Symmetries of Hyperbolic 4-Manifolds

Abstract

SAGE worksheet enclosed / une feuille de calcule SAGE annexéeInternational audienceIn this paper, for each finite group G, we construct the first explicit examples of non-compact complete finite-volume arithmetic hyperbolic 4-manifolds M such that Isom M ∼ = G, or Isom + M ∼ = G. In order to do so, we use essentially the geometry of Coxeter polytopes in the hyperbolic 4-space, on one hand, and the combinatorics of simplicial complexes, on the other. This allows us to obtain a universal upper bound on the minimal volume of a hyperbolic 4-manifold realising a given finite group G as its isometry group in terms of the order of the group. We also obtain asymptotic bounds for the growth rate, with respect to volume, of the number of hyperbolic 4-manifolds having a finite group G as their isometry group.Pour chaque groupe G fini, nous construisons des premiers exemples explicites de 4-variétés non-compactes complètes arithmétiques hyperboliques M , ` a volume fini, telles que Isom M ∼ = G, ou Isom + M ∼ = G. Pour y parvenir, nous utilisons essentiellement la géométrie de polyèdres de Coxeter dans l'espace hyperbolique en dimension quatre, et aussi la combinatoire de complexes simpliciaux. C ¸ a nous permet d'obtenir une borne supérieure universelle pour le volume minimal d'une 4-variété hyperbolique ayant le groupe G comme son groupe d’isométries, par rapport de l'ordre du groupe. Nous obtenons aussi des bornes asymptotiques pour le taux de croissance, par rapport du volume, du nombre de 4-variétés hyperboliques ayant G comme le groupe d’isométries

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