Викладено одну модифiкацiю моделi Форрестера свiтової динамiки. У запропонованiй моделi введено фактор невдоволення на кожному системному рiвнi моделi. Встановлено умови стiйкого розвитку вiдносно двох мiр у межах даної моделi.The paper is devoted to the discussion of a modification of Forrester’s model of the world dynamics. In the model, the “factor of discontent” is taken into account via the dynamics of public opinion on the development of separate system levels. We also established the conditions of sustainable development with respect to two measures

Meier zu Selhausen, F.

Weisdorf, J.L.

Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine

Utrecht University Repository

A Colonial Legacy of African Gender Inequality? Evidence from Christian Kampala, 1895-2011

Sociaal-economische geschiedenis

LS Economische Geschiedenis

NARCIS 

Мартынюк, А.А.

Наукова електронна бібліотека періодичних видань НАН України (Vernadsky National Library of Ukraine)

УДК 517.36© 2010Академик НАН Украины А.А. МартынюкОб одной математической модели мировой динамикии устойчивости развитияВикладено одну модифiкацiю моделi Форрестера свiтової динамiки. У запропонованiймоделi введено фактор невдоволення на кожному системному рiвнi моделi. Встановленоумови стiйкого розвитку вiдносно двох мiр у межах даної моделi.Целью данной работы является обсуждение одной модификации модели Форрестера, учи-тывающей фактор недовольства развитием на отдельных уровнях модели, и получениеусловий устойчивого развития относительно двух мер.Модель мировой динамики Форрестера (см. [1, 2]) построена на основе подхода, развито-го при изучении сложных систем с нелинейными обратными связями. При моделированиимировой динамики были приняты во внимание следующие глобальные процессы:(i) быстрый рост населения планеты;(ii) индустриализация и связанный с нею рост промышленного производства;(iii) ограниченность пищевых ресурсов;(vi) увеличение отходов производства;(v) нехватка природных ресурсов.Основными переменными в модели Форрестера приняты:1) население P (далее используется обозначение X1);2) основные фонды K (X2);3) доля фондов в сельском хозяйстве X (X3);4) уровень загрязнения окружающей среды Z (X4);5) количество невозобновляемых природных ресурсов R (X5).Факторами, через которые осуществляется взаимовлияние переменных X1, . . . ,X5, при-няты следующие:относительная численность населения Pp (население, нормированное к его численностив 1970 г.);удельный капитал Kp;материальный уровень жизни C;относительный уровень питания F ;нормированная величина удельного капитала в сельском хозяйстве Xp;относительное загрязнение Zs;доля остающихся ресурсов RR.Кроме перечисленных факторов, Форрестер рассмотрел еще понятие “качество жиз-ни” Q. Этот фактор зависит от переменных Pp, C, F и Zs: Q = QCQFQPQZ .Для переменных P , K, X, Z, R, которые интерпретируются как системные уровни,пишутся уравнения типаdydt= y+ − y−, (1)16 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2010, №7где y+ — положительный темп роста скорости переменной; y− — отрицательный темп ско-рости убывания переменной y. В упрощенном виде уравнения мировой динамики имеютвидdPdt= P (B −D),dKdt= K+ − T−1K K,dXdt= X+ − T−1X X,dZdt= Z+ − T−1Z Z,dRdt= −R−,(2)где B — темп рождаемости; D — темп смертности; K+ — скорость производства основныхфондов; X+ — прирост доли сельскохозяйственных фондов; Z+ — скорость генерации за-грязнения; TZ — характерное время естественного разложения загрязнения; R− — скоростьпотребления ресурсов.Математический анализ модели (2) обнаружил существование стационарных и квази-стационарных решений, которые интерпретируются как “глобальное равновесие” и “устой-чивое общество”.Пусть “нация” N (совокупность международных организаций) формирует общественноемнение о глобальных процессах, происходящих на определенном системном уровне. Измене-ние меры общественного мнения предлагается моделировать на каждом системном уровнеуравнениемd2χdt2+m2χ = 0, χ′(t0) = χ′0, χ(t0) = χ0. (3)Здесь величина m является функцией значения переменных 1–5 в момент t = t0. При этомдля системных уровней пишутся уравнения типа (1)dydt= y+ − y− + b(t), (4)где функция “недовольства” b(t) конкретизируется так (ср. [3]):b(t) = ge±α|χ(t)|, α = const > 0. (5)Здесь g — фактор “недовольства”, отражающий изменение “качества жизни” стран, вовле-ченных в мировую динамику. Соотношение (5) моделирует нарастание (убывание) недо-вольства протекающими глобальными процессами в зависимости от изменения меры обще-ственного мнения.ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2010, №7 17Таким образом, обобщением модели Форрестера (1), (2) являются уравненияdX1dt= X1(B −D) + g1e±α|χ(t)|,dX2dt= K+ − T−1K X2 + g2e±α|χ(t)|,dX3dt= X+ − T−1X X3 + g3e±α|χ(t)|,dX4dt= Z+ − T−1Z X4 + g4e±α|χ(t)|,dX5dt= −R− + g5e±α|χ(t)|,d2χdt2+m2χ = 0,(6)где g1, . . . , g5 — факторы недовольства на соответствующем системном уровне.Общую нелинейную модель мировой динамики предлагается описывать системой диф-ференциальных уравнений видаdXidt= Wi(X) + gie±α|χ(t)|, (7)d2χdt2+m2χ = 0, i = 1, 2, . . . , N. (8)Здесь X = (X1, . . . ,X5, . . . ,XN ) ⊆ S(H), где X1, . . . ,X5 — переменные Форрестераи X5+1, . . . ,Xn — некоторые другие переменные, вовлеченные в уравнения мировой ди-намики, Wi : S(H) → RN+ является вектор-функцией с компонентами, описывающими изме-нение переменных на соответствующем системном уровне. Предполагается, что решение(XT (t), χ(t))T системы связанных уравнений (7), (8) существует при всех t > t0 и началь-ных условиях (XT0 , χ′0, χ0)T ∈ int(RN+ , R × R).Предположим, что система нелинейных уравненийW1(X) + g1e±α|χ(t)| = 0,. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .WN (X) + gNe±α|χ(t)| = 0имеет квазистационарное решение Xn(t) = (X1n(t), . . . ,XnN (t))T при любой ограниченнойфункции χ(t), являющейся решением уравнения (8). При этом заменой ЛяпуноваY (t) = X(t)−Xn(t)система уравнений (7) приводится к видуdYdt= Y (t, Y ), (9)где Y (t, Y ) = W (Y +Xn(t)) +Ge±|χ(t)| − (W (Xn(t)) + Ge±|χ(t)|). Очевидно, Y (t, 0) = 0 привсех t > 0. Система (9) является системой возмущенных уравнений мировой динамики.18 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2010, №7Проблема устойчивого развития связана с анализом решения Y = 0 уравнений (9). Ана-лиз устойчивости решений будем проводить относительно двух мер H0, H, принимающихзначения из множествΦ = {H ∈ C(R+ ×RN , R+) : inf(t,Y )H(t, Y ) = 0};Φ0 = {H ∈ {Φ: infYH(t, Y ) = 0 для каждого t ∈ R+}.Далее будем придерживаться следующего определения.Определение 1. Мировая динамика (7), (8) имеет устойчивое развитие относительнодвух мер, если для любого ε > 0 и t0 ∈ R+ существует положительная функция δ(t0, ε) > 0,непрерывная по t0 для каждого ε, такая, что из условия H0(t0, Y0) < δ следует оценкаH(t, Y (t)) < ε при всех t > t0 и при любом ограниченном решении χ(t) уравнения (8).Заметим, что если система (7), не имея нулевого решения (W (0, χ(t)) 6= 0 при X = 0),имеет номинальное решение Xn(t), тогда меры H0, H могут быть выбраны так: H(t,X) == H0(t,X) = ‖X − Xn(t)‖, где ‖ · ‖ — эвклидова норма вектора X. Если в системе (7)представляет интерес исследование устойчивости развития по переменным Форрестера, томеры H0, H выбираются так: H(t,X) = ‖X −Xn(t)‖s, 1 6 s 6 5, и H0(t,X) = ‖X −Xn(t)‖.Это соответствует анализу устойчивости системы (7) по двум мерам относительно частипеременных.Предположим, что для системы (9) построены элементы uij(t, Y ) матричнозначной фун-кции (см. [4])U(t, Y ) = [uij(t, Y )], i, j = 1, 2, . . . ,m, m < N,где uii ∈ C(R+ × RN , R+) и uij ∈ C(R+ × RN , R) при (i 6= j) ∈ [1,m]. ФункциюV (t, Y, w) = wTU(t, Y )w, w ∈ Rm, (10)будем рассматривать вместе с функциейD+V (t, Y, w) = wTD+U(t, Y )w, (11)где D+U(t, Y ) — правая верхняя производная Дини вычисляется поэлементно для матри-чнозначной функции U(t, Y ).Условия устойчивости развития относительно двух мер (H0,H) содержатся в следующемутверждении.Теорема 1. Пусть уравнения глобальной динамики (7), (8) определены и непрерывныв области значений (t, Y, χ) ∈ R+ × S × D. Если при этом1) меры H0, H ∈ Φ-классу;2) функция (10) удовлетворяет условию V (t, Y, w) ∈ C(R+ × S × Rm, R+) и являетсялокально липшицевой по Y ;3) функция V (t, Y, w) удовлетворяет оценкамa) a(H(t, Y )) 6 V (t, Y, w) 6 b(t,H0(t, Y )) при всех (t, Y, w) ∈ S(h,H) × Rm либоб) a(H(t, Y )) 6 V (t, Y, w) 6 c(H0(t, Y )),где a, c ∈ K-классу и b ∈ CK-классу функций сравнения;ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2010, №7 194) существует матричнозначная функция Θ(Y,w), Θ ∈ C(RN×Rm, Rm×m) и Θ(0, w) == 0 при всех (w 6= 0) ∈ Rm такая, чтоD+V (t, Y, w) 6 eT Θ̂(Y,w)eпри всех (t, Y, w) ∈ S×Rm, где e = (1, 1, . . . , 1)T ∈ Rm, S ⊂ (RN ×R+), Θ̂(Y,w) = (Θ(Y,w)++ ΘT (Y,w))/2 при любом ограниченном решении χ(t) уравнения (8).Тогда:А. Мировая динамика (7), (8) имеет устойчивое развитие относительно двух мер,если матрица Θ̂(Y,w) отрицательно полуопределенная, мера H непрерывна по мере H0и выполняется условие 3a.Б. Мировая динамика (7), (8) имеет равномерно устойчивое развитие относитель-но двух мер, если матрица Θ̂(Y,w) отрицательно полуопределенная, мера H равномернонепрерывна по мере H0 и выполняется условие 3б.Доказательство. Заметим, что функция V (t, Y, w), определяемая формулой (10), —скалярная псевдоквадратная форма относительно w ∈ Rm. Поэтому знакоопределенностьфункции (10) относительно меры H не требует H-знакоопределенности элементов uij(t, x)матрицы U(t, Y ). Докажем вначале утверждение А теоремы 1. Из условий 1, 2, 3а следует,что функция V (t, Y, w) слабо H0-убывающая. Поэтому при t0 ∈ R (t0 ∈ R+) существуетпостоянная ∆0 = ∆0(t0) > 0 такая, что при H0(t0, x0) < ∆0 выполняется неравенствоV (t0, Y0, w) 6 b(t0,H0(t0, Y0)). (12)Из условия 3а следует также, что существует ∆1 ∈ (0,H) такое, чтоa(H(t, x)) 6 V (t, x, w) при H(t, x) 6 ∆1. (13)Из того, что мера H непрерывна по мере H0, следует, что существуют функция ϕ ∈ CKи постоянная ∆2 = ∆2(t0) > 0 такие, чтоH(t0, Y0) 6 ϕ(t0,H0(t0, Y0)) при H0(t0, Y0) < ∆2, (14)где ∆2 выбрано так, чтоϕ(t0,∆2) < ∆1. (15)Пусть ε ∈ (0,∆0) и t0 ∈ (t0 ∈ Tτ ) заданы. Так как функции a ∈ K и b ∈ CK, то призаданных ε и t0 можно выбрать ∆3 = ∆3(t0, ε) > 0 так, чтоb(t0,∆3) < a(ε). (16)Выберем δ(t0) = min(∆1,∆2,∆3). Из условий (12)–(16) следует, что при H0(t0, Y0) < δвыполняются неравенстваa(H(t0, Y0)) 6 V (t0, Y0, w) 6 b(t0,H0(t0, Y0)) < a(ε),из которых получаемH(t0, Y0) < ε.20 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2010, №7Пусть Y (t; t0, Y0) = Y (t) — решение системы (9) с начальными условиями, для которыхH0(t0, Y0) < δ. Убедимся, что при выполнении условий теоремы 1 выполняется оценкаH(t, Y (t)) < ε при всех t > t0.Предположим, что существует t1 > t0 такое, чтоH(t1, Y (t)) = ε и H(t, Y (t)) < ε, t ∈ [t0, t1),для решения Y (t; t0, Y0) с начальными условиями H0(t0, Y0) < δ.Из условия 4 и того, что матрица Θ̂(Y,w) отрицательно полуопределенная в области S,следует, что корни λi = λi(Y,w) уравненияdet[Θ̂(Y,w) − λE] = 0удовлетворяют условию λi(Y,w) 6 0, i = 1, 2, . . . ,m, в области S. ПоэтомуD+V (t, Y, w) 6 eT Θ̂(Y,w)e 6 0и при всех t ∈ [t0, t1] выполняется последовательность неравенствa(ε) = a(H(t1, Y (t1))) 6 V (t, Y, w) 6 V (t0, Y0, w) 6 b(t0,H0(t0, Y0)) < a(ε).Полученное противоречие опровергает предположение о том, что t1 ∈ [t0,+∞). Следова-тельно, система (7), (8) (H0,H)-устойчива. Доказательство утверждения Б теоремы 1 про-водится аналогично. При этом учитывая, что выполняется условие 3б и мера H равномернонепрерывна по мере H0, величину δ можно выбрать не зависящей от t0 ∈ R (t0 ∈ R+). Отсю-да будет следовать равномерная (H0,H)-устойчивость системы (7), (8).Заметим, что построение подходящей функции (10) на основе матричнозначной фун-кции U(t, Y ) существенно упрощается, так как элементы uij(t, Y ) могут быть связаныс уравнениями мировой динамики на определенном системном уровне.1. Forrester J.M. World dynamics. – Cambridge: Wright-Allen Press, 1971. – 144 p.2. Meadows D.L., Meadows D.H. Toward global equilibrium. – Cambridge: Wright-Allen Press, 1972. – 274 p.3. Мартынюк А.А. Об одном обобщении модели Ричардсона гонки вооружений // Докл. АН. – 1994. –339, № 1. – С. 15–17.4. Martynyuk A.A. Stability of motion. The role of multicomponent Liapunov’s functions. – London: Cambri-dge Sci. Publ., 2007. – 322 p.Поступило в редакцию 18.12.2009Институт механики им. С.П. ТимошенкоНАН Украины, КиевAcademician of the NAS of Ukraine A.A. MartynyukOn a mathematical model of the world dynamics and the sustainabledevelopmentThe paper is devoted to the discussion of a modification of Forrester’s model of the world dynamics.In the model, the “factor of discontent” is taken into account via the dynamics of public opinionon the development of separate system levels. We also established the conditions of sustainabledevelopment with respect to two measures.ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2010, №7 21