Contrôle optimal et calcul de Malliavin appliqués à la finance

Abstract

La première partie est consacrée au contrôle optimal stochastique et impulsionnel. Nous proposons deux algorithmes pour résoudre numériquement des inéquations Quasi Variationnelles qui apparaissant dans un problème de gestion de portefeuille avec coûts de transaction fixes et proportionnels. Dans la deuxième partie nous appliquons le calcul de Malliavin au calcul des sensibilités. Nous étudions des processus de sauts purs et nous établissons des formules d intégration par partie à l aide des densités des amplitudes de sauts que nous supposons différentiables. Ensuite nous affaiblissons l hypothèse sur les densités en les supposant différentiables par morceaux. Ainsi nous utilisons la densité des temps de sauts pour établir des formules d IPP. Nous étudions aussi des modèles de diffusons continues à plusieurs facteurs. L ellipticité de la diffusion est nécessaire pour l approche classique du calcul de Malliavin. Pour les options européennes nous établissons plusieurs IPP indépendamment de l ellipticité de la diffusion, à l aide d autres variables qui agrègent la diffusion multidimensionnelle et qui réduisent la dimension de la matrice covariance de Malliavin. Dans le dernier chapitre nous étudions le calibrage de la volatilité locale par minimisation de l entropie relative. Il s agit de résoudre un problème de contrôle stochastique. Nous proposons des améliorations aux algorithmes déjà existants.In the first part we study the optimal stochastic and impulse control. We give two algorithms to solve numerically the Quasi Variationnel Inequalities that appear in a portfolio management optimization with fixed and proportional transaction cost. In the second part we use the Malliavin calculus to compute the sensitivities. We study a pure jump process and use a differentiable density of jump amplitude to establish an Integration By Parts formula. Next we use the density of the jump time which is not continuously differentiable and establish also an IBP formula. We apply also the Malliavin calculus for continuous multidimensional diffusions in a multi factors models. The classical approach is based on the ellipticity of the diffusion. This condition is not always satisfied in the interest rate frame. For European option we establish some IBP formula based on other variables that aggregate the multidimensional diffusion and reduce the dimension of the Malliavin covariance matrix. In the last chapter we comment the method of calibrating the local volatility by using an entropy minimization. We have to solve a stochastic control problem. We give numerical improvement for the existingPARIS-DAUPHINE-BU (751162101) / SudocSudocFranceF