Sobre una sèrie de Goldbach i Euler

Abstract

El teorema 1 de l'article d'Euler «Variae observationes circa series infinitas», publicat el 1737, enuncia un resultat sorprenent: la sèrie dels recíprocs de les potències enteres menys la unitat té suma 1. Euler atribueix el teorema a Goldbach. La demostració que ofereix és un dels exemples —tan freqüents als segles xvii i xviii— de mal ús d'una sèrie divergent que acaba produint un resultat correcte. Examinem amb detall la demostració d'Euler i, amb l'ajut de les intuïcions que ens proporciona una demostració moderna (i totalment diferent), presentem una reconstrucció racional en termes que es podrien considerar rigorosos per als estàndards weierstrassians moderns. Al mateix temps, amb l'ajut d'algunes idees de l'anàlisi no estàndard, veiem com la mateixa reconstrucció també es pot considerar correcta per als estàndards robinsonians moderns. Aquest últim enfocament, però, s'adiu completament amb la demostració d'Euler i de Goldbach. Esperem, doncs, convèncer el lector de com unes poques idees d'anàlisi no estàndard són suficients per reivindicar el treball d'Euler.Theorem 1 of Euler’s paper of 1737 «Variae observationes circa series unfinitas », states the astonishing result that the series of all unit fractions whose denominators are perfect powers of integers minus unity has sum 1. Euler attributes the theorem to Goldbach. The proof is one of those examples of misuse of divergent series to obtain correct results so frequent during the seventeenth and eighteenth centuries. We examine this proof closely and, with the help of some insight provided by a modern (and completely different) proof of the Goldbach-Euler Theorem, we present a rational reconstruction in terms which could be considered rigorous by modern weierstrassian standards. At the same time, with a few ideas borrowed from nonstandard analysis we see how the same reconstruction can be also be considered rigorous by modern robinsonian standards. This last approach, though, is completely in tune with Goldbach and Euler’s proof. We hope to convince the reader then how a few simple ideas from nonstandard analysis vindicate Euler’s work