 = λ12.In Norwegisch ist Ernst Selmers Arbeit (Selmer 1961) erschienen, die ineiner einfachen Aba¨nderung besteht. Sei a0 ≥ a1 ≥ a2 ≥ 0 gegeben. Dannsetze man σ(a0, a1, a2) = (a0−a2, a1, a2). Dieses Tripel wird wieder abstei-gend geordnet. Selmer berechnet die Entwicklung von (log 2, log 32 , log54),aber der wichtige Nenner 12 kommt unter den Na¨herungen nicht vor.Henri Poincare´ hat im Jahre 1884 einen etwas anderen Algorithmus be-schrieben. Sei (a0, a1, a2) ein Tripel nichtnegativer reeller Zahlen. Danngibt es eine Permutation pi der Indizes, so dass die Bedingung api0 ≤api1 ≤ api2 erfu¨llt ist. Dann bilde man(a′0, a′1, a′2) = P (a0, a1, a2) = (api0, api1 − api0, api2 − api1).So harmlos dieser Algorithmus aussieht, so steckt er voller schwierigermathematischer Probleme (Nogueira 1995). Aber entgegen den Hoff-nungen Poincare´s ist er fu¨r diophantische Approximation kaum brauch-bar. Man erha¨lt nach einiger Rechnung fu¨r das Tripel (log 2, log 32 , log43)die Na¨herung (11, 5, 4), aber nicht die musikalisch interessanten Werte(12, 7, 5).Mehrdimensionale Kettenbru¨che ko¨nnten ein gutes Thema fu¨r den Un-terricht sein. Der Zugang verwendet elementare Rechnungen. Dennochsto¨ßt man rasch auf ein ungelo¨stes Problem. Der Einsatz von Taschen-rechnern und Computern ist mo¨glich. Teile von Originalarbeiten ko¨nnenim Schulunterricht vorgestellt werden. Dies kann selbsta¨ndiges Arbeitenund mathematische Kreativita¨t mit historischen und kulturellen Bezu¨genverbinden.LiteraturBrun, V. (1964), Euclidean algorithms and musical theory. L’Enseignement Mathe´matique10, 125-137Brun, V. (1957), Algorithmes euclidiens pour trois et quatre nombres. 13ie`me Congr.Math. Scand. Helsinki, S. 45–64Jacobi, C. G. J. (1868), Allgemeine Theorie der kettenbrucha¨hnlichen Algorithmen, inwelchen jede Zahl aus drei vorhergehenden gebildet wird. J. Reine Angew. Math.69, 29-64Nogueira, A. (1995), The three-dimensional Poincare´ continued fraction algorithm.Israel J. Math. 90, 373–401Poincare´, H. (1884), Sur une ge´ne´ralisation des fractions continues. C. R. Acad. Sci.Paris Se´r. A 99 (1884), 1014-1016 = Oeuvres V, pp. 185–187Schweiger, F. (2006), Was leisten mehrdimensionale Kettenbru¨che? MathematischeSemesterberichte 53, 231-244Scriba, C. J. (1985), Zur Erinnerung an Viggo Brun. Mitt. Math. Ges. Hamburg 11,271-290Selmer, E. S. (1961), Om flerdimensjonal kjedebrøk.Nord. Mat. Tidskr. 9, 37–43

Die Algorithmen von Poincaré, Brun und Selmer

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