Alain Campbell

Annales de la Faculté des Sciences de Toulouse

ANNALES DE LA FACULTÉ DES SCIENCES DE TOULOUSEALAIN CAMPBELLImpédance d’une plaque élastique reliée en troispoints à un support rigide vibrantAnnales de la faculté des sciences de Toulouse 5e série, tome 10,no 2 (1989), p. 199-213<http://www.numdam.org/item?id=AFST_1989_5_10_2_199_0>© Université Paul Sabatier, 1989, tous droits réservés.L’accès aux archives de la revue « Annales de la faculté des sciences deToulouse » (http://picard.ups-tlse.fr/~annales/) implique l’accord avec lesconditions générales d’utilisation (http://www.numdam.org/conditions).Toute utilisation commerciale ou impression systématique est constitu-tive d’une infraction pénale. Toute copie ou impression de ce fichierdoit contenir la présente mention de copyright.Article numérisé dans le cadre du programmeNumérisation de documents anciens mathématiqueshttp://www.numdam.org/- 199 -Impédance d’une plaque élastique reliéeen trois points à un support rigide vibrantALAIN CAMPBELL(1) (2)Annales Faculté des Sciences de Toulouse Vol. X, n°2, 1989RÉSUIVU. - Dans cet article on rappelle la notion de matrice d’impédanced’une plaque élastique reliée à un support rigide suivant un ensemble E et onmontre comment on peut calculer ces matrices si :E est de mesure strictementpositive. Ensuite, par passage à la limite, on définit l’impédance dans le casoù E est constitué de trois points non alignés.ABSTRACT. - In this paper we explain the notion of impedance matrix inthe case of an elastic plate which is fixed to a vibrating rigid support alonga domain 03A3 and we show how we can calculate these matrices if the measureofE is strictly positive. Then, by using limits, we define the impedance whenE is contituted of three non collinear points.I. IntroductionDans l’étude du comportement dynamique de satellites on s’intéresseaux efforts exercés par les grands éléments flexibles, tels que les antennesou les panneaux solaires, sur les éléments rigides auxquels ils sont fixés.Pour calculer ces efforts on définit la notion de matrice d’impédance [cf. 1].Dans le cas de structures élastiques reliées à un bras rigide par une soudurede mesure strictement positive, des résultats explicites, obtenus par desméthodes analytiques, ont été donnés par exemple par KELKEL [cf. 2] dansle cas de plaques circulaires ou rectangulaires. Des méthodes variationnellesfournissent aussi des procédés de calcul de matrices d’impédance y comprisdans le cas de structure tri-dimensionnelles [cf. 3], et peuvent être exploitéesnumériquement par éléments finis.‘ ~ ~ Laboratoire d’Acoustique et Mécanique, Groupe de "Modélisation et Calcul" UA 868C.N.R.S., Université Pierre et Marie Curie ; Tour 66, 4, place Jussieu 75230 Paris‘2j Laboratoire de Mécanique, Université de Caen 14032 CaenL’ob jet de ce travail est de préciser le comportement limite de la matriced’impédance d’une plaque élastique soudée à un bras rigide quand la mesuredu support de cette soudure tend vers zéro. On étudiera particulièrement lecas où la plaque est fixée au support rigide en trois points non alignés.Dans la première partie, on rappellera brièvement la notion de matriced’impédance d’une structure élastique reliée à un support rigide et onmontrera comment l’étude de problèmes variationnels permet d’obtenir uneforme générale de ces matrices dans le cas d’une soudure de mesure positive(par exemple suivant un ou plusieurs disques de rayon e). On sera conduit àplusieurs théorèmes d’existence et d’unicité des solutions de ces problèmesvariationnels.La deuxième partie montrera que la plupart des théorèmes précédentsrestent valables si la fixation rigide se fait en trois points non alignés. Lamatrice d’impédance pourra alors être définie comme limite quand e tendvers zéro des matrices de la première partie.II. Première partie :Notion d’impédance, existence et calculII.1.- Impédance d’une plaque élastique reliée à un bras rigideSoit 7~ une plaque mince homogène isotrope d’épaisseur h et de massevolumique p. On suppose que son comportement en flexion suit les loisde Love Kirchhoff. Cette plaque est reliée à un barreau rigide R par unesoudure £ de mesure positive; par exemple un disque centré en un point Ade la plaque et de rayon F.Le contour de la plaque ’P, Fi est suffisamment régulier, par exemple Cipar morceaux. On le suppose libre d’efforts. On note Ax1x2 le plan de laplaque et Ar3 la direction orthogonale. Le mouvement de vibration rigidedu barreau est défini par une translationet deux rotationsautour de 1 et X1 respectiveinent (cf. figure 1).Les éléments de réductions en A du torseur résultant des actions de Tsur T’w sont une résultanteet un moment en A :La matrice d’impédance l est alors la matrice de l’application linéaire deR3 dans lui-même qui à ( Uo , O 1, O 2 ) , associe ( Ro , On noteCette matrice dépend de la pulsation ce du mouvement de R, du point Aet de la soudure ~, donc de E. C’est cette relation qu’on se proposed’étudier ici en particulier quand E tend vers zéro.Figure 1Figure 2II.2. - Théorèmes d’existence et d’unicitéOn cherche une solution en déplacement du problèmeoù P est de coordonnées , x2 ~. Les conditions aux limites sont :le contour Fi étant libre d’effort .1/équation de vibration des plaques en flexion est ici :On obtient alors la formulation variationnelle suivante [cf.4] : Dans l’en-semble admissible,on cherche W tel que, pour tout V appartenant à Wad,ou on a poseet c4 = phw2.N est le coefficient de rigidité de flexion de P :On notera aussi :THÉORÈME 1. - Soit l’espaceest un espace de Hilbert. La forme bilinéaire a est coercive sursi ~ est de mesure non nulle. définit alors sur unenorme équivalente à la norme ~2.La démonstration est classique :Sur H2(P) la norme H2 est équivalente à[cf.5]. a est une forme bilinéaire continue sur ~2 (~~. Donc il faut montrerici queou encore qu’il existe une constante positive C telle queSi cela n’était pas vrai il existerait une suite (Vn) dans telle quedonc d’après (8), la suite serait bornée dans H2 donc fortement convergenteà une extraction près dans H 1 vers une limite Vo.D’après la continuité de a on aurait doncVo serait donc un déplacement rigide dans étant de mesure nonnulle, Vo doit être nul ce qui est absurde. Notons qu’il suffit que Va s’annuleen trois poits non alignés pour assurer la même conclusion.Il existe donc a(E) strictement positif tel quea étant continue, est une norme équivalente à la norme I~2. .THÉORÈME 2. II existe une suite croissante (03BBn(03A3))n~0 de nombrespositifs tels que le problème, admette des solutions non nulles.De plus on a :Démonstration. - On introduit l’opérateur F défini par0 est un opérateur auto-adjoint compact et son spectre est constitué devaleurs propres isolées notées (1 /Àn) [cf.6]. Par quotient de Rayleigh ona donc (11). Les Àn correspondent aux vibrations propres de la plaqueencastrée suivant £.THÉORÈME 3. - Soit Lune forme linéaire continue sur H2(P). Si c4 estdifférent de 03BBn(03A3) pour tout n,, alors le problème défini par: :admet une solution unique.A est la forme bilinéaire définie en (7).A est non coercive mais seulement faiblement coercive sur c’est-à-dire qu’il existe 03B3(03A3) constante positive telle que :[cf.7].L’opérateur compact JF est de norme £% . On peut alors choisir [ci.8]qui est bien strictement positive si c4 est différent de tous les a,~(~).Les problèmes qui se poseront dans la deuxième partie seront liés aucomportement de a(E) défini en (10), des Àn(E) et de la constante ~y(~~quand la mesure de £ tend vers zéro.THÉORÈME 4. - Si c4 est différent de 03BBn(03A3) pour tout n, le problèmevariationnel défini en (4) et (5) admet une solution unique.En effet, pour tout élément V de l’ensemble Wad défini en (4), on pose :Comme T est bornée, 02xl + 03981x2 est dans H2(P) et donc Va estaussi dans H2 ~’P) et de trace nulle sur ~. De plus, la forme bilinéaire a nefaisant intervenir que des dérivées secondes, on aet doncoù on a poséLe problème est alors équivalent à la détermination de W° dans tel queIl suffit alors d’appliquer le théorème 3.THÉORÈME 5. - la sol’ution générale du théorème 4 peut s’écrire :où Wo est la solution unique obtenue avec le second membreW1 avec le second membreet 4~~ avecII.3. - Calcul de la matrice d’impédance. THÉORÈME 6.- La matrice d’impédance (1) peut se mettre sous laforme suivante si c4 est différent de 03BBn(03A3) :, iou on d poseA est la forme bilinéaire (?’~ et les W~ sont les solutions du théorème 5.La première partie de cette expression matricielle est l’impédance du"solide indéformable~ ’P 2014 ~. La seconde matrice traduit le caractèreélastique. Démontrons le théorème :On suppose quece qui va nous fournir la première colonne de la matrice d’impédance.Les deux autres sont obtenues de manière analogue. Soit V un élémentquelconque de H2(P) et W0 la solution définie au théorème (5) ; d’après lethéorème de Green on peut écrire :où r est le contour de E.F et M désignent les densités de forces et de moments exercées surr (cf.[4]). C’est en réduisant en A ces actions qu’on exhibe les termesd’impédance.Pour calculer fr Fdy et Ir il suffit alors de prendre successivementlf = 1, V = z2 et V = x 1. On obtient :etpuisOn procède de même pour les autres termes Iij. .Remarquons que la forme obtenue pour ~ montre que cette matrice estSYMETRIQUE.III. Deuxième partieLiaison en trois points; limite de lamatrice d’impédanceIII.l.-Cas où la soudure ~ se réduit à 3 points A, B, CSoient trois points A, B et C non alignés où la soudure E est réalisée.Certains résultats analogues à ceux de la première partie sont valables; onutilisera les notations suivantes :est une norme sur l’espace de Hilbert Wado et cette norme estéquivalente à la norme H2. La démonstration est celle du théorème 1.La suite théorème 2 sera notée ici (~n). Le théorème 3 esttoujours valable et 1 sera la constante de coercivité faible définie en (14).Pour c4 différent de Àn pour tout n, on définit donc les solutions W 0’ , W ~et W~ comme au théorème 5, et plus généralement W .Cependant il n’est plus possible de calculer la matrice d’impédance enutilisant le théorème de Green comme en (18), car les termes de contoursur r disparaissent. On va donc introduire un de mesure non nulleconstitué de trois disques d(A, E), d(B,E) et d(C, E) de centres A, B et C etde rayon E (cf Figure 2).On a donc défini la soudure £ par :On utilise ici les notations pour pour ~,~~~), pour ~y~~~ et on notera = 1, 2, 3, les solutions du théorème (5). Onpeut alors calculer la matrice d’impédance comme au théorème 6. On vas’intéresser alors au comportement quand f tend vers zéro des termes dutype- III.2. - Passage à la limite quand ~ tend vers zéroOn a évidemment :et doncLes fonctions décroissantes quand E tend vers zéro sont doneminorées par Ào . Elles adinettent une limite :D’autre part si dans (13) on remplace U par W(c) solution du problème(12) on obtient :Dans al/2 est une norme équivalente à la norme H2 donc :où I( est indépendant de f, car la norme de L dans Wad0 (e) est majorée parla norme dans L’existence de et son unicité sont réalisées si c4est différent de ~~ (E) pour E suffisamment petit. On supposera iciLa constante définie en (14) admet alors une limite non nulle etest donc borné dans H’ ( P). admet donc une limite faible quenous noterons S.Remarquons que W(e) tend vers S fortement dans H~l ~ (~~ et que doncS est continue sur P. On a doncet doncIl reste à montrer que S est confondue avec ~~. Pour cela on a besoin d’unthéorème de densité :THÉORÈME 7. - SoitAlors l’ensembleest den,se dans ~qui résulte immédiatement du théorème 8 :E 8. - SoitAlors W* = ~~ E H2~P~/~b > 0 tel que V = 0 sur un de centre 0et de rayon â~ est dense dans .Ce théorème est une généralisation d’une propriété de densité des fonc-tions contantes au voisinage d’un point dans ~cf.9 et 1~~. Pour démon-trer le théorème 8, on va montrer que toute fonction 8 de l’ensemblepeut être approchée par une fonction 0 R de H’’ (7~) nulle sur un disque decentre A et de rayon R/2.Le théorème 8 en résultera par densité de dans ad0 qui résultede la densité de dans H~2(7~). e étant donné, on construit 8R de la façon suivante : (r, ~p) désignant lescoordonnées polaires dans :et, si r est compris entre R/2 et R,Il est facile de voir que ~R est de classe C~ sur ’P, donc que 8R est dansH2(P). D’autre part, des calculs très simples montrent que la norme duvecteur (~203B8R ~r2, 1 r~203B8R~r~03C6,1 r2~203B8R ~03C62 ) est majorée par R quand R tend versB 9r" r" d~" / "zéro, I~ étant une constante positive.La mesure du support de la fonction ~ - 8~ est et donc 8 - 6R estbornée dans .H2 (?~) ~ - 8~ tend donc faiblement vers zéro dans H~ (~).On a montré que pour tout V de existe une suite (Vt) de W*convergeant faiblement vers V dans R~(’P).Soit U de ad0 choisi dans l’espace orthogonal à l’adhérence de W* dansOn peut trouver Ui dans W* convergeant vers U faiblement dans R~(~P) eton aetpar convergence faible. ~, est donc nul est Wado est bien la fermeture deW*, ce qui achève la démonstration du théorème.Il reste alors à montrer que S et sont confondus.Soit deux nombres positifs E et 6, (0  E  6), on a :DoncEn faisant tendre E vers zéro, il vient :et par densité (théorème 7)La solution W étant unique on a donc bien : S’ = W. .Les termes obtenus dans la matrice d’impédance tendentdonc vers ~4(W~, , W ~ ) En effetceci pour tout nombre ~ inférieur à E. Donc par densitéetOn obtient donc dans ce cas une matrice d’impédance limite qui a la forme(17) en utilisant les solutions Pour obtenir ce résultat nous avons supposé en (21) que c4 est différentde tous les nombres À~ et Àn. En fait ces deux suites sont confondues; eneffet par le théorème 8 et en utilisant le quotient de Rayleigh, on obtientfacilement l’égalité de Àô et Ào. Pour les valeurs propres d’ordre supérieur,on peut par exemple utiliser le principe de "Min-Max" [cf. 12].IV. ConclusionsConsidérons une plaque élastique reliée à un support rigide suivant unensemble E.Si la mesure de £ est strictement positive, alors les propriétés d’existenceet d’unicité des déplacements permettent le calcul de la matrice d’impédanceen utilisant les solutions de trois problèmes de base. On a montré ici de plusque si la mesure de £ est nulle mais si l’existence et l’unicité des solutionssont satisfaites, par exemple si E est constituée de trois points non alignés,alors on peut encore définir trois solutions de base, la notion de matriced’impédance s’obtient alors par passage à la limite : la limite de la matriced’impédance a la forme obtenue précédemment mais en utilisant les solutionslimites.Il reste à étudier le cas intermédiaire : quel est par exemple le comporte-ment de la matrice d’impédance si 03A3 se réduit à un seul point. Des résultatsparticuliers dans le cas de plaques simples comme les disques, montrentl’évanouissement de certains termes d’impédance mais la résolution du casgénéral constitue un problème ouvert.Références[1] CRELLIN (E.), JANSSENS (F.). 2014 Derivation and Combination of impedance ma-trices for flexible satellites, Rapport E.S.A., 1984.[2] KELKEL (K.), HAGEDORN (P.). 2014 Study of plate impedance, Rapport E.S.A., avril1985.[3] CAMPBELL (A.).2014 Impédance d’un solide tridimensionnel relié à un support rigidevibrant., C.R.A.S., t. 304, série II, n.°13, 1987.[4] DUVAUT (G.), LIONS (J.L.). 2014 Inéquations en mécanique et en physique, Dunod,1972.[5] REKTORYS (K.). 2014 Variational methods in mathematical, science and engineer-ling2014Reidel publishing company, 1980.[6] RIESZ (F.), NAGY (B.SZ.). - Leçons d’analyse fonctionnelle, Gauthier-Villars, 1955.[7] BREZZI (F.). 2014 On the existence, uniqueness and approximation of saddle-pointproblems arising from Lagrangian multipliers, Rev. Fr. 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Impédance d'une plaque élastique reliée en trois points à un support rigide vibrant

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