Rodés, A.A.

Revistes Catalanes amb Accés Obert

Pub . Mat . UAB
N° 21 Oct . 1980
Actes VII JMH1
SUMABILIDAD EN SUCESIONES TRANSFORMADAS DE UNA DADA POR OPERADO-
RES UNITARIOS
Alvaro Angel Rodés Usán
Dpto . de Teoria de Funciones
.Universidad de Zaragoza
Sl
Abstract
Let Y, be a real, separable, Hilbert &pace and let b be the
set of bounded linear operators on Y . Let S be a fixed sequence of
elements of Y . Let
	
G (resp . G') be the subset of b srhich gives
summability on U(S), for some (resp . all) unitarias operator. In
this paper, the coincidence of G w.ith the set of operators xhose
range has dimension < p, is charácterized . It is shoun that GS í0l
iff S is not sumnable ; otherwise GS = i3 .
Sea P- el espacio de Hilbert separable real, 63 el álgebra
de operadores lineales acotados de k en K, y LU,el grupo de operado-
res unitarios .
Dada S = an ; ni- N 1 una sucesión completa en 1,se definen
los conjuntos DS y MS como
y
DS = A E b3 ; AS sumable ,
MS = ~xEi~, i y 1(an rx)~ < °°~ .
Indicaremos por í, la relación de equivalencia unitaria en 55,
AKLB <==> 3UEU ; B=U*AU,
denotaremos por [ ] las clases de equivalencia de la relación IL.
1 .- El Conjunto de operadores GS
Definición 1 .- Definimos el conjunto de operadores de S3 , G
S
, como
A E GS	<__=>[A] 0 DS é 0 .
229
Proposición 1 .-
	
A E GS
<==> A da sumabilidad en alguna sucesión igual
a S . (Transformada por algdn operador unitario)
Proposición 2 . - El conjunto GS cumple :
a) GS = Sat . DS	(Satur do en P,),
S S
El conjunto GS no es en general ideal a la izquierda de 13 '
pero en algdn caso puede ser incluso bilátero, como en los siguientes .
S sumable <__> G = 0 ,
S
S base ortonormal <__ > GS = (~5 2
Pasemos a estudiar la influencia de la dimensión del subespacio
de 9¿ , MS,dominio de sumabilidad débil, sobre el conjunto GS.
Teorema 1 .- Se verifica
dim M = p <==> G =
2.- El Conjunto de operadores GS .
Definición 2.- Definimos GS como
A E GS <__> [A] [ DS
.
S S
(Con (~5 (P) nos referiremos a los operadores de b de rango ~- p),
Para la demostración de este teorema se parte del resultado
d: (P)~.. .
S
p A5 [3J
comprobándose después la imposibilidad de encontrar operadores de
rango infinito en GS . Por ello coincide para estos operadores la su-
mabilidad y la sumabilidad absoluta sobre sucesiones, obteniéndose de
ello el resultado del teorema .
Teorema 2.-Se cumple
dim MS = cla <__> G o C GS	(estrictamente).
Proposición 2.- El conjunto GS satisface las siguientes condiciones .
a) Es el conjunto de operadores de 13 que dan sumabili-
dad en todas las sucesiones iguales a S,
b) Es el máximo conjunto f,-saturado contenido en DS ,
c) GS U e"
d) A$ C
GS ,
DUS ,
e) GS es un ideal a la izquierda de 83 .
	
[4]
Proposición 3.- El conjunto DS nunca es un ideal bilátero propio de k3 .
para demostrarlo tener en cuenta que si DS fuera bilátero,
debería contener a todos los operadores de rango finito, lo que ha-
ría que S fuera sumable y por tanto DS
Pasemos ahora a demostrar que GS siempre es el conjunto to-
tal k1 ó el conjunto formado únicamente por el operador nulo .
Lema 1 .- Si existe un proyector sobre un rayo, PW(x) , no contenido
en DS , el conjunto GS no contiene ningún proyector unidimensional .
Teorema 3.-Las siguientes condiciones son equivalentes ;
a) S es no sumable,
b) GS - ~0 ~ .
Para la demostracidn,aplicar el lema anterior y tener en
cuenta el resultado de [2] que afirma que 101 es el único ideal
a la izquierda de 1 que no contiene proyectores unidimensionales .
Corolario 3 .1 .- Si S es no sumable, no hay ningún operador lineal
acotado, aparte del nulo, que dé sumabilidad en todas las sucesio-
nes iguales a S .
Este corolario generaliza un resultado de [1] que aseguraba
que el operador nulo era el único que daba sumabilidad en todas las
bases ortonormales .
Corolario .2.- G
S'
es siempre ideal bilátero trivial,- pues
a) . S no sumable <__> GS - 1 0 } ,
b) S sumable <as> GS e 13 .
BIBLIOGRAFIA
[1] MARTIN, E.
	
"La sumabilidad absoluta en los operadores
lineales acotados del espacio de Hilbert" .
Tesis Doctoral . Zaragoza (1977) .
[2] NAIMARK, M .A . "Normed rings" . Wolters Noordhoff publishing
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[3] RODES, A . "Sumabilidad absoluta en sucesiones unitaria-
mente equivalentes" .
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Santander (1979) .
[4] RÓDES, A. "Ideales de operadores lineales acotados y
sumabilidad en el espacio de HilbertIl .
Tesis Doctoral . Zaragoza.(1980) .
[5] CALKIN, J .W . "Txo sided ideals and congruentes in the ring
of bounded operators in .Hilbert space"
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Sumabilidad en sucesiones transformadas de una dada por operadores unitarios

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