Le couplage non-intrusif permet de prendre en compte efficacement des modifications locales (non-linéarités, conditions limites, géométrie) dans un modèle initial linéaire pré-existant sans que ce dernier ne soit affecté. Ce concept est étendu au cas des non-linéarités apparaissant de manière généralisée à l’échelle globale. Dans ce cas un ensemble de patchs recouvre l’intégralité du domaine, et le couplage peut être assimilé à une méthode de décomposition de domaine non-linéaire s’appuyant sur un logiciel industriel séquentiel

Duval, Mickaël

Passieux, Jean-Charles

Salaün, Michel

National audienceLe couplage non-intrusif permet de prendre en compte efficacement des modifications locales (non-linéarités, conditions limites, géométrie) dans un modèle initial linéaire pré-existant sans que ce dernier ne soit affecté. Ce concept est étendu au cas des non-linéarités apparaissant de manière généralisée à l'échelle globale. Dans ce cas un ensemble de patchs recouvre l'intégralité du domaine, et le couplage peut être assimilé à une méthode de décomposition de domaine non-linéaire s'appuyant sur un logiciel industriel séquentiel

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Couplage non-intrusif: réanalyse locale et calcul haute performance

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 To cite this document: Duval, Mickaël and Passieux, Jean-Charles and Salaün, Michel Couplage non-intrusif: réanalyse locale et calcul haute performance. (2015) In: CSMA 2015 - 12ème Colloque National en Calcul des Structures, 18 May 2015 - 22 May 2015 (Giens (Var), France). This is an author-deposited version published in: http://oatao.univ-toulouse.fr/  Eprints ID: 13745 Any correspondence concerning this service should be sent to the repository administrator: staff-oatao@inp-toulouse.fr  CSMA 201512e Colloque National en Calcul des Structures18-22 Mai 2015, Presqu’île de Giens (Var)Couplage non-intrusif: réanalyse locale et calcul haute performanceM. Duval1, J.C. Passieux1, M. Salaün11 Université de Toulouse, ICA (Institut Clément Ader), INSA/UPS/Mines Albi/ISAE - 3 rue Caroline Aigle, 31400 Toulousemickael.duval@univ-tlse3.fr, passieux@insa-toulouse.fr, msalaun@isae.frRésumé — Le couplage non-intrusif permet de prendre en compte efficacement des modifications lo-cales (non-linéarités, conditions limites, géométrie) dans un modèle initial linéaire pré-existant sans quece dernier ne soit affecté. Ce concept est étendu au cas des non-linéarités apparaissant de manière géné-ralisée à l’échelle globale. Dans ce cas un ensemble de patchs recouvre l’intégralité du domaine, et lecouplage peut être assimilé à une méthode de décomposition de domaine non-linéaire s’appuyant sur unlogiciel industriel séquentiel.Mots clés — Éléments finis, Couplage, Multi-échelle, Non-intrusif, Décomposition de domaine1 IntroductionLe principe du couplage non-intrusif est de dissocier les échelles globale et locale, et de prendre encompte un comportement mécanique localisé au sein d’un modèle global initial sans modification de sonopérateur numérique correspondant (c’est-à-dire sans modification du code ou logiciel correspondant).D’un point de vue pratique, cela revient à utiliser deux solveurs différents, l’un dédié à la structure,l’autre au comportement local. L’objet de cette présentation est de présenter des développements récentsautour du couplage non-intrusif. Des améliorations de l’algorithme initial (Quasi-Newton et relaxationdynamique) sont analysées comparativement sur la base de plusieurs cas test pertinents (propagation defissures locales, contact, plasticité localisée, modification des conditions aux limites et de la géométrie).Enfin, une méthode originale de décomposition de domaine non-linéaire est proposée en s’appuyant surla stratégie de couplage global/local non intrusif. Pour ce faire le modèle global (linéaire) est partitionnéen un ensemble de patchs (modèles non-linéaires) qui forment une partition du domaine d’étude. Cetteméthode permet de résoudre un problème non-linéaire en parallèle à partir d’instances séquentiellesd’un logiciel industriel. Cette méthode étant destinée à l’analyse à grande échelle, nous montrons sonextensibilité. La méthode est implémentée au travers d’un langage de haut niveau (Python). Les calculsmécaniques sont réalisés par appels à un logiciel industriel (Code_Aster), et le couplage est effectué viades communications MPI.2 Algorithme de couplage non-intrusifConsidérons un modèle global linéaire élastique défini sur le domaine Ω = ΩG∪ΩG˜, et un modèlelocal non-linéaire défini sur le domaineΩL (cf. Fig. 1). L’objectif est alors de remplacer le modèle linéairesur la zone d’intérêtΩG˜ par le modèle local surΩL, sans pour autant altérer l’opérateur numérique associéau modèle global initial sur Ω (la matrice de raideur K). Du point de vue théorique, le couplage non-intrusif revient à chercher une solution globale U et une solution locale UL vérifiant chacune l’équilibremécanique sur Ω et ΩL respectivement, tout en assurant un équilibre mécanique à l’interface Γ, à savoirFΩG/ΩG˜ +FΩL/ΩG = 0.En pratique, l’idée est d’atteindre l’équilibre entre les modèles sur l’interface par le moyen d’un algo-rithme itératif, similaire à ceux utilisés dans les méthodes de décomposition de domaine, via la résolutionalternée d’un problème de Dirichlet (resp. Neumann) sur le domaine local (resp. global) jusqu’à conver-gence (cf. [4, 5]).En notant f (U) = FΩG/ΩG˜ +FΩL/ΩG la fonction qui évalue le résidu d’effort à l’interface à partir de ladonnée d’un déplacement global U , on peut montrer (cf. [3] ) que ∇ f = K +(SL−SG˜)où SL (resp. SG˜)est ici le complément de Schur primal sur ΩL (resp. ΩG˜).13120FIGURE 1 – Algorithme de couplage non-intrusifL’algorithme de couplage s’apparentera alors àune de méthode Newton appliquée à l’équationf (U) = 0. Le caractère non-intrusif de la méthodese traduit par une utilisation en boîte noire du lo-giciel de résolution du problème global sur Ω etinterdit par conséquent tout calcul du complémentde Schur SG˜.L’algorithme s’écrit alors sous la forme d’une mé-thode de Newton modifiée pour laquelle on consi-dère ∇ f ≈ K.Uk+1 =Uk−K−1 f (Uk) (1)Sous cette forme, l’inconvénient majeur de cetteméthode est sa très faible vitesse de convergence.En effet, le fait d’approcher ∇ f par K, et de nepas mettre à jour cette valeur au fil des itérationsconduit à une convergence ralentie (voire une divergence), et ce d’autant plus que l’écart de raideurentre ΩG˜ et ΩL est grand (i.e. ‖SG˜− SL‖ est grand). Pour pallier cet inconvénient, il est alors possibled’utiliser des méthodes de Quasi-Newton pour approcher ∇ f sans pour autant avoir besoin de calculerles compléments de Schur SL et SG˜. L’approche utilisée ici est une correction symétrique de rang un(SR1) appliquée à la matrice K à chaque itération (cf. [4]). Celle-ci permet une mise à jour de la solutionsans modification directe de la matrice, conservant ainsi le caractère non-intrusif de la méthode.3 Exemples d’applications3.1 Modifications géométriques locales(a) Modèle global (élastique linéaire)(b) Modèle local (écrouissage cinématique linéaire)(c) Modèle completFIGURE 2 – Modification non-intrusive de la géo-métrie initialeUne des applications possibles de la méthodede couplage non-intrusif concerne la réanalyse lo-cale de modèle (cf. [1]). En effet, dans de nom-breuses situations réelles, il est parfois nécessairede modifier un modèle précédemment créé (dansle cadre d’une étude préliminaire par exemple).Cela peut être pour prendre en compte une modi-fication du comportement mécanique, de la géo-métrie du modèle, ou encore de son maillage élé-ments finis. Cependant, la prise en compte de telschangements implique souvent la création d’unnouveau modèle et génère ainsi une charge de tra-vail supplémentaire (que ce soit en temps de pré-paration du modèle et en temps de résolution). Lecouplage non-intrusif permet alors ici de prendreen compte une modification locale de la géométrieinitiale sans que cela ne requière la création d’unnouveau modèle complet (cf. Fig 2). Seul un mo-dèle local (ici en deux parties disjointes) est gé-néré (ici, en plus de la géométrie, le chargementet le comportement mécanique sont aussi locale-ment modifiés). En appliquant l’algorithme décritdans la section précédente, il est alors possibled’atteindre l’équilibre entre les modèles local etglobal, et ainsi obtenir une solution complète, quiest strictement égale à la solution que l’on aurait obtenue en considérant un modèle monolithique.2Un tel couplage a deux avantages majeurs :• le modèle global n’est pas modifié, tant au niveau de sa géométrie, de son maillage et de sesopérateurs numériques, ce qui peut représenter une économie très importante quand ce dernierest de grande dimension,• le comportement non-linéaire étant confiné dans le modèle local, on concentre alors l’effort decalcul uniquement là où cela est nécessaire (cela suppose donc une connaissance a priori de lazone sur laquelle le patch local doit être placé).1e-121e-101e-081e-060.00010.011100100001e+061 10 100 1000Relativeresidual   Newton modifiéQuasi-NewtonIteration numberFIGURE 3 – Convergence de l’algorithmeBien entendu, le prix à payer est alors de devoirutiliser un algorithme itératif. Toutefois, le sur-coût engendré par la répétition des itérations del’algorithme peut vite s’effacer dès lors que lecoût de calcul d’une itération (résolution globalelinéaire et résolution locale non-linéaire) devientnégligeable devant le coût de calcul qu’engen-drerait un calcul non-linéaire sur le modèle com-plet. Aussi, l’utilisation de la correction de Quasi-Newton (SR1) au niveau de l’algorithme de pointfixe permet d’atteindre une précision acceptableen seulement quelques itérations (cf. Fig 3).3.2 Décomposition de domaine non linéaire(a) Partition du maillage global de la structureCOUPLING ENGINE= CPU= MPI(b) Application du couplage non-intrusif à ladécomposition de domaineFIGURE 4 – Algorithme de couplage non-intrusif : décomposition de domaine non-linéaireDans la section précédente, on a considéré que le comportement de la structure pouvait être représentéà une échelle globale par un modèle linéaire : seules quelques zones localisées nécessitaient l’emploi d’unmodèle non-linéaire. En pratique, il peut exister des situations pour lesquelles cette hypothèse est fausse,et pour lesquelles l’emploi d’un modèle non-linéaire sur l’ensemble de la structure s’avère nécessaire.Or, pour de très grandes structures, un calcul monolithique peut s’avérer très coûteux en temps de calcul.L’idée des méthodes de décomposition de domaine (cf. [2]) est alors de partitionner la géométrie (et lemaillage) globale afin de distribuer la résolution sur chaque sous-domaine (cf. Fig. 4a). On utilise icil’algorithme de couplage non-intrusif de la façon suivante (cf. Fig. 4b) :• Un modèle linéarisé est utilisé pour la résolution à l’échelle globale. Les déplacements issusde la solution correspondante seront utilisés comme condition de Dirichlet sur la frontière desdomaines locaux.• Un modèle local non-linéaire est utilisé sur chaque sous-domaine (patch local). Les efforts deréaction seront utilisés pour calculer le résidu d’effort sur la structure, et ainsi corriger la solutionglobale à chaque itération.Autrement dit le modèle global, linéaire, sert ici de problème macroscopique destiné à garantir l’exten-sibilité de la méthode en propageant la correction du déplacement global sur chaque patch.D’un point de vue pratique, l’algorithme utilisé ici ne diffère de celui présenté dans la partie précédente3que par la seule particularité propre à la décomposition de domaine, à savoir que l’ensemble des patchslocaux forment une partition du modèle global initial.10203040506070809010010 20 30 40 50 60NumberofiterationsStandard methodQuasi-Newton accelerationNumber of sub-domainsFIGURE 5 – Décomposition de domaine non-linéaire : extensibilitéA noter que, cette fois encore, l’utilisation de lamise à jour de Quasi-Newton permet à la fois uneconvergence plus rapide de l’algorithme et unemeilleure extensibilité en fonction du nombre desous-domaines (cf. Fig. 5).4 ConclusionDans cet article, une approche de couplagenon-intrusive a été présentée. Cette méthode per-met de prendre en compte des caractéristiques lo-cales dans un modèle éléments finis pré-existantsans nécessiter de modification des opérateurs nu-mériques correspondants. Le principal objectif dela méthode est de rendre plus facile l’analyse de structures, car la préparation des modèles de simula-tion peut parfois demander plus de temps que le calcul lui-même. Grâce à cet algorithme, nous avonspu mettre en place une réanalyse locale basée sur une modification de la géométrie et du comportementmécanique du modèle initial, en utilisant Code_Aster (EDF R&D) pour les calculs mécaniques et descommunications MPI pour le couplage d’interface. Tout le processus est enveloppé dans une API Python.La mise en œuvre de l’algorithme distribué que nous avons proposé ici permet des calculs multi-patchsaisément parallélisable.Ce travail est soutenu par l’Agence Nationale de la Recherche (ANR-12-MONU-0002 ICARE). Lesauteurs remercient également le mésocentre de calcul de Midi-Pyrénées (CALMIP) pour l’allocation desressources HPC (projet 2014-P1431).Références[1] M.A. Akgün, J.H. Garcelon, and R.T. Haftka. Fast exact linear and non-linear structural reanalysis andthe Sherman-Morrison-Woodbury formulas, International Journal for Numerical Methods in Engineering,50(7) :1587–1606, 2001.[2] P. Cresta, O. Allix, C. Rey, S. Guinard. Nonlinear localization strategies for domain decomposition me-thods : Application to post-buckling analyses, Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering196(8) :1436–1446, 2007.[3] M. Duval, J.-C. Passieux, M. Salaün, S. Guinard. Non-intrusive coupling : recent advances and scalablenonlinear domain decomposition, Archives of Computational Methods in Engineering, Online first, 2014.[4] L. Gendre, O. Allix, P. Gosselet, and F. Comte. Non-intrusive and exact global/local techniques for structuralproblems with local plasticity, Computational Mechanics, 44(2) :233–245, 2009.[5] J.D. Whitcomb. Iterative global/local finite element analysis, Computers & Structures, 40(4) :1027–1031,1991.4

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