Alain Mangin

David Labat

Rachid Ababou

Comptes Rendus Géoscience

C. R. Geoscience 334 (2002) 551–556 2002 Académie des sciences / Éditions scientifiques et médicales Elsevier SAS. Tous droits réservésS1631-0713(02)01795-9/FLAGéosciences de surface / Surface Geosciences(Hydrologie–Hydrogéologie / Hydrology–Hydrogeology)Analyse multirésolution croisée de pluies et débitsde sources karstiquesDavid Labata,∗, Rachid Ababoub, Alain Manginca Laboratoire de mécanisme des transferts en géologie, UMR 5563 CNRS, 38, rue des Trente-Six-Ponts, 31400 Toulouse, Franceb Institut de mécanique des fluides de Toulouse, UMR 5502 CNRS, allée du Professeur-Camille-Soula, 31400 Toulouse, Francec Laboratoire souterrain de Moulis, 09200 Saint-Girons (Moulis), FranceReçu le 30 juin 2001 ; accepté le 6 mai 2002Présenté par Ghislain de MarsilyAbstract – Multiresolution cross-analysis of rainfall rates and karstic spring runoffs. In order to quantify the quality ofthe rainfall/discharge relationship across time-scales, we propose the use of both orthogonal wavelet multiresolution analysisand cross-correlation analysis. By using the two techniques together, it is possible to show, scale-by-scale, the influence of theinput to the system (rainfall) on the response (discharge) of the aquifer and also to relate these results to the internal structureof the aquifer and to the degree of organisation of the karst drainage. An application of this method to three Pyrenean karstsis also shown.To cite this article: D. Labat et al., C. R. Geoscience 334 (2002) 551–556.  2002 Académie des sciences /Éditions scientifiques et médicales Elsevier SASkarstic systems / rainfall / discharge / multiresolution wavelet / cross-correlation analysesRésumé – Afin de quantifier le degré de causalité de la relation pluie–débits à travers les échelles de temps, nous proposonsde coupler analyse en ondelette orthogonale multirésolution et analyse corrélatoire croisée. L’utilisation conjointe de ces deuxtechniques permet effectivement de rendre compte, échelle par échelle, de l’influence de l’entrée du système (pluies) dansla réponse de l’aquifère karstique (débits) et, ainsi, de mettre en relation ces résultats avec la structure interne du systèmeet son degré de développement. Une application à trois karsts pyrénéens permet d’illustrer cette méthode.Pour cit r cetarticle : D. Labat et al., C. R. Geoscience 334 (2002) 551–556.  2002 Académie des sciences / Éditions scientifiques etmédicales Elsevier SASsystèmes karstiques / pluies / débits / analyse en ondelette multirésolution / analyse corrélatoire croiséeAbridged versionKarstic systems are characterised by high spatial andtemporal heterogeneities. In previous works [3–6], contin-uous and multiresolution wavelet analyses were used in or-der to qualitatively extract this unsteadiness. Then, a con-tinuous Morlet cross-wavelet transform was proposed andapplied in order to highlight time variations in the rainfall–discharge relationship.Here, we present a more quantitative cross-analysisof the rainfall–discharge relationship introducing a cross-wavelet multiresolution analysis. Multiresolution analyseseffectively allow a time-scale representation of these twomain hydrological signals. Therefore, a classical cross-correlation is applied to the different scales of eachsignal, in order to extract the degree of causality of therelation. A low cross-correlation coefficient indicates alow causality, whereas a large cross-correlation coefficientindicates a high causality.These techniques are applied to three karstic systemslocated in the Pyrenees (France): Aliou, Baget and Fonte-storbes. Rainfall and discharge data are available both on alarge period of 30 years at daily sampling rate and yearlyat a 30-minute sampling rate for the Aliou basin.∗ Correspondance et tirés à part.Adresses e-mail :labat@lmtg.ups-tlse.fr (D. Labat),ababou@imft.fr (R. Ababou), mangin@lsm-cnrs.fr (A. Mangin).551D. Labat et al. / C. R. Geoscience 334 (2002) 551–556This application leads to two main results.– At a daily sampling rate, the degree of causality in-creases with the scale of observation from one day toone year, with a maximum corresponding to the annualrecharge. Moreover, the cross-correlation increases differ-ently between the different basins: the increase appears asbeing rapid facing the scale of observation for very kars-tified basins such as Aliou, whereas this increase appearsas linear facing the scale of observation for less karstifiedbasins such as Fontestorbes. This method, in a same man-ner than classical cross-correlation, can therefore lead toa rapid but more precise classification of the aquifers as afunction of their degree of karstification.– At a half-hourly sampling rate, it appears that no sig-nificant correlation can be found for scales inferior to 16 h,which indicates that the Aliou system does not integratein its hydrological response high frequency processes in-cluded in rainfall. Then, the degree of correlation increasesmore rapidly, which indicates that the system integratesthese processes in its global response (discharge).To conclude, cross-correlation multiresolution analysisprovides an easy and synthetic method for describing quan-titatively the causality of the rainfall–discharge relationshipfor a karstic basin. It allows evidencing the degree of kars-tification of the basin and also possible small-scale cut inthe rainfall–discharge relationship.1. Introduction et motivationsLes systèmes karstiques sont des bassins versantscaractérisés par de fortes hétérogénéités spatiales, àla fois physiques et dynamiques. Celles-ci impliquentnotamment un comportement à la fois non linéaire etnon stationnaire.Diverses analyses ont déjà été réalisées afin derendre compte de la relation pluie–débits, parmilesquelles des analyses corrélatoire et spectrale [5,Figure 1. À gauche : exemples d’ondelettes (S en traitfin et W en trait gras) de type Daubechies d’ordrecroissant. Notons que plus cet ordre est élevé, plusl’ondelette obtenue est régulière (a : ordre 2,b : ordre 4,c : ordre 6, d : ordre 8, e : ordre 12, f : ordre 14,g : ordre 16, h : ordre 20). À droite : analyse enondelettes multirésolution (Daubechies 20) de pluies etdébits mesurés à la source d’Aliou. Du haut vers le bassont représentés les différents termes de la décompositionmultirésolution (détails), depuis les processus à très courtterme jusqu’aux phénomènes à plus long terme. Lesdifférents termes correspondent, du haut vers le bas, àm= 0, . . . ,9 soit des échelles de temps allant de 20 jusqu’à29 jours.Figure 1. On the left: examples of Daubechies wavelets(S andW) of increasing orders. Note that the higher theorder, the higher the wavelet regularity (a: order 2,b: or-der 4, c: order 6, d: order 8, e: order 12,f: order 14,g: order 16,h: order 20).On the right: wavelet multires-olution analysis of rainfall rate and runoffs measured atthe outlet of Aliou karstic spring using Daubechies 20wavelet. From top to bottom, we represent the differentterms (details) of the multiresolution decomposition fromshort-term processes to long-term processes. The differentterms of the decomposition correspond from top to bottomtom= 0, . . . ,9, which corresponds to time scales varyingfrom 20 to 29 days.552Pour citer cet article : D. Labat et al., C. R. Geoscience 334 (2002) 551–55610], mais aussi des analyses en ondelette continueet en multirésolution [3, 4, 6, 7]. Ces résultats sontici complétés par l’utilisation conjointe de l’analysemultirésolution et de l’analyse corrélatoire croisée(fonction d’intercorrélation). L’utilisation de ces deuxméthodes permet de compléter l’interprétation dela relation pluie–débits en l’examinant échelle detemps par échelle de temps. La combinaison de cesdeux analyses sera par la suite appelée « analysemultirésolution croisée ».2. Présentation de l’analysemultirésolutionL’analyse multirésolution permet de mettre en évi-dence les divers phénomènes présents dans le signal,depuis les petites échelles de temps jusqu’aux phéno-mènes à plus long terme.2.1. Analyse en ondelette multirésolutionLa transformée en ondelette est une méthode d’ana-lyse dont les applications en hydrologie et géophy-sique sont de plus en plus variées [2]. L’analyse enondelette croisée n’a été utilisée qu’en mécanique desfluides par Li et Nozaki [8], Onaroto et al. [11] et Sal-vetti et al. [12]. Ces techniques permettent une repré-sentation temps–échelle des relations entre deux pro-cessus.Les coefficients de l’analyse en ondelette multiré-solution d’un signal discretX(i) sont alors donnéspar le produit de convolution entre le signal et les élé-ments d’une base orthonormale à deux paramètres,notés {ψj,k(i), (k, j) ∈ Z2} [1], dans laquellej estl’ordre de la décomposition :cj,k =N∑i=1X(i)ψj,k(i) et(1)ψj,k(t)= 2j/2ψ(2j t − k)et où ψ est une fonction ondelette, construite parrécurrence et vérifiant certaines propriétés [1]. Lesignal discretX(i) peut se synthétiser à l’aide descoefficients de son analyse en ondelette{cj,k, (k, j) ∈Z2} :Figure 1. Suite.Figure 1. Continued.553D. Labat et al. / C. R. Geoscience 334 (2002) 551–556Figure 2. Maximum de la fonction d’intercorrélation entre détails de pluies et détails de débits journaliers, en fonction de l’échelle, pour diversesondelettes de Daubechies, d’ordres variant entre 2 et 20. Les résultats obtenus avec les diverses ondelettes sont représentés par+ (a : Aliou,b : Baget,c : Fontestorbes etd : comparaison entre les trois aquifères). La période d’étude s’étend du 23/09/1974 au 25/02/1997.Figure 2. Maximum of the intercorrelation function between daily rainfall rates details and daily runoffs details as a function of the scale fordifferent Daubechies wavelets of orders varying between 2 and 20. The results obtained by various wavelets are represented by+ (a: Aliou,b: Baget,c: Fontestorbes and: comparison between the three aquifers). The period extends from 23/09/1974 to 25/02/1997.(2)X(i)=+∞∑j=−∞+∞∑k=−∞cj,k ψj,k(i)Le signal discretX(i) peut être approché par sesapproximations successives, constituant une analysemultirésolution [9]. L’approximation du signal discretX(i) à l’échelle de tempsm, notéeAm, et le « détail »du signal discretX(i) à l’échellem, notéDm, sontalors donnés par :Amx (i)=+∞∑k=−∞〈x,ϕm,k〉 · ϕm,k(i) et(3)Dmx (i)=+∞∑k=−∞〈x,ψm,k〉 ·ψm,k(i)où 〈·〉 correspond au produit scalaire. Le détail est dé-fini comme l’information nécessaire pour passer del’approximation du signal à l’échellem, à celle cor-respondant à l’échellem+1. Intuitivement, l’approxi-mation correspond donc aux phénomènes à grandeéchelle de temps, tandis que le détail rend compte plusspécifiquement des phénomènes à une échelle plus pe-tite d’un ordre d’approximation.Dans l’équation (3),ϕm est appelée « fonctiond’échelleS » etψm est nommée « fonction ondeletteW ». Ces fonctions sont obtenues par résolution d’uneéquation récurrente [1, 13]. Des exemples de fonc-tions S et W de type Daubechies sont donnés enFig. 1a. Afin d’illustrer la décomposition multirésolu-tion, un exemple d’analyse est présenté sur la Fig. 1b,dans le cas de pluies et débits journaliers. Ces deuxsignaux sont décomposés en composantes diverses,correspondant à diverses échelles temporelles, depuis1 jour (échellem= 0 soit 20 jours) jusqu’à 512 jours(échellem= 9 soit 29 jours).3. Résultats et interprétationL’objectif de cette note est de proposer des élé-ments de réponse à la question suivante : « Comment554To cite this article: D. Labat et al., C. R. Geoscience 334 (2002) 551–556Figure 3. Maximum de la fonction d’intercorrélation entre détails de pluies et détails de débits au pas semi-horaire en fonction de l’échelle, calculépour diverses ondelettes de Daubechies, d’ordres variant entre 2 et 20. Les résultats obtenus avec les diverses ondelettes sont représentés par+.Les a, b et c correspondent à trois séries de 8192 données successives, sur des intervalles de temps disjoints ;d permet de comparer les résultatsobtenus pour les trois séries. [La sériea s’étend du 16/02/1994 au 06/08/1994, la sérieb s’étend du 07/08/1994 au 23/01/1995 et la sériec s’étenddu 23/08/1995 au 08/02/1996.]Figure 3. Maximum of the intercorrelation function between half-hourly rainfall rates details and half-hourly runoffs details, as a function of theobservation scale calculated with different Daubechies wavelets of orders varying between 2 and 20. The results obtained by various wavelets arerepresented by+. a, b andc correspond to three non-overlapping series of 8192 successive data;d llows to compare the results for the threeseries. [Series a extends from 16/02/1994 to 06/08/1994, series b extends from 07/08/1994 to 23/01/1995 and series c extends from 23/08/1995 to08/02/1996.]quantifier le degré de causalité de la relation pluie–débits en fonction de l’échelle de décomposition ? »Une « analyse multirésolution croisée » est appli-quée aux pluies et aux débits journaliers et semi-horaires, mesurés sur trois bassins karstiques pyré-néens : Aliou, Baget et Fontestorbes. Cette analysecorrespond à une analyse corrélatoire croisée [10]entre les différentes composantes de l’analyse mul-tirésolution des pluies et des débits, au même ordred’approximationm. Les caractéristiques de ces troisbassins sont présentées dans Mangin [10]. Les onde-lettes analysantesϕ et ψ sont des ondelettes de typeDaubechies, avec des ordres compris entre 2 et 20 [1].Le maximum de la fonction d’intercorrélation échel-le par échelle est donc représenté en fonction del’échelle de la décomposition. Ce maximum constitueun indice de causalité : plus ce maximum est élevé,plus la causalité de la relation sera vérifiée dans lecadre de la modélisation de la relation pluie–débits,à l’échelle correspondante.L’analyse multirésolution croisée des pluies et desdébits journaliers met en évidence une différence decomportement très nette entre les divers aquifères.Nous avons représenté sur la Fig. 2 le maximum dela fonction d’intercorrélation entre détail de pluieset détail de débits, en fonction de l’échelle pourles trois aquifères et pour différentes ondelettes deDaubechies. Des systèmes fortement karstifiés, doncà système karstique développé, tels que Aliou ou leBaget [10], sont caractérisés par une montée rapide dumaximum d’intercorrélation en fonction de l’échellede décomposition, avec une asymptote atteinte pourdes échelles de l’ordre de trois mois, tandis queFontestorbes, moins développé, est caractérisé parune croissance linéaire sans asymptote. Les valeursd’intercorrélation maximale à court terme sont aussi555D. Labat et al. / C. R. Geoscience 334 (2002) 551–556croissantes en fonction du degré de développement dusystème. L’asymptote, de l’ordre de 1, indique que lesdébits à long terme (échelles supérieures à 1 an) sontgouvernés par les phénomènes à long terme contenusdans les pluies. Ainsi, plus un système est développé,plus il intègre les phénomènes à court terme présentsdans la pluie. De plus, à petite échelle, le résultats’avère comme peu dépendant de l’ondelette choisie.Une analyse de trois chroniques disjointes tempo-rellement (Fig. 3) de pluies et débits semi-horairesmesurés sur le bassin d’Aliou indique la présence deplusieurs intervalles. Pour des échelles inférieures à16 h, le maximum d’intercorrélation est quasimentconstant : le système n’intègre donc pas les proces-sus inférieurs à cette échelle, présents dans l’informa-tion d’entrée pluies. Puis, pour des échelles comprisesentre 16 et 128 h (soit une semaine approximative-ment), le maximum d’intercorrélation croît plus rapi-dement : le système intègre donc ces processus dans laréponse. Enfin, on retrouve une asymptote de l’ordrede 1, qui indique que les phénomènes à long termedes débits (processus annuel) sont gouvernés par lesphénomènes à long terme, présents dans les précipita-tions.Toutefois, à ce pas d’échantillonnage, le problèmedu choix de l’ondelette analysante apparaît commeplus problématique, la dispersion entre ondelettesdifférentes étant relativement importante aux plusgrandes échelles. C’est pourquoi, nous préconisonsd’opérer une moyenne sur plusieurs ondelettes(Fig. 3d).4. ConclusionsUne analyse multirésolution croisée (analyse en on-delette multirésolution, suivie d’une analyse corréla-toire croisée) est appliquée à des pluies et débits desources karstiques. Cette analyse multirésolution croi-sée permet de quantifier le degré de causalité de larelation pluie–débits à diverses échelles temporelleset de mettre en évidence des échelles caractéristiquesdans le cas des données semi-horaires. Ces résultatspourront ensuite être utilisés dans le cadre de modèlesde simulation de ces aquifères.Remerciements. Nous remercions le parc naturel régional des Grands Causses pour son aide matérielle et logistique.Références[1] I. Daubechies, Ten Lectures on Wavelets, CSBM-NSF SeriesAppl. Math., Vol. 61, SIAM, 1992, 357 p.[2] E. Foufoula-Georgiou, P. Kumar (Eds.), Wavelets in Geophy-sics, Academic Press, New York, 1995.[3] D. Labat, R. Ababou, A. Mangin, Analyse en ondelettes enhydrologie karstique : 1re partie : analyse univariée de pluies et débitsde sources karstiques, C. R. Acad. Sci. Paris, Ser. IIa 329 (1999) 873–879.[4] D. Labat, R. Ababou, A. Mangin, Analyse en ondelettes enhydrologie karstique : 2e partie : analyse croisée pluies–débits, C. R.Acad. 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Analyse multirésolution croisée de pluies et débits de sources karstiques

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