Numeric approximation of Riemann mappings with the Zipper algorithm

Abstract

Konformikuvaukset ovat kulmien suunnat ja suuruudet säilyttäviä kuvauksia. Fysikaalisista suureista esimerkiksi sähkömagneettinen kenttä ja virtaukset ovat konformisia, joten konformikuvausten teoriaa tutkimalla voidaan kehittää ratkaisumenetelmiä käytännön ongelmiin. Eräs perustavanlaatuisimmista konformikuvauksia koskevista väittämistä on Riemannin kuvauslause, jonka mukaan yhdesti yhtenäisiltä ("reiättömiltä") tasoalueilta on olemassa konformikuvaus yksikkökiekolle. Riemannin kuvauslauseen toteuttavaa kuvausta kutsutaan Riemannin kuvaukseksi. Sillä on suljettu muoto vain harvoissa poikkeustapauksissa, joten ainoa luotettava tapa keino on ratkaista se numeerisesti. Tämä työ käsittelee kahta Riemannin kuvauksen ratkaisevaa algoritmia, Circlepackia ja Zipperiä. Työhön kuuluu myös Zipperin implementaatio MATLAB-kielellä, jonka toiminta selostetaan yksityiskohtaisesti.Conformal mappings are those that preserve the orientation and magnitude of angles. Such physical quantities as electromagnetic field and flows are conformal, so the theory of conformal mappings can be applied to solving practical problems. One of the most fundamental claims regarding conformal mappings is the Riemann mapping theorem. It states that all simply connected regions (informally, regions with no holes) can be conformally mapped onto the unit disk. A mapping that satisfies the Riemann mapping theorem is called a Riemann mapping. They can be expressed in a closed form only in rare exceptions, so the only reliable way to solve them is by numerics. This thesis describes two algorithms capable of solving Riemann mappings, Circlepack and Zipper. An implementation of Zipper, written for MATLAB, is also presented and its functionality explained in detail