Ermakov, S M

Maltsev, A A

Teplyakov, V A

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CERN LIBRARIES, GENEVA CM-P00100526 ATOMNAYA ENERGIYA Tome 23, p. 195-201, Moscou 1967 VARIANTE OPTIMALE DE FOCALISATION PAR UN CHAMP D'ACCELERATION par A.P. Mal'tsev, S.M. Ermakov, V.A. Teplyakov Traduit au CERN par A. Golovanoff (Original : Russe) (CERN Trans. 68-3) Genève Janvier, 1968 SIS/R/15 809 - 2 -On propose dans le travail [1] un schema perfectionné de focalisation par un champ d'accélération (FCA). Dans cette variante, il existe pour chaque période d'accélération deux cavités accélératrices, au lieu d'une comme d'habitude, dont l'effet corres­pond à celui d'une seule cavité (double) équivalente, à symétrie axiale et à composante quadripolaire du champ. Les centres électriques de la composante accélératrice à symétrie axiale et de la composante focalisante quadripolaire du champ HP de la cavité équivalente sont déplacés l'un par rapport à l'autre, de telle façon que c'est la composante quadripolaire qui agit le plus efficacement sur le paquet d'ions accélérés. On détermine dans le présent travail la variante optimale de cavité double on décrit la méthode de calcul de l'accélérateur avec la variante considérée de focalisation par un champ d'accéléra­tion et on donne l'interprétation physique de l'effet d'une cavité double. Les cavités elles-mêmes peuvent être formées par des tubes avec des "cornes" [1, 2], comme par des tubes de glissement avec un canal de section rectangulaire [3, 4]. Le système à tubes avec "cornes" décrit plus bas se révèle plus souple et économique. Le système d'accélération est fondé sur une onde de type H avec une période d'accélération β λ/2 [5]. On montre qu'en conjonction avec un système résonant à onde de type H , une cavité double peut être utilisée sur un accélérateur linéaire à PCA dont l'accélération spécifique et la conductibilité du canal sont du même ordre que dans - 3 -les accélérateurs linéaires du CERN et de l'IPVE (Serpukhov). La stabilité du mouvement transversal des particules peut être caractérisée par le diagramme de la Pig. 1, où on a porté en ordonnées la rigidité des lentilles a τσ et en abscisses la gran­deur a τ sin φ, liée à l'effet défocalisant du champ d'accélération. Rappelons [1] que σ est proportionnel au rapport de la composante quadripolaire du champ d'accélération à la composante axiale symé­trique et qu'elle s'appelle la quadripolarité. La grandeur σ peut être décomposée en deux termes: σ = σ' sin φ + σ" cos φ. (1'). Le rapport de σ' et σ" définit le décalage des composantes. La grandeur aτ peut être exprimée en fonction des paramètres de l'accélérateur: aτ = πU(1 - β2) Nν (1") β2 où U = tension sur la cavité; eW = énergie totale de la particule; N = rapport entre la période d'accélération et la période HF; ν = efficacité de la cavité. A l'intérieur du diagramme de stabilité, on a représenté un réseau de courbes ωmin = const, où ωmin est la fréquence minimale des oscillations transversales, qui détermine l'acceptance du canal: - 4 -Fig. 1 Diagramme de stabilité pour un système DDFF. 1 - courbe des états des particules aτ (σ0e'sinφ + σ0e"cosφ) pour aτ = 0,115; σ0e' = 3,81; σ0e" = 2,2 - 5 -A = ω R2 , (2) Pλ √1 - β2 où R = rayon de l'ouverture; λ = longueur d'onde; Ρ = 1 pour une structure FD et Ρ = 2 pour une structure FFDD. En cours d'accélération, les particules sont sujettes à des oscillations de phase. Alors, le point représentatif de l'état d'une particule se déplace sur le diagramme en suivant un are d'ellipse (la courbe d'état). Il faut disposer la courbe d'état de telle sorte que, dans la zone des phases de φc à 2 φ c , la grandeur ωmin. soit la plus grande possible. Pour cela, il faut élever la courbe des états ou déplacer son maximum. La deuxième possibilité est réalisée seulement dans les variantes à cavité double. Dans une cavité symétrique unique, σ' = σ. L'action de deux cavités sur une période d'accélération se ramène à l'action d'une cavité équivalente (Fig. 2), dont les paramètres sont liés aux paramètres des cavités par les relations: ν0e = 1 (ν1 cos φ1 + ν2 cos φ2); } (3) 2 ν1 sin φ1 + v2 sin φ2 = 0; σ'0e = - 1 (ν1σ1" sin φ1 + ν2σ2" sin φ2); 2ν0e σ"0e = 1 (ν1σ"1 cos φ1 + ν2σ"2 cos φ2); 2ν0e |Ψ1| + |Ψ2| + 2∆ = |φ1| + |φ2|. (4) où l'indice Oe désigne les paramètres de la cavité équivalente; φ1 et φ2 les distances angulaires du centre de la première et de la deuxième cavités (dans le sens de la marche du faisceau) au centre électrique de la cavité équivalente; l'efficacité et la - 6 -Fig. 2 Forme des tubes de glissement, utilisés pour la focalisation par un champ d'accélération : a - cavité unique; b - cavité double optimale; c - cavité double à cornes orientées différem­ment; d - cavité double à cornes orientées identiquement; - centre électrique de la cavité double; O1 et O2 - centres électriques de la première et de la deuxième cavités. - 7 -quadripolarité de la première et de la deuxième cavités sont res­pectivement données par: ν1,2 = sin πα cos Ψ1,2 (5) παI0(k1R) et σ" 1 , 2 = I0(k1R) tg Ψ1,2, (6) 2I2(k1R) o ù Ψ1,2 = demi-longueurs des cornes, exprimées en unités k1 = 2π ; βλ ∆πα + δ; 2δ = longueur du linteau entre les cornes dans les mêmes unités (Fig. 2). Nous appellerons "constructive" la condition (4). La cavité entre les cornes suivant l'azimut sera appelée l'intervalle azimutal, et la cavité entre une corne et la tranche d'un tube sera l'intervalle d'accélération. Pour que le claquage soit également probable dans toutes les zones de la cavité, l'inter­valle azimutal (et donc le rayon de l'ouverture) est choisi approxi­mativement égal à l'intervalle d'accélération (k1R ≈ πα). Dans ce cas, pour une intensité moyenne fixée du champ dans la cavité Ε z , l'accélération spécifique eτ at sont proportionnels au rayon de l'ouverture: = λFmo X0e COS φc = nE3R ν0e cos φc; (7) ξ ξβ ατ = 2 π V E3Rν0e(1 - β2)3/2, (8) ξβ2 il est donc avantageux d'augmenter le rayon. Dans les formules (7) et (8), Εmoy = intensité accélératrice moyenne du champ dans - 8 -le résonateur; ξ = m0c2/e; n nombre de cavités sur la longueur β λ . D'autre part, il résulte de l'expression (6) que σ" ~ 1 . R2 Cela veut dire que pour élever la courbe des états et augmenter ωmin, il faut diminuer la grandeur R. C'est là la contradiction fondamentale de la FCA. Il apparaît que la seule façon de réduire R à zéro en conservant une accélération spécifique élevée est d'augmen­ter le nombre de cavités sur la longueur βλ. Comparons deux cas; la variante normale à une cavité sur βλ et une double cavité dans le système d'accélération avec une période d'accélération βλ/2, et la variante dans laquelle quatre cavités sont disposées sur la longueur β λ , si bien que pour les mêmes valeurs de l'intervalle total d'accélération et de l'accroissement d'énergie sur βλ et le même aτ que dans le premier cas, l'intervalle azimutal devient quatre fois plus petit et la quadripolarité des cavités σ"1,2 sera en principe 16 fois plus élevée. Ainsi, une cavité double permet d'élever et de déplacer en même temps la courbe des états. Il s'agit de satisfaire simul­tanément les conditions contradictoires d'une accélération spécifique T élevée et d'une grande acceptance A dans tout l'intervalle des phases actives 3 φc avec une assez bonne efficacité ν0e. Nous nous trouvons devant un problème d'optimalisation. Prenons pour critère d'optimalité le maximum ν0e, puisqu'il est clair que la disposition de deux cavités par période d'accélération a tout d'abord une influence négative sur l'efficacité. Le problème con­siste à trouver la structure géométrique optimale de la cavité - 9 -double. On montrera que la cavité representee sur la Fig. 2b a les meilleurs paramètres. Supposons données la longueur d'onde, la phase synchrone, l'intensité du champ dans la cavité, l'acceptance du canal et l'accé­lération spécifique; cherchons les dimensions des tubes de glissement: angles φ1, φ2, Ψ1, Ψ2, longueur de la traverse 2 δ et rayon de l'ouverture R . Comme les tensions dans les cavités sont égales, il est avantageux de prendre un rayon invariable tout au long d'un résona­teur. Ce rayon doit être tel que l'on ait l'accélération spécifique donnée. Nous tirons de l'expression ( 7 ) : R = Tξ . β - β . (9) 4E3ν0e cos qc ln (β / β ) où β et β sont les vitesses des particules à l'entrée et à la sortie du résonateur. Comme A est une grandeur donnée et comme R est fixé, on peut tirer ωmin. de l'expression (2). Pour obtenir une efficacité maximale, il faut réduire la valeur 2 Δ pour autant que la construction le permet, si bien que Δ se révèle aussi une grandeur prescrite. Déterminons maintenant les angles Ψ1, Ψ2, φ1 et φ2 tels que, toutes conditions restant inchangées, ν0e soit maximal. Portons (5) et (6) dans l'expression (3) et introduisons de nouvelles notations: - 10 -ν = 1 (cos Ψ1 cos φ1 + cos Ψ2 cos φ2); } (10) 2 Σ' = - 1 (sin Ψ1 sin φ1 + sin Ψ2 sin φ2); 2 Σ" = 1 (sin Ψ1 cos φ1 + sin Ψ2 cos φ2); 2 cos Ψ1 sin φ1 + cos ψ2 sin φ2 = 0. Ici, ν = ν0e ; νh = sin πα ; νh πdI0(k1R) Σ' = 2I2(k1R) νσ'0e; Σ" = 2I3(k1R) νσ"0e. I0(k1R) I0(k1R) Il existe deux procédés d'orientation relatives des cornes dans les cavités (cf Fig. 2 b,c). Lorsque les orientations sont les même3, les signes des quadripolarités coïncident : σ"1/σ"2 > 0; lorsque les orientations sont différentes : σ"1/σ"2 < 0· Les signes des quadripolarités seront attribués aux angles Ψ1,2. Seul le rapport des signes est important. C'est pourquoi, sans affecter la généralité de notre raisonnement, nous prenons Ψ1 > 0, φ1 < 0. Alors φ2 > 0 et Ψ2 0 . Dans le cas intermédiaire (Fig. 2b), on a Ψ2 = 0. Remarquons que le module de tous les angles est inférieur à π; bien plus, la somme est aussi inférieure à π puisque la cavité double est disposée sur βλ/2. Une fois établis les signes des angles, écrivons la condition de construction (4) sous la forme: Ψ1 ± Ψ2 + 2Δ = φ2 — φ1. (11) Le signe supérieur correspond à σ"1/σ"2 > 0. Les équations (10) et (11) introduisent cinq relations - 11 -entre les sept inconnues ( ν , Σ', Σ", φ1,2 et Ψ1,2. Si l'on prend Σ' et Σ" pour variables indépendantes, le choix du point dans le plan de ces variables (appelé le point de travail) détermine complètement les autres grandeurs. Les relations complémentaires pour Σ' et Σ" seront tirées du diagramme de stabilité (Fig. 1) et de la condition de maximum de ν0e. Fixons un ν. Nous aurons pour 7 équations 6 relations. Il reste un seul paramètre libre : Σ'.A l'aide des expressions (10) et (11), construisons la fonction Σ" = f (Σ') avec les paramètres ν et Δ. Le réseau des courbes ν = const dans le plan (Σ', Σ") permet de trouver rapidement le point de travail optimal. Pour réaliser le programme indiqué, il faut résoudre le système (10). Pour cela, combinons les produits et les sommes des fonctions trigonométriques en tenant compte des limitations imposées aux angles. Nous obtenons la solution générale: Ψ1 = 1 (F+ + F- - G+ + G-); } (12) 2 Ψ2 = 1 (F+ + F- + G+ - G-); 2 φ1 = 1 (F+ - F- - G+ - G-); 2" φ2 = 1 (F+ - F- +G+ + G-), 2 = arctg Σ" ; ν ± Σ' = arccos √(Σ")2 + (ν ± Σ')2. Portons la solution (12) dans la condition constructive (11). Dans le cas d'une orientation différente des cornes, nous aurons: - 12 -(Σ")2 + (ν + Σ')2 = cos2∆, (13) et dans le cas d'une orientation identique: arctg 2νΣ" + 2∆ = G+.+ G-. (14) ν 2 - (Σ') - (Σ")2 Pour un ν fixé, les expressions (13) et (14) décrivent une famille de lignes d'efficacité constante, dont le paramètre est ∆. La Fig. 3 donne ces lignes pour ν, égal à 0,8; 0,85 et 0,90 avec Δ = 0,2. Les lignes ν = const presentent une cassure sur la frontière entre les domaines des deux orientations. A mesure qu'on s'éloigne de l'origine des coordonnées, ν diminue. L'équation de la frontière (ligne de changement d'orientation) peut être obtenue en posant Ψ 2 = 0 dans les expressions (10) et (11). La relation cor­respondante entre Σ " et Σ' est commode à écrire sous forme paramétrique, en exprimant toutes les grandeurs en fonction de par exemple: tg Ψ1 = - sin φ1 + sin(φ1 +2Δ) ; } (15) cos(φ1 + 2∆) φ2 = Ψ1 + 2Δ + φ1; ν = 1 (cos ψ1 cos φ1 + cos φ2); 2 Σ' = -1 sin Ψ1 sin φ1; 2 Σ" = 1 sin Ψ1 cos φ1. 2 On montrera que le point de travail doit se trouver sur la ligne de changement d'orientation. Le choix du point de travai - 13 -est déterminé par la condition de stabilité (cf Fig. 1) qui exige que la courbe de stabilité se trouve au-dessus de la courbe d'iso­fréquence à fréquence fixée ωmin dans l'intervalle de phases entre - φc et + 2φc: aτ (σ'0e sin φ + σ"0e cos φ) (16) aτσ (aτ sin φ, ω) ≡ D(φ) ou dans les nouvelles notations: Σ' sin φ + Σ" cos φ D(φ) , (16') S où aτσ (aτ sin φ, ωmin) est l'ordonnée de la branche inférieure de la courbe ωmin = const; s = πNEaR (1 — β2)3/2 sin πα . (17) ξβ2I2(k1R) πα Dans le plan (Σ', Σ"), la condition (16') a la forme d'une famille de droites à angle de pente (- φ). Les points qui nous intéressent doivent se trouver au-dessus de l'enveloppe de famille de droites avec 2φc > φ > φc. Toutefois, en pratique, il suffit de construire seulement la droite pour φ = 2φc (courbe dite de stabilité) puisque pour φ = 2φc les conditions de stabilité sont les meilleures. Cette droite coupe l'axe des ordonnées au point Σ"0 = D(2φc) (18) S cos 2φc - 14-et l'axe des abscisses au point Σ'0 = D(2φ c) (18') S sin 2φc (cf Fig. 3). Comme ν décroît à mesure que l'on s'éloigne de l'origine des coordonnées, le point de travail doit se trouver sur la droite de stabilité; autrement dit, le signe de l'égalité doit être vrai dans l'expression (16'). Les courbes ν = const présentent une cassure aux points de changement d'orientation. L'angle de pente de la tangente à la ligne d'efficacité constante au point de cassure est supérieur à 2φc à droite et inférieur à gauche. Il en résulte que par le point qui se trouve à l'intersection de la droite de stabilité et de la courbe de changement d'orientation il passe la courbe à grandeur maximale de ν, et par tous les autres points de la droite de stabilité, les courbes d'efficacité constante à ν plus petit. Cette règle est vérifiée dans l'intervalle des phases synchrones 20 - 35°. Ainsi, dans l'intervalle de phases synchrones d'intérêt pratique, le cas optimal est Ψ2 = 0, c'est-à-dire le cas où il n'y a pas de corne dans la seconde cavité (cf Fig. 2 b). Les formules de calcul pour les angles structuraux sont faciles à déduire des expressions (10) et (11): - 15 -Fig. 3 Famille de lignes d'efficacité constante: 1 - ligne de changement d'orientation 2 - lignes d'efficacité constante 3 - droite de stabilité - 16 -φ1 = arctg Σ' ; } (19) Σ" Ψ1 = arcsin 2 √(Σ')2 + (Σ")2; φ2 = 2Δ + Ψ1 + φ1; ψ2 = 0. La Fig. 4 représente le diagramme destiné au calcul de la variante optimale. On a figuré sur le diagramme le réseau de courbes de changement d'orientation pour différentes valeurs du paramètre Δ et différentes lignes d'efficacité constante. Les courbes de stabilité sont portées en plus lors du calcul de sys­tèmes concrets. A titre d'exemple, donnons les résultats du calcul de l'un des résonateurs de l'accélérateur à FCA où λ = 2m; = 2,7·10-3; A = 1 µrad.cm; φc =30°; E z = 110 kV/cm; βe = 156 et βs = 0,194 (les énergies sont respectivement de 11 et 18 MeV); longueur de la traverse 0,5 cm. En posant, pour nous orienter, ν0e = 0,85, nous trouvons: R = 1,38 cm; k1R = 0,248; Δ = 0,169; ωmin = 0,21 (pour φ = 2 φc); S = 1,08. Prenons un système de focalisation FFDD. Alors pour aτsin 2 φc = 1,2·10-2, nous aurons D = 0,2. En traçant la courbe de stabilité sur le diagramme de la Fig. 4 (Σ0n = 0,370; Σ'0 = 0,214) nous trouvons que ν ≈ 0,87 au point de travail. Cela correspond à ν0e = 0,855 (νk = 0,987); Σ" = 0,206; Σ' = 0,095. Comme la valeur trouvée pour ν0e est voisine de celle choisie à l'avance, il est possible d'éviter un calcul précis dans ce cas et de calculer directement les angles à l'aide des formules (19) : Ψ1 = 0,47; φ1 = - 0,43; = 0,38. - 17 -Fig. 4 Diagramme de calcul de la variante optimale de cavité double: 1 - droite de stabilité'; 2 - point de travail - 18 -REFERENCES 1. V.A. Teplyakov. "Pribory i tekhnika eksperimenta", N° 6, 24 (1964) 2. V.V. Vladimirskij. Id. N° 3, 35 (1956) 3. G.M. Anisimov, V.A. Teplyakov. Id. N° 1, 21 (1963) 4. F. Fer et al. "Comptes rendus de la conf. intern. sur les aceél." Dubna 1963. .M. Atomizdat 1964, p. 513. 5. V.A. Teplyakov, V.B. Stepanov "Radiotechnique et électronique" (en préparation). 

Variante optimale de focalisation par un champ d'accélération

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