Salem, M.R. (Mohamed Rashad)

Schoenen, R. (Rainer)

Sediq, A.B. (Akram Bin)

Yanikomeroglu, H. (Halim)

Rainer Schoenen

Mohamed Rashad Salem

Akram Bin Sediq

Halim Yanikomeroglu

Crossref

English

Multihop Wireless Channel Models Suitable for Stochastic Petri Nets and Markov State Analysis

Schoenen, Rainer

Salem, Mohamed Rashad

Bin Sediq, Akram

Yanikomeroglu, Halim

RWTH Publications

Multihop Wireless Channel Models suitable for Stochastic Petri Nets and Markov State Analysis

Бурнашев, А. Н.

Лисецкий, Н. В.

Electronic archive of Tomsk Polytechnic University

И З В Е С Т И ЯТОМСКОГО ОРДЕНА ОКТЯБРЬСКОЙ РЕВОЛЮЦИИ И ОРДЕНА ТРУДОВОГО КРАСНОГО ЗНАМЕНИ ПОЛИТЕХНИЧЕСКОГО ИНСТИТУТА имени С. М. КИРОВАТом 244 1972О П Р Е Д Е Л Е Н И Е  Г А Р М О Н И К  Т О К О В  И Н А П Р Я Ж Е Н И Й  Ф Е Р Р О М А Г Н И Т Н О Г О  П Р Е О Б Р А З О В А Т Е Л Я  М Е Т О Д О М  Т О Ч Е КА. Н. БУРНАШЕВ, Н. В. ЛИСЕЦКИИ(Представлена научным семиндром кафедр электрических станций и электрических систем и сетей)В  [4 , 5] предложены методы аналитического определения гарм они­ческого состава выходного напряж ения ферромагнитного преобразова­теля  тока (Ф П Т ) .  Д л я  осущ ествления некоторых типов релейных защ ит (направленны х, дистанционны х и д р .) , кроме указан н ы х преобразова­телей, необходимы такж е  ферромагнитные преобразователи напряж ения (Ф П Н ) .  В  качестве Ф П Н  применяю тся утроители частоты  с трехф азны м  входом и однофазным выходом (схем а С п и н елли ), использую щ ие явле­ние насыщ ения стали  сердечников и свойства многоф азны х систем [3 ] (рис. 1 ) .А в  СнапряженияРис. 1. Схема ферромагнитного преобразо­вателя напряженияУсловия работы Ф П Н  и Ф П Т  сущ ественно различны. У  Ф П Т  пер­вичные токи синусоидальны . Ф П Н  работает в условиях , когда несинусо­идальны  и токи , и напряж ения. В  случае, когда к первичным обмоткам Ф П Н  подведена симметричная система напряж ений (нормальный ре­ж им или трехф азное короткое зам ы кан и е ), в выходном напряж ении со­дер ж атся  лиш ь гарм оники, кратны е трем [1 , 7 ] . Таки м  образом, при пи­тании симметричной системой напряж ений Ф П Н  работает ка к  утрои- тель частоты .8При несимметричных повреждениях в защищаемой сети треуголь­ник линейных напряжений искаж ается , поэтому сердечники трансфор­маторов Ф П Н  насы щ аю тся неодинаково, и в кривой напряжения иа вы­ходе появляю тся, кроме третьих, такж е и другие нечетные гармоники (1, 5, 7 и т. д .) .Приближенный метод определения третьей гармоники выходного напряж ения, описанный в [ 1 ] ,  пригоден лишь для симметричного режи­ма и, кроме того, дает большую погрешность, особенно при изменении питающ его напряжения в широких пределах.Д л я  гармонического анализа выходных величин ферромагнитных преобразователей напряжения, используемых для осуществления одно­системных релейных защ ит, необходим более универсальный метод, одинаково пригодный и для симметричных, и для любых несимметрич­ных режимов, а такж е для случаев, когда несинусоидальны и токи, и на­пряжения. В  таки х случаях наиболее эффективны методы, позволяющие определять мгновенные значения искомых величин (токов или напряж е­ний). Зная  мгновенные значения искомой несинусоидальной величины внутри периода ее изменения, легко вычислить приближенные значения ам плитуд учитываемых гармоник, а такж е их начальные фазы .Приближенный метод определения мгновенных значений несинусои­дальной величины в нелинейных цепях был впервые предложен профес­сором В . Ю . Ломоносовым [6 ] .  В  [2 ] метод получил свое дальнейшее развитие применительно к расчету цепей с выпрямителями и получил название метода точечных преобразований (метод точек).Кр атко  сущ ность метода можно изложить следующим образом: при помощи та к  называемого прямого точечного преобразования записы ­ваю т точечное изображение исходного нелинейного дифференциального уравнения (или системы таки х уравнений). В  результате такого преоб­разования мы получаем матричное алгебраическое уравнение относи­тельно искомой величины. Реш ая это уравнение одним из известных способов, находим искомую величину в точечном виде. При помощи обратного точечного преобразования от точечного изображения искомой величины переходим к «оригиналу», то есть к выражению искомой ве­личины в функции времени.Рассмотрим расчет гармонического состава выходного напряжения Ф П Н  в режиме холостого хода методом точек. Н а  основании первого и второго законов Кирхгоф а можно записать систему дифференциальных уравнений относительно неизвестных первичных токов. В  нашем случае таки х неизвестных токов два (третий ток может быть определен по пер­вому закону К и р хго ф а ). Пренебрегая активным сопротивлением обмо­ток, имеем:U ab =  ( L k +  L s j - V  - ( U  + L s ) dÊ ,dis diuGbc =  ( L e  +  L s )  + ( L c  +  Z-в +  2 L $  ) - щ  . ( I )Запишем те же уравнения в точечном виде:_ >  V  V  V  V  —>L/Ab =  «> [ J  (La +  L s ) /а —  J  (Lb +  Ls ) /в ] ,Ubc =  03 [J ( L c  +  Ls) Іа +  J (  Lb + L c  + -  2Ls) / в  ] , ( 2 )гдеU ab, U bc, U ca — точечные изображения линейных напряжен+й,подведенных к первичным обмоткам Ф П Н ;і А  , і ъ  , i c  — точечные изображения первичных токов;9точечные изображения нелинейных дифференци­альных индуктивностей трансформаторов Ф П Н ;L s — точечное изображение индуктивности рассеяния;J  — матричный оператор дифференцирования.Под точечными изображениями токов и напряжений подразумева­ются векторы, компонентами которых являю тся их мгновенные значения внутри рассматриваемого промеж утка времени.Точечное изображение дифференциальной индуктивности представ­ляет из себя диагональную  матрицу, компонентами которой являю тся значения индуктивности при соответствую щ их мгновенных значениях тока [ 2 ] .Вид  матрицы дифференцирования определяется характером аппрок­симирующего выражения для тока и способом выбора узлов аппрок­симации.В  симметричном режиме в первичных токах отсутствую т гармоники, номера которых кратны трем, и аппроксимирующее выражение имеет видZ(Q) =  I 1 s in 0 +  / 's in5Q  +  7'sin7Q +  /"cosQ +  7"cos5Q +  7"cos7Q. (3)Гармониками более высокого порядка пренебрегаем ввиду их мало­сти. При искажении треугольника линейных напряжений в намагничи­вающем токе появляю тся третьи гармоники. В  этом случае аппроксими­рующий тригонометрический многочлен принимает видZ(Q) =  І [  sinö +  /;sin3Q +  /^sinSQ +  /'JcosQ +  /"cos3Q + 7"cos5Q. (4)При неучете явления гистерезиса кривая намагничивающего тока би-симметрична, и поэтому можно ограничиться рассмотрением лишь четверти периода основной частоты . Узлы  выбираем согласно выра­жениюк (5)гдеп  — число узлов ( п > 2/?, р  — число учитываемых гарм оник).При известном характере аппроксимирующего выражения и узлах  аппроксимации матрица дифференцирования может быть подсчитана по формулеJ = W ' - [ W ] - \  (6 )гдеW  — матрица, компонентами которой являю тся мгновенные значе­ния тригонометрических функций, линейная комбинация кото­рых выбрана для аппроксимации неизвестной несинусоидаль­ной величины. Т ак , для несимметричного режима матрица будет вы глядеть следующим образом:SinG1 SinSG1 SinSG1 CosG1 CosSG1 CosSG1SinG2 sin3G2 sin5G2 CosG2 cos3G2 cos5G2• • • • • •SinGn sin3Gn sin5Gn cosGn cos3Gn cos5Gn(7)10Компонентами матрицы W r являю тся соответствующие значения произ­водных от тех же функций.Подставив ( 6 ) в (2 ) , получим матричное уравнение относительно то­чечных изображений неизвестных токов, порядок которого равен 2 п .  Решив это уравнение, скаж ем , методом итераций, находим токи і А  и і в  в точечном виде. Первичные фазные напряжения находим при помощи выражений вида:-А- V —уU a  =  VwLa Za ;U b -  VwLbZb *U c  =  VwLcZc . ( 8 )Затем  подсчитываю тся вторичные фазные напряжения и, наконец, определяется точечное изображение напряжения на выходе преобразо­вателя:Q b i x  ~  (  E a  + U b +  ( V c ) A r  ( 9 ) , > V  > V   ^ V ___>или, с учетом ( 8 ): (7ВЫХ =  M N ( L A i A  + L b I b  +  L cZc ) ,  ( 10 )гдеN  — коэффициент трансформации трансформаторов Ф П Н .При помощи обратного точечного преобразования находим вектор спектра амплитуд гармоник выходного напряженияS = ^ - 1 Q bix. ( П )М атрица /  является постоянной и может быть подсчитана заранее. Весь процесс вычисления гармоник выходного напряжения Ф П Н  может быть выполнен на Э Ц В М , тем более что для всех рассмотренных м ат­ричных операций имеются стандартные подпрограммы. Сопоставление результатов расчета, выполненного на Э Ц В М  «БЭ С М -4» , с данными экспериментального исследования Ф П Н , изготовленного на кафедре электрических станций Томского политехнического института , показало их достаточно близкое совпадение (отклонение не превышает 5— 7 % ) . Т акая  точность является вполне удовлетворительной для практических целей.П арам етры  Ф П Н : W х = 7 6 0  вит., \5L2 =  880 вит., S ct=  1 ,75-IO-4 M 21 Zcp = 0,11  м .Выводы1. Показано, что для расчета гармоник тока и напряжения Ф П Н  в различных реж имах может быть использован метод точек.2. Погрешность расчета при помощи этого метода не превы­шает 7% .ЛИТЕРАТУРА\. А. М. Бамдас, В. A. Kyлинии, С. В. Шапиро. Статические электромагнитные преобразователи частоты и числа фаз. ГЭИ, 1961.2. Б. А. Борковский. К расчету периодических процессов в нелинейных электриче­ских цепях с выпрямителями. Диссертация на соискание ученой степени кандидата тех­нических наук. Таганрог, 1955.3. К. A. K p y  г. Основы электротехники. ОНТИ, 1936.И4. Ю. А. Кулага. Расчет выходных величин ферромагнитного преобразователя. Томский ЦНТИ, информационный листок № 6, 1970.5. Я. В. Лисецкий, В. И. Худугуев, Ю. А. Кулага. Определение гармонического состава функционального преобразователя тока. Труды Восточно-Сибирского техноло­гического института, вып. III, т. 4, 1968.6. В. Ю. Ломоносов. Периодические процессы в нелинейных цепях. «Электри­чество», № 7, 1952.7. Л. Л. Рожанский. Статические электромагнитные преобразователи частоты. ГЭИ, 1959.