杉本, 大一郎

Kyoto University Research Information Repository

Title自己重力系の熱力学と宇宙の進化(シンポジウム「統計物理学の課題」, 研究会報告)Author(s)杉本, 大一郎Citation物性研究 (1981), 35(4): D99-D105Issue Date1981-01-20URL http://hdl.handle.net/2433/90161RightType Departmental Bulletin PaperTextversionpublisherKyoto University自己重力系の熱力学 と宇宙の進化東大 ・教養 杉 本 大一郎現在の宇宙の内部の状況は,熱 平衡状態からはずれているように見 える。実際に,宇 宙では熱平衡状態から非平衡状態が発生 したという証拠がある。そのような秩序発生の原因は,緩 和時間に比べて十分に速い宇宙膨張と,自 己重力の作用下にある系の熱力学が示す特異性,す なわち見かけ上の比熱が負であるという事実に求められる。1.問 題提起 と結論現在の膨張宇宙の様子は,明 らか に熱平衡状態か らはずれている。物 質は星 と薄 いガスとに分かれている。星の温度は内部 では10K表 面 では10K,ガ スの温度 は場所 によって10K～106Kの 範囲にわたる。それ に対 し,宇 宙に充満 している黒体輻射 の温度 は3Kで ある。このよ うな非平衡状態が実現 しているのはなぜであろ うか。宇宙の状態 はかってClausiusやBoltzmannが 老 えたよ うに,熱 力学第二法則 に従 って"熱 的な死"へ 向か って堕 落 しっっあるのであろ うか。そ うだ とすれば,宇 宙 は過去のある時点 に,非 平衡状態 から出発 していなければな らない。 しか しなが ら,宇 宙 に3Kの"黒 体"輻 射 が充満 してい るこ とは,過 去 の宇宙 は熱平衡状態 にあったこ とを意 味 してい る。だか ら,宇 宙 の中では熱平衡状態か ら非平衡状態 が実現 して来た,す なわ ち,宇 宙 の内部 では秩序 が形成 され,進 化 が起 こって来た としな ければならない。その メカニズムに2つ の重 要な過程 があることを以下で論ず る。その第一 は,宇 宙膨張 による境界条 件の変化の方 が熱平衡状態の緩和 より も速い ときに,平 衡状態か ら非平衡状態 が生ずることである。第二 は自己重力の作用す る系では,エ ン トロピーの増大に伴 って,物 質分布,温度分布 の非一様化 が起 こるとい うこ とである。 したが って,現 在の宇宙 において一見熱平衡か らずれたよ うな状態 が見 られ るのは,熱 力 学第二法則 とは矛盾 しない。これ らの事 柄 に 関 す るや や 詳 しい解 説 と総合 報 告 は,近 い うち にそ れぞ れ,科 学(岩 波 書店1981年)とProg.Theor.Phys.Suppl.(1981)に書 く予 定 にな って い るの で,そ れ らを参照 して ほ しい 。一D99一杉本大一郎2.境 界条件 の変化 と情報の発生まず宇宙 は断熱 系かど うかを論 じてお く必 要があ る。話 を簡単 にす るために,宇 宙の 内部に仮 想的な壁 を考える。その壁に囲まれ た領域2の 体積Vは,そ の壁 が宇宙膨張 と共に膨張 してい ると考 えて もよい程に十 分大きいが,一 般相対論 の効果 を考 えなくて も艮い程度 に十 分小 さい もの とす る。ふつ うの宇宙論 では,宇 宙の内部 は一様 ・等方的 である とし,こ れは宇宙原理と呼ばれている。それは現実の宇宙 に関する第一近似である と老えて もよいが,宇 宙 の初期 に特定 の情報がない限 り,一 様 ・等方 にな るものと考 えて も良い 。(特 異点か ら発生 した宇宙 の中にある輻射場が"黒 体"輻 射 にな っているの も同 じ理 由による。)宇 宙原理 を前提 とすると,領域2が 宇宙 の中の他 の領域,S2tと 区別 され る理 由は何 もない。 したが って2か らのエネルギー(熱)の 流入 と流 出は,あ る として も,い っで も釣合 ってお り,そ の意味 で2は 断熱壁 に囲まれてい る系 と同等 である。 もし2に 正味 の熱 の流出/入 があれば,そ のこ とを もとに して他の領域 と区別 することが出来 るこ とにな り,宇 宙原理 に矛盾す るか らである。さて,熱 力学第二法則に よって,別 の言い方をすれ ば,非 可逆過程がおこるにつれ て,2とい う領域にある全系のエン トロピーS(t)は 時間tと 共 に増 大す る。系が熱平衡 に到達 する とき,そ のエン トロピーは極大値5m。 、にな って いるとす る。現在の状態 を非 平衡で あるとすれば,S(t)〈Sm、xであるが、その状態の持 っている情報量1は∬ 一 〔Smax-S(t)〕/kl・2・ (1)で表 される。ここで注意すべきことは、5m。xの値は境界条件,た とえば,後 に示 すよ うに,系の体積 などによるとい うこ とである。そ こで,非 可逆過程が起 こ ってSが 増大す る速 さas/Cltよ りも速 く,系 の境界条件 を変 えてSm。xを 増大 させれは(ClSm。 、/dt>a5/dtな らば),熱 平衡状態(1=0)か ら出発 して も,非 平衡 状態(1>0)が 生まれ得 るわ けであ る。つ ま り,熱平衡 に対応 する状態の変化について行け る程に非 可逆過程は速 く進行せず,系 は"落 ちこぼれ"た こ とになる。この"落 ちこぼれ"過 程 の うちで重要な ものは,宇 宙 における元素合成 と関係 してい る。宇宙 が膨 張するにつれて、その輻射場 の温度 鴛 は領域2の 大きさのスケール(半 径)Rに 逆 比例して減少 した(T(エR-1r)。 宇宙膨張 の最初の3分 間以前 には ℃ ≧1010Kで 物 質(そ の温度㌃ は異 に等 しか った)は 陽子 と中性子 であるのが熱 平衡状態であ った。 しか し宇宙 が膨 張 して 町 ～1010Kに なると,結 合状態 であ る ㌔eに な って い るの が熱平衡状態 である。そこで核反応(非 可逆過程)が 起 こってIHeに なろ うとするが,そ の反応が途 中まで しか進 まない うちに温度 が下が って しまい,反 応は停止 して しまった。現在の宇宙(㌃ 《1010K)で ぽ 原 子核一D100一自己重力系の熱力学 と宇宙の進化種 は,最 もエネルギーの低 い結合状態 すなわち56.Feで あ るのが熱平衡状態である。 しか し蟻落ちこぼれ"の 結果,軽 い原 子核 が多 く残 っている。現在,星 の内部核反応 が起 こ り,鉄 が合成 され て行 きつつ あるが,そ れは宇宙初期 に起 こった"落 ちこぼれ"を 取戻 して行 く過程なのである。3.重 力 熱力 学 的 カ タス トロフ ィー過去 の宇宙 におけ るもう一つ の大切な落 ちこぼれ は,等=10Kの ときに起 こ った,輻 射 と物質の遊離である。それ以後 は 男 ≠㌃ とな った。こ うして輻射 と物質が別 々に振舞 うよ うになる と,重 力熱力 学的カタス トロフィーが起 こ り,自 己重力 による物質の凝集 が始まるよ うにな る。ここで は一般の 自己重力系 を考えよ う。球形の断熱壁に囲まれたガスを考 える。そ の中心における密度 を ρ、、壁のす ぐ内側にお ける密度 を ρ1で表 す。両者 の比 を1)≡ ρ。/ρ1・ (2)と し,密 度 コ ン トラス トと呼 ぶ 。重 力 の効 果 が大 きい とDは 大 きい 。そ れ に対 し,ふ つ うの熱力学 は,D・:1の 場 合 に あ た る。この系の熱平衡状態 を老え る。ガスに運動 はないであろ う。運動 があ ると散 逸が起 こるか らである。 したがってガスは重力平衡状態 にある。すなわち,系 は壁 に囲まれ た星の ような ものであ り,そ の内部では重力に よって収縮 しよ うとする力 と,ガ スの圧力勾配 とが釣合 っている。次に系 の内部 の温度分布 は等温 であろ う。温度勾配 があると熱が流れ るとい う非可逆過程が起こるか らである。その よ うな系で,内 部 のある点1か ら外部のある点2へ 熱 を仮想的に移 した とする。すると点1の 温度 は,ま ず熱 を取 られ たた めに下が る。すなわ ち δ7f<0、 点2で はその逆 で δTa>0(以 下同様)。 しかし点1の 圧力が下 が り,そ のためにガスが重力 に押 されて収縮 し,その(断 熱)圧 縮 のた めに点1の 温度が上がる。すなわち δ坤>0。 温度の全変化 はδ雪 一 δTla+δ7,, (3}である。そのよ うな レスポ ンス を線形理論 で調べれ ば_D>709の ときには δ穿 よ りもδ7Pすなわ ち重力 の効果が効ざ δTl>0(δT2〈e)と な ることがわか る。すなわち見掛上の比熱が負 にな っていることにな る・(こ れに対 し・重力 の比較的弱いD〈709の 場合には δT,〈0と な り,ふ っ うの熱力学 に一一Stする。)一D101一杉本大一郎このよ うに,摂 動 によって δTi>O,δT2〈0と なれば,そ の後は熱 は点1か ら2へ 向か って ますます流れ るこ とになる。すなわ ち系は熱の移動 に対 して不安定である。それ に伴 って中心部は重力 に よって ます ます収縮 し,外 側 の領域 は膨張 して密度が低 くな る。この不安定 は重力熱力学的 カタス トロフ ィー と呼ばれ る。この系の最初の状態は,D>709の 場合には,エ ントロピーの極小値にあ った ことがわか る?この不安定 が有限振幅 に成長 して行 く様子は,恒 星(壁 を無限遠 へ追いや った もの、 したがってρ→。。)の 重力収縮に対応 し,数 値計算 によ って調 べるこ とが出来 る?そ の結果,中 心部のエン トロピーは減少 し,外 側 の層のエ ン トロピーは増大することがわか る。星 が重力収縮 をする場合 には,星 のエン トロピーは減少 するが,星 を取巻 く空間に光 を捨 てるので,そ の空間の輻射 場のエ ン トロ ピー は増大す る。それ らを全部断熱壁 で取囲んで考 える時,そ の壁 の内部にある全エ ン トロ ピーは もちろん増大 して行 く。この意味で,熱 力学第二法則 とは何等 の矛盾もない 。しか しエ ン トロピー増大 に伴 って,物 質 の局在化 はます ます進行するこ とになる。このよ うに"常 識的熱力学"と の差異 が現れる根本原 因は,重 力 の相互作用 は力の到達距離が無限大であること,そ のために"自 己"重 力 のエネル ギーはextensiveな 量ではな くてむ しろ質量の2乗 に比例 することにある。4.カ タス トロフ ィー の終着 点 とブ ラ ッ ク ・ホー ル有限振幅 の重力 熱力学的 カタス トロフィーはどこまで進行 するのであろ うか。非相対論 すなわちニュー トン力 学で老 えると,そ れは無 限に進行す る。 しか しなが ら前節に述 べた系 で中心部の収縮が進む と,つ いには中心部 はブ ラック ・ホール(BH)に な るので,一 般相 対論的効果 を考慮 しなければな らない。BHは 物 を吸込む とい う点のみがふつ うは強調 されてい る。 しか し重力場 は古典論 で も物質場 を量子化 すれば,真 空 中におかれたBHは エネル ギー を輻射 して蒸発す る。こ うしてBHと 外界 とのエネルギーのや りとりがあるわけで,そ れ に対応 して,BHの 熱力学 が作 られて い るi)BHの 輻射に対応する温度はmO2m(4)T・・一 論蟷 一・ボK礁)・で あ る 。 こ こ でmはPlanckmass9m-(h。/の'/2-2×1σ`99MBHは ブ ラ ック ホー ル の,M@は 太 陽 の質 量 で あ る 。BHの エ ン トロ ピー は一D102一(5)・BH-・ ・撫2-・ ・20・(MBH可)(撫),と表 され,準 静的変化 に対 す るエネルギーの出入 りはag-e2alMb。-TB。dS、 。 ・自己重力系の熱力学と宇宙の進化(6)(7}を満たす。ここでMNは 核子 の質量である。太陽質量程度以上のBHが 持つ エ ン トロピーの絶対値が非常 に大きい事 は,BHが 形成 され ると,簡 単には元に戻せない ことを意味す る。なおSBHもextensiveな 量 ではないこ とに注 目されたい。体積7の 断熱壁 に囲まれた空間 の中に1個 のBHと 温 度T,の 黒 体輻射場 があるとす る。BHを1個 だけ考え るのは,BHが 多数個 あるとして もそれ らが合 体 して1個 のBHに な るし,また そ の合 体の過 程 は式(6)か らわ か るよ うに(SBH～IllH),エン トロ ピー が発 生 す る非 可逆過程 だ か らで あ る。BHの エ ネ ル ギーEBH=MBHe2と 輻射 場 の エネ ル ギ ーE.=α 牢7と の 和を全 エネ ル ギーEと す る。SBHと 輻 射 場 のエ ン トロ ピーS,==(4α/3)禦7との和 を全 エ ン トロ ピー-Sと す る 。そ こで全 エ ネ ル ギー に対 す るEBHの 割 合,す な わ ちx≡EBH/E・の関数 として全 エン トロピー を表 す と,垂 …n・ ・一 ノ+y(・-x)3/4,とな る。図1はxに 対 して式(9)の右辺 をプロッ トした ものであるが,そ の曲線の様子は・≡ 〔(Zit}'1)4・ve〕残¥)・の値,す なわ ち曲線 が縦軸 を切 る値 によ って異 な る。図に見 られ るよ うに,y<1,(8)(9)α①1<y〈1.4,1。4〈yの それ ぞれ の場 合 に よ って エ ン トロ ピー の極 値 が4個,4個,2個現 れ る。たた し灘の 両端 に対 応 す る点 も極 値 とす る。式 を調べてみれがわか るように,xの 両端以外のエ ン トロピーの極値 のところではTBH=等とな ってお り,BHと 輻射場 は熱平衡にあ る。他の場所ではTBH>T,か またはTBH〈T,になってお り,図 に矢印で示 した よ うにそれぞれBHが 蒸発 してxが 減少 して行 くか,BHが 輻射 を吸収 して 偲が増加 して行 くかになってい る。この ときに,図 に見 られ るよ うに,当 然 ながら全エ ン トロピーは増大す る。一D103一杉本大一郎2.0― ????ー?? ?? 。。?? ?0・500.5x一1.00,930.950.9751.00x-― 一 ―9P図1ブ ラック ・ホール と輻射場 からなる系のエ ン トロピー。右側の図は左側 の図の一部 を拡大 したもの。(杉 本大一郎,現 代天文学講座7,星 の進化 と終末,杉 本大一郎編,恒 星社,1980年,p.235に よる。)膨張宇宙の状況で はy《1で あ るか ら,図 では一番下の曲線 が対応する。宇宙 はその曲線のA点(x=0),す なわち輻射場 のみの状態 から始 まった。この状 態 よりもエ ン トロピーの高い状態C点 があるが,系 はエン トロピー を連続 的に増大 させなが らC点 とい う熱平衡状態 に移ることは出来 ない。 したがってC点 へ移 るには,不 連続的 な変化が必要にな る。これは次 のように考 えて もよい。すなわ ちA点 はBHで 過飽和 にな った状態 であ る。そこでBHが 凝集す るのは,水 蒸気 で過飽 和の大気に水滴ができ るような相転移 である。宇宙の場合 には凝集の核 とな るべき ものは,系 外 から供給 され ることはない。 しか しなが ら,前 節で述べた重 力熱力学的カタス トロフィー として,そ の相転 移 を実現 させ る機構 が宇宙 に内包 されてい るのであ る。このよ うに解釈す ると,宇 宙 はそのは じま りの ときか ら,C点 とA点 のエ ン トロ ピー差 に相当す る情報 を隠 し持 っていたこ とにな るし,そ の隠 し情報 を現実化 させ る機構 を も内包 していた ことにな る。それではど うして宇宙はA点 とい うmeta-stableな 状 態か ら始 まったのであ ろうか。その理 由は良 くわ からないが,一 っの問題 とな り得 る事柄である。一D104一自己重力系の熱力学と宇宙の進化References???1.HachisuandD.Sugirnoto,Prog.Theor.Phys.60(1978),123.1.Hachisu,Y.Nakada,K.Nomoto,andD.Sugimoto,Prog.Theor,Phys.60(1978),393。P。C.W.Davies,Rep.Prog.Phys.41(1978),1313.一D105 }

自己重力系の熱力学と宇宙の進化(シンポジウム「統計物理学の課題」, 研究会報告)

http://repository.kulib.kyoto-u.ac.jp/dspace/bitstream/2433/90161/1/bsk03504_D099.pdf

自己重力系の熱力学と宇宙の進化(シンポジウム「統計物理学の課題」, 研究会報告)

Abstract

Similar works

Full text

Available Versions

Kyoto University Research Information Repository