La definición de esperanza de una variable aleatoria en los textos clásicos es dife-rente a la definición que se da en un curso de probabilidad basado en la teoría de la medida. En este manuscrito se muestra por qué, efectivamente, estas dos definiciones coinciden.esperanza, variable aleatoria

Hanwen Zhang

Hugo Andrés Gutiérrez

Spanish

Research Papers in Economics

Comunicaciones en Estad¶ ³stica
Diciembre 2008, Vol. 1, No. 1
Dos expresiones para la esperanza de una variable
aleatoria
Two Expressions about the Expectation of a Random Variable
Andr¶ es Guti¶ erreza
hugogutierrez@usantotomas.edu.co
Hanwen Zhangb
predictive@telmex.net.co
Resumen
La de¯nici¶ on de esperanza de una variable aleatoria en los textos cl¶ asicos es dife-
rente a la de¯nici¶ on que se da en un curso de probabilidad basado en la teor¶ ³a
de la medida. En este manuscrito se muestra por qu¶ e, efectivamente, estas dos
de¯niciones coinciden.
Palabras clave: esperanza, variable aleatoria.
Abstract
In the basic texts, the de¯nition of the expected value of a random variable is
di®erent from the de¯nition given in a probability course based on the theory of
measure. In this manuscript it is shown why both de¯nitions are in fact equivalent.
Key words: expected value, random variable.
1. Introducci¶ on
La esperanza de una variable aleatoria, uno de los conceptos m¶ as importantes y
poderosos de la teor¶ ³a estad¶ ³stica, parecer¶ ³a tener dos de¯niciones distintas, de-
pendiendo del nivel acad¶ emico en que sea vista. Por una parte, est¶ a la de¯nici¶ on
desde el punto de vista de la teor¶ ³a de la medida. Por ejemplo, Shao (2003, p. 11)
a¯rma que la esperanza o valor esperado de una variable aleatoria X est¶ a dado
por la siguiente expresi¶ on:
E(X) =
Z
­
X dP (1.1)
aDirector. Centro de Investigaciones y Estudios Estad¶ ³sticos (CIEES)
bInvestigador. Predictive Ltda.
5556 Andr¶ es Guti¶ errez & Hanwen Zhang
donde P es la medida de probabilidad del espacio de referencia1. Sin embargo, la
anterior de¯nici¶ on di¯ere con la de un libro de texto cl¶ asico de probabilidad como
Mood et al. (1963, p. 69), en donde la esperanza de una variable aleatoria continua
est¶ a dada por la siguiente expresi¶ on:
E(X) =
Z
R
xfX(x)dx (1.2)
Es claro que las dos de¯niciones no concuerdan a simple vista. En este manuscrito
se aclara por qu¶ e, en efecto, las dos de¯niciones coinciden.
1.1. Resultados ¶ utiles
Para llevar a cabo la demostraci¶ on de la coincidencia de las dos de¯niciones de
esperanza, es ¶ util hacer un breve repaso por los resultados de la teor¶ ³a de la media
y m¶ as espec¶ ³¯camente una medida de probabilidad.
De¯nici¶ on 1.1. Sea (­;F;P) un espacio de probabilidad. Una variable aleatoria
X es una funci¶ on medible de (­;F) en (R;B). Donde B es la ¾-¶ algebra de Borel.
De¯nici¶ on 1.2. Una variable aleatoria X induce una medida de probabilidad ¹X
sobre R tal que
¹X = P ± X¡1 = P(X¡1(A)) = P(! 2 ­ : X(!) 2 A) (1.3)
N¶ otese que el espacio de llegada de una variable aleatoria puede ser medible para
diferentes medidas. Sin embargo, existe s¶ olo una medida de probabilidad que
cumple la anterior de¯nici¶ on y que est¶ a ligada de forma estructural a la varia-
ble aleatoria. Como ilustraci¶ on, el siguiente diagrama muestra c¶ omo la variable
aleatoria X induce a la medida de probabilidad ¹X.
X : (­;F;P) ¡! (R;B;¹X := P ± X¡1)
De¯nici¶ on 1.3. Sea A ½ ­ un conjunto medible. La funci¶ on indicadora para A
se de¯ne como
IA(!) =
(
1; si ! 2 A;
0; en otro caso:
(1.4)
De¯nici¶ on 1.4. Una funci¶ on simple ' es una combinaci¶ on lineal de las funciones
indicadoras de conjuntos medibles, de¯nida como
'(!) =
k X
i=1
aiIAi(!) (1.5)
1N¶ otese que esta de¯nici¶ on es general para cualquier variable aleatoria, sea continua o discreta.
El car¶ acter de la integral (o sumatoria) lo determina la medida del espacio de referencia.
Comunicaciones en Estad¶ ³stica, diciembre 2008, Vol. 1, No. 1Dos expresiones para la esperanza de una variable aleatoria 57
Resultado 1.1. Sea f una funci¶ on de Borel no negativa sobre (­;F). Entonces
existe una sucesi¶ on de funciones simples f'ng las cuales satisfacen que 0 · '1 ·
'2 · ¢¢¢ · 'n · g y
l¶ ³m
n!1'n = g (1.6)
De¯nici¶ on 1.5. Para cualquier funci¶ on de Borel f, se de¯ne la parte positiva
como
f+(!) = m¶ axff(w);0g (1.7)
y la parte negativa como
f¡(!) = m¶ axf¡f(w);0g (1.8)
N¶ otese que f(w) = f+(!) + f¡(!).
De¯nici¶ on 1.6. Sea A ½ ­ un conjunto medible y f una funci¶ on de Borel no
negativa. La integral de f sobre A se de¯ne como
Z
A
f d¹ =
Z
­
IAf d¹ (1.9)
Resultado 1.2. (Linealidad de las integrales) Sea (­;F;¹) un espacio de medida
y f y g funciones de Borel integrable.
R
(af)d¹ = a
R
f d¹, con a 2 R.
R
(f + g)d¹ =
R
f d¹ +
R
g d¹:
Resultado 1.3. (Convergencia mon¶ otona) Sea f1;f2;::: una sucesi¶ on de fun-
ciones de Borel sobre (­;F;¹). Si 0 · f1 · f2 · ¢¢¢ y adem¶ as l¶ ³mn!1 fn = f,
entonces Z
l¶ ³m
n!1fn d¹ = l¶ ³m
n!1
Z
fn d¹ (1.10)
De¯nici¶ on 1.7. La integral de una funci¶ on simple no negativa ' con respecto a
la medida ¹ est¶ a dada por
Z
'd¹ =
k X
i=1
ai¹(Ai) (1.11)
como caso particular, cuando la funci¶ on simple consta de un s¶ olo t¶ ermino tal que
a1 = 1, entonces la integral de esta funci¶ on con respecto a la medida ¹ est¶ a dada
por Z
I(A)d¹ = ¹(A) (1.12)
Resultado 1.4. (Teorema de Radon-Nikodym) Sea m la medida de Lebesgue. Si
¹X es absolutamente continua con respecto a m, entonces existe una funci¶ on de
Borel no negativa fX : R ! R tal que
¹X(A) =
Z
A
fX dm (1.13)
Comunicaciones en Estad¶ ³stica, diciembre 2008, Vol. 1, No. 158 Andr¶ es Guti¶ errez & Hanwen Zhang
La funci¶ on f es una funci¶ on de densidad de probabilidad para la variable aleatoria
X. N¶ otese que la integral de Lebesgue de fX sobre un intervalo (a;b) coincide con
la integral de Riemann de¯nida como
Z b
a
fX(x)dx (1.14)
2. Coincidencia
Cook (2008) a¯rma que el siguiente teorema es llamado \la ley del estad¶ ³stico
inconsciente" puesto que este es aplicado tan frecuentemente que se hace de
manera inconsciente e indiferente.
Resultado 2.1. Si g : R ! R es una funci¶ on ¹X-medible, entonces g(X) es
P-medible y adem¶ as
Z
­
g(X)dP =
Z
R
g(x)fX(x)dx (2.1)
Si X tiene una funci¶ on de densidad de probabilidad fX(¢), entonces
E (g(X)) =
Z
R
g(x)fX(x)dx (2.2)
Como caso particular, cuando la funci¶ on g(x) = x, entonces la esperanza de la
variable aleatoria X toma la forma cl¶ asica dada por (1.1).
Demostraci¶ on. La demostraci¶ on de este teorema se realiza en cuatro pasos, para
cuatro funciones (¯gura 1). En primer lugar se veri¯ca el teorema para una funci¶ on
indicadora, luego se prueba que el teorema aplica para cualquier funci¶ on simple
y por consiguiente tambi¶ en para cualquier funci¶ on no negativa. En ¶ ultimo lugar,
se demuestra que, como consecuencia de lo anterior, el teorema se veri¯ca para
cualquier funci¶ on g(¢) .
Figura 1: Pasos para la demostraci¶ on del teorema.
Comunicaciones en Estad¶ ³stica, diciembre 2008, Vol. 1, No. 1Dos expresiones para la esperanza de una variable aleatoria 59
1. Funci¶ on indicadora: sea A un conjunto de Borel, tal que A µ R. Luego
Z
R
IA(x)fX(x)dx =
Z
A
fX(x)dx
= ¹X(A)
= P(X¡1(A))
En donde se utiliza la de¯nici¶ on de integral dada por (1.9), el resultado de
Radon-Nikodyn y la de¯nici¶ on de medida inducida por una variable.
Por otro lado, de¯niendo S = f! 2 ­ : X(!) 2 Ag, se tiene que
Z
­
IA(X(!))dP =
Z
S
IA(X(!))dP +
Z
Sc
IA(X(!))dP
=
Z
S
1dP +
Z
Sc
0dP
=
Z
S
IS(!)dP
= P(! 2 ­ : X(!) 2 A) = P(X¡1(A))
En donde se utiliza el hecho de que la integral de una funci¶ on indicadora es
la medida del conjunto medible. N¶ otese que la cadena de igualdades coincide
con la anterior y por consiguiente se tiene el cumplimiento del teorema puesto
que Z
R
IA(x)fX(x)dx =
Z
­
IA(X(!))dP (2.3)
2. Funci¶ on simple: como el teorema es v¶ alido para funciones indicadoras y
utilizando la linealidad de las integrales, se tiene que
Z
R
'(x)fX(x)dx =
Z
R
k X
i=1
aiIAi(x)fX(x)dx
=
k X
i=1
ai
Z
R
IAi(x)fX(x)dx
=
k X
i=1
ai
Z
­
IA(X(!))dP
=
Z
­
k X
i=1
aiIA(X(!))dP
=
Z
­
'(X(!))dP
3. Funci¶ on no negativa: dado que fX es la derivada de Radon-Nikodyn,
entonces es no negativa. Ahora, utilizando (2.4), se tiene que existe una
Comunicaciones en Estad¶ ³stica, diciembre 2008, Vol. 1, No. 160 Andr¶ es Guti¶ errez & Hanwen Zhang
sucesi¶ on de funciones ffx'ng las cuales satisfacen que 0 · fx'1 · fX'2 ·
¢¢¢ · fX'n · fXg y
l¶ ³m
n!1fx'n = fxg (2.4)
De esta forma, aplicando el resultado de convergencia mon¶ otona, se tiene
que
Z
­
g(X(!))dP =
Z
­
l¶ ³m
n!1
'n(X(!))dP
= l¶ ³m
n!1
Z
­
'n(X(!))dP
= l¶ ³m
n!1
Z
R
'(x)fX(x)dx
=
Z
R
l¶ ³m
n!1'(x)fX(x)dx
=
Z
R
g(x)fX(x)dx
con lo cual se tiene que el teorema es v¶ alido para cualquier funci¶ on no ne-
gativa g.
4. Funci¶ on arbitraria: aplicando la de¯nici¶ on de parte negativa y positiva
de una funci¶ on de Borel, se tiene que g(w) = g+(!) ¡ g¡(!), con g+ y g¡
funciones no negativas. Entonces aplicando el anterior resultado, se tiene
Z
­
g+(X(!))dP =
Z
R
g+(x)fX(x)dx
Z
­
g¡(X(!))dP =
Z
R
g¡(x)fX(x)dx
(2.5)
Por consiguiente
Z
­
g+(X(!))dP ¡
Z
­
g¡(X(!))dP =
Z
R
g+(x)fX(x)dx ¡
Z
R
g¡(x)fX(x)dx
Por la linealidad de las integrales, se tiene que
Z
­
[g+ ¡ g¡](X(!))dP =
Z
R
[g+ ¡ g¡](x)fX(x)dx
Y con esto se tiene la demostraci¶ on completa del teorema puesto que
Z
­
g(X(!))dP =
Z
R
g(x)fX(x)dx
Comunicaciones en Estad¶ ³stica, diciembre 2008, Vol. 1, No. 1Dos expresiones para la esperanza de una variable aleatoria 61
N¶ otese que cuando la funci¶ on g es la funci¶ on id¶ entica, se tiene que las dos de¯ni-
ciones de esperanza coinciden. Es decir
E(X) =
Z
R
xfX(x)dx =
Z
­
X dP (2.6)
3. Discusi¶ on
En este manuscrito se ha probado que, efectivamente, las dos de¯niciones de es-
peranza coinciden. Existen otras formas de probar este resultado; sin embargo,
aqu¶ ³ quis¶ ³mos hacerla de una forma clara, de acuerdo a los procedimientos cl¶ asicos
de la teor¶ ³a de la medida.
N¶ otese que la igualdad de las dos esperanzas es una consecuencia de la ley del
estad¶ ³stico inconsciente dada por el resultado 2.1. Cuando la funci¶ on g se toma
distinta a la funci¶ on identidad, se pueden probar otro tipo de igualdades que
resultan interesantes en el desarrollo de la teor¶ ³a estad¶ ³stica; por ejemplo, que las
dos de¯niciones de la funci¶ on generadora de momento son iguales, o la de¯nici¶ on
de varianza.
Agradecimientos
A los lectores de Apuntes de Estad¶ ³stica (Apuntes de Estad¶ ³stica 2008) por sus
invaluables comentarios. A Camilo Cubides por su colaboraci¶ on en la correcci¶ on
del estilo de este art¶ ³culo.
Referencias
Apuntes de Estad¶ ³stica (2008), El teorema del estad¶ ³stico inconsciente.
*http://www.predictive.wordpress.com
Cook, J. (2008), `Relating two De¯nitions of Expectations', The Endeavour blog .
*http://www.johndcook.com/blog/
Mood, A. M., Graybill, F. & Boes, D. C. (1963), Introduction to the Theory of
Statistics, McGraw-Hill.
Shao, J. (2003), Mathematical Statistics, Springer.
Comunicaciones en Estad¶ ³stica, diciembre 2008, Vol. 1, No. 1

Dos expresiones para la esperanza de una variable aleatoria

http://predictive.files.wordpress.com/2008/12/9-medida.pdf

Dos expresiones para la esperanza de una variable aleatoria

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