A l 型扩张仿射Li e 代数的分类依赖于从E u cli d 空间中的半格构造得到的T K K代数. Allison 等从R “ (, ) l) 的一个半格出发, 定义了一类Jordan 代数
.然后通过所谓的Tits 一Kantor一Koech r 方法构造出T K K 代数丁(J (S) ),最后得到A l 型扩张仿射Li e 代数.在R Z 中,只有两个不相似的半格S 和Sl , 其中S 是格而Sl 是非格半格.
本文主要研究T K K 代数丁(J (s) ) 的Z2 一分次自同构.国家自然科学基金(批准号: 10 6 7 n 6 0) 资助项

叶从峰

谭绍滨

Xiamen University Institutional Repository

中国科学 A 辑 : 数学 2 0 08 年 第 38 卷w Vv w. s e ie h i n a.e o m m a t h.s e ie h in a. e o m《中国科学 ) 杂志社S CIENC E IN C H IN A P R ESST K K 代数的分次自同构群叶从峰 , 谭绍滨 *厦门大学数学科学学院 , 厦门 3 6 1 0 05* E _ m a i l : t a n s @x l n u. e d u.e n收稿 日期: 2 0 0不0 3 一 1 2 ; 接受 日期 : 2 0 0不 0 9- 0 7国家自然科学基金 (批准号 : 10 6 7 n 60) 资助项目摘要 A l 型扩张仿射 Li e 代数的分类依赖于从 E u cli d 空间中的半格构造得到的 T K K代数 . Al lis o n 等从 R “ ( , ) l) 的一个半格出发 , 定义 了一类 Jo rd an 代数 . 然后通过所谓 的Ti ts一K ant or一K oe ch er 方法构造 出 T K K 代数 丁(J (S) ) , 最后得到 A l 型扩张仿射 Li e 代数.在 R Z 中, 只有两个不相似的半格 S 和 Sl , 其中 S 是格而 Sl 是非格半格 . 本文主要研究T K K 代数 丁(J (s) ) 的 2 2 一 分次自同构 .关键词 T K K 代数 Li e 代数 分次自同构群M S C (2 0 0 0 ) 主题分类 1 7 B 2 71 T K K 代数设 C , z 和 R 分别为复数集 、 整数集和实数集 . 若 J 为一个 J or da n 代数 , 则用 L J 表示J 的乘积算子全体. 令 I n de r (J ) : = !L J , L J ]. 在向量空间丁 (J ) : = (5 12 (C ) À J ) 。 I n d e r (J ) (1.1 )上定义 Li e 积[A À a , B À 刊= !A , 到 À ab + (A , B )匡。 , L司,!D, A À a] 二 A À D 氏ID,[L。 , L 。]] = [L 。 。, L 。] + [L。 , L 。。],其中 A , B 任 51 2 (C) , a , b 任 J , D 任 In de r (J ) , (A , B ) ~ Zt r (A B ) . 在上述运算下 , 丁(J ) 成为一个Li e 代数, 通常称为由 J or d an 代数 J 得到的 Ti ts 一K a nt or 一K oe ch er (简记为 T K K )代数 .设 R “ 是 。 维 E u cli d 空间, S 是 R “ 的一个子集 . 如果 S 是离散的 , 张成 R “ 并且满足条件: 0 〔 s , 一s = s , s + s 互 S (s + 2 5 互 S) , 则称 S 是一个格 (半格) . 设 (s) 是由 R “ 的一个半格 S 生成的加法子群 . 显然 S 是 2 (必在 (必 中的一些倍集的并 , 其中包括平凡陪集 2 (s) ,因此在相似的意义下可以假设 S 是 2 2 “ 在 Z “ g R “ 中的一些陪集的并 , 包括陪集 2 2 “ , 即叶从峰等: T K K 代数的分次自同构群s = U胜。夙 , 其中 S0 , … , 毓 是 2 2 “ 在 z “ 中的不同陪集, 并且 S0 一 2 2 “ . 对于 a 任 s , 令 xa是一个符号 . 在 J (S) :二 O , 。、 C尸 上如下定义乘法 :( , 。 + 二. J 尹x 任 ’ 劣丁 一i。, 若a , 二 〔 So u 又, 0 成乞毛二 ,其他情形 ,则 J (S )是一个 J o r d an 代数 [1 ] , 并且有单位元 x o = 1 . 设 丁(J (S )) 是由 J o r d a n 代数 J (S )通过 Ti ts 一K an to r 一K oe ch er 方法构造得到的 T K K 代数 .Jo rd a n 环面是 A : 型扩张仿射 Li e 代数的坐标代数 . 文献 [z] 研究了 J or d an 环面的导子和不变型 , 并且给出了 J or d an 环面的导子代数的详细描述 . 设 S 和 sl 是 。 维实向量空间R 夕 中的两个半格 . 如果存在线性同构 沪 : R “ 、 R “ , 使得 试s) = Sl , 则称 S 和 S’ 同构 , 记作S 望 Sl. 如果存在 己 任 Sl , 使得 S 望 S’ + al , 则称 S 和 Sl 相似 . 文献 【l] 证明了 R “ 中半格的相似等价类与 mi li ty 为 。 的 A l 型扩张仿射根系的同构等价类一一对应 . 文献 ls] 将扩张仿射根系的概念进行推广 , 引进了 ab eli an 群扩张根系的概念 , 并将其分类 . 众所周知 , A : 型扩张仿射 Li e 代数的分类依赖于从 E uc l d 空间中的半格构造得到的 T K K 代数 [l] , 并且在相似意义下 , R Z 中只有两个不相似的半格 S 和 S’ , 其中 S 是格而 Sl 是非格半格 . 文献 阵, 5 ]分别研究了由 S 和 Sl 构造得到的 T K K 代数以及它们的顶点算子表示 .本文将主要研究由格 s = z “ 构造得到的 T K K 代数 丁 (了(s) ) . 这里 S 二 U乳。夙 , 其中S0 二 22 占: + 2 2 占2 , 又 = S0 + 占云(乞= 1 , 2 , 3 ) , 占: = (1 , o ) , 占: = (O, 1) , 占3 = 占: + 占: 任 R 2 .引理 1 . 1 [’] 设 a l , a : 任 夙 , 7-l , 几 任 凡 , 0 蕊 乞, j 提 3 并且 。 1 十 几 = a : + 几 , 则!L二 。 , , L二 : 」= [L 二。 2 , L 二 下, ] .令 凡 :二 5 1 , 凡 := 凡 , 则 S0 二 又 + 又 , 又 = 又+ : + 又+ 2。= 1 , 2 , 3 ) . 设 , 一 。 : + 。: 任又“= 1 , 2 , 3 ), 其中 外 任 又+ , (J 一 1 , 2 ) . 由引理 1 . 1 , 可以令 D , : = !L二 , , 乌。 2 ].为方便起见 , 先定义一个映射 拼 : 5 x s * {o , 士1} . 对任意 a , 二 任 S , 定义二 , 丁 任 SO U 又 , 1 毛 乞成 3;a 任 夙 , T 任 又+ 1 , 1 簇 艺毛 3;a 任 又+ 1 , 丁 任又 , 1 毛艺成 3.风a ,司D、二 并且一 e C几 ·(1.2 )若j .1几叭一了.少、一丁口rl、衬引理 L Z 设 a , 丁 任 S , 则 匡, , L 二了 } -In d e r (J (S ))a 〔S I U S Z U S 3Jo r d a n 代数 J (S) 有一个 2 2 一 分次J (S ) 一 。 J 『 (S ) ,其中 J ‘ (s) 一 C x 『 , a 任 2 2 . 这个分次诱导出丁 (J (S )) =其中J 任2 2T K K 代数 丁(J (S) ) 的一个 护一 分次 :。口任2 2丁叮 (J (S )) ,丁口 (J (S )) = {51 2 (C ) À 尸 , 若 二 任 S0 ,(51 2 (C ) À 二口 ) 。 C D 。 , 若 a 任 S \ 50 .中国科学 A 辑: 数学 第 38 卷 第 1 期在本节的末尾 , 我们列出 T K K 代数丁 (J (S )) = s p a n {X À x 口 , D 二 }X 任 5 12 (C ) , a 〔 S , 二 〔 S \ s0 }的 Li e 关系【D 。 , D 二1= 一户(a , 二)D 。+ 二 , Va , 二 任 S \ s0 , (1 . 3 )[x À 扩 , Y 。扩1= {[x, 划 。扩 + 丁 , 若 。 , T 〔 so u 又 , 1 蕊乞蕊 3,拌(。, 二 )(X,Y )D 。+二 , 其他情形 , (1.4 )!D 。,X À 扩」= 一风。 , 均X À 尸十了 , Va 任 S \ So , 二 任 S, (1 . 5 )其中 X , Y 任 51 2 (C) , 拼是 (1 . 2 )式中定义的函数 .2 分次自同构本节将研究 T K K 代数 丁 (J (S) ) 的 2 2 一 分次自同构.定义 2 . 1 设 G 是一个 ab eli an 群 , A 二 。长 G A , 是一个 G 一 分次代数, p 是 A 的自同构 . 如果存在 G 的自同构 p G , 使得 风A , ) = A p 。州 , 卜 任 G , 则称 p 是 A 的 G 一 分次自同构·我们用 A ut 武A ) 表示 A 的 G 一 分次自同构群 .先定义一个后面要用到的映射 入 : G L Z (z ) * {士1 }. 对任意 A = (内, ) 〔 G L Z(z ) , 定义若存在汪 {1 , 2 , 3}, 使得 (a l l , a i Z ) 〔 夙 , (a Z I , a 2 2 ) 任 又+ l ,若存在注 {1 , 2 , 3}, 使得 (a i l , a i Z ) 〔 又+ 1 , (a Z : , a 2 2 ) 任 又 .J.上1,一了.夕、l‘一A‘厅声.、、入容易验证 入是一个群同态 .设 C * 是非零复数构成的乘法群 . 为简便起见 , 对 a 二 (a l , a2 ) 〔 (C * )2 , , = (。 , t) 任 S , 后面都用 了 表示 吐叱. 下面先叙述本节的主要结果 .定理 2. 2 设 价是 T K K 代数 了 (J (S) ) 的一个线性变换 , 则 必是 了 (J (S) ) 的 2 2 一 分次自同构当且仅当存在 A 任 G L Z (Z ) , p 任A u t (5 12 (C )) , a = (a l , a Z) 〔 (C * )2 , k 任 Z : = {土 1 }, 使得必(x À x 口) = 无s ‘a 口 p (X ) 。 x ‘ A , V X 任 5 12 (C ) , a = (s , t ) 任 S , (2 . 1 )功(D 。 ) = k 日+ , a 口入(A )D 。 , , V 。 = (s , t ) 任 S \ 50 . (2 . 2 )为证明定理 2 . 2 , 我们需要下面 3 个引理 .引理 2. 3 设 劝是加法群 z “ 的一个自同构 , 则存在 A 任 G L Z (z) , 使得 喇a) = 。A , V a 任2 2, 并且存在集合 {l , 2 , 3} 的一个置换 。 , 使得 叻(S0 ) = S0 ,劝(又 ) = 凡 (‘) (‘= l , 2 , 3 ) ·证明 设 劝师‘) = (a ‘1 , a ‘2 )(葱= l , 2 )并令 A : = (a ‘, ) , 则 叻(a ) = a A ,介 〔 2 2 . 显然 A 是可逆的 , 因此 A 任 G L Z (Z )并且 劝(S0 ) = S0 , 劝(又) = 凡 (‘) (乞= 1 , 2 , 3 ) , 其中 公 是集合 {1 , 2 , 3}的一个置换 .通过直接计算 , 容易得到下面的结果 :引理 2 . 4 设 o 尹 X 〔 5 12 (C ) , 则 {Y 〔 5 12 (C ) I[X , Y ] = 0 } = C X .设 价是 T K K 代数 了 (J (S) ) 的一个 2 2 一 分次自同构 , 功s 是群 S = z “ 相应于 功的自同构 . 由引理 2. 3 , 存在 A 任 G L Z (z) , 使得 价s( a) = a A , Va 任 S.叶从峰等: T K K 代数的分次自同构群因为 价是一个分次自同构 , 所以假设拓 (X ) 。扩A , 若 。 任 S0 ,拓 (X ) À x 以 + ‘。 (X )D 。, , 若 。 〔 s \ S0 ,了.声、l‘一、,产口XOX‘矛.、.叻其中 X 任 51 2 (C) , a 任 S , 价。 是 51 2 (c) 上的线性变换 , b, 是从 51 2 (C) 到 c 的线性映射 . 容易看出 如 是 51 2 (C) 的一个线性同构 . 另外 , 对任意 X , y 任 51 2 (C) , 有l如 (X ), 价。 (y )]。 x o = [如 (x ) À x o , 如 (y ) À x o ] = [价(x À x o ) , 功(Y o x o )]= 价([X À x o , Y À x o」) = 价(【x , Y」À x o ) = 如 ([X , Y」) À x o ,因此 [如 (X ) , 如 (Y )1 = 伽 ([x , y }) 意味着 如 是 51 2 (c) 的一个 Li e 自同构 . 对于 a 任 s , x 任5 12 (c ), 因为 [X À x 口 , X À 二o ] = o , 故0 = [价(X o x , ) , 功(X o x o )」= 【价。 (X ) À x ‘A , 如 (x ) 。 x o」= 【价。 (x ) , 如 (x )」o x 以 ,从而得到 !拓 (X ) , 如 (X )1= 0 . 结合引理 2. 4 , 意味着 价。 (X )是 功。(X )的一个常数倍 . 因此 , 对x 任 5 12 (C ) , 有功(、 À x 。) _ 矛a 。 (X )“ (X , ‘ X O A , “ 。 S0 , 。2 . 3、ta 。 (X )伽 (X ) ‘ x 口A + b。 (X )D a , , Va 任 s \ S0 ,其中 A 任 G L Z (z ) , a 。 和 b。 为 5 12 (C ) 到 C 的映射并且 a 。(X ) = 1涅义 任 5 12 (C ) .引理 2 . 5 设 功是 T K K 代数 丁 (J (S )) = (5 12 (C ) 。 J (S )) 。 I n d e r (J (S )) 的一个 2 2 一分次自同构 , 则功(5 12 (C ) À 了(S )) = 5 12 (C ) 。 J (S ) , 功(In d e r (J (S ))) = I n d e r (J (S )) .证明 设 功s 是加法群 S = 2 2 相应于 价的自同构且 功。 (司 = a A , 其中 A 任 G L Z (2) . 对于 X 〔 5 12 (c ) , 存在 X l , X2 任 5 12 (C ) , 使得 X = IX I , X2 ]. 由 (1 . 3 )一 (1 . 5 ) 式和 (2 . 3 ) 式 , 有叔X 。 扩 ) 二叔[x l , 儿1À 扩 ) 二 lgh( x ; À 砂 ) , 叔瓜 À xo )]任 [丁口A (J (s )) , 5 12 (e ) À x o ] 9 5 12 (e ) À J (s ) ,其中 。 任 S , 这意味着 价(5 12 (C ) À J (S )) 9 5 12 (C ) 。 J (S ) , 因此可以设价(X o x “ ) = a 。 (x )如 (x ) 。 x ‘A , 。 〔 s , x 任 。12 (e ) , (2 . 4 )其中 A 〔 G L Z (Z ) , a 。 是从 5 12 (C ) 到 C 的映射且 ao (X ) = 1涅尤 〔 5 12 (C ) .对 a 任 又“= 1 , 2 , 3 ) , 设 a = 。1 + 。2 , 其中 内 任 又+ j 仃= 1 , 2 ) . 选择 X , Y e s l Z (c ) , 使得(X, 均 = 1 . 由引理 2. 3 和 (1 . 4 )式 , 有功(刀。 ) = [功(x o x “‘) , 价(v o x “, )] 〔 [s 12 (c ) o x ‘ , A , 5 12 (e ) À x “, A ] g c D 。 , .这说明 价(I n d e r (J (S ))) 9 In d e r (J (S )) . 引理得证 .现在 , 我们来证明定理 2. 2 . 首先 , 设 价是一个分次自同构 . 固定 5 12 (c) 中一个非零元素XO. 由 (2 .4 ) 式有价(XO O x 士百‘) = a 士 ; ‘ (xo )如 (x0 ) À x 士占‘A ,其中 A 〔 G L Z (z ) , 葱= 1 , 2 , 3 . 注意到 , 对任意 X l , … ,丸 任 51 2 (c) 有诚lx l , !儿 , … , 【瓜 , xo l. · ! À 护勺中国科学 A 辑: 数学 第 38 卷 第 1 期= 沪(IX : À x o , [X : À x o , … , 【瓜 À x o , Xo o x 士6 ‘」…」)= l&( X 1 o xo ),lrk( 肠 À xo ) , … , [gh( 瓜 À xo ) , 叔X0 0 护勺1」… ]二 [如 (X I ) 。 x o , [如 (X2 ) 。 x o , … , [如 (X 。 ) 。 x o , a * 。‘(X0 )如 (X0 ) À x 土占‘A」…」= [如 (X : ) , [如 (X2 ) , … , [如 (抵 ) , a 士。‘(X0 )如 (X0 )1]…」À x 士“A= a 士“ (X0 )沪。(区1 , [Xz , … , [Xn , Xo l]… l) À x 士占‘A,以及 51 2 (c) 是一个单 Li e 代数 , 可得对任意 X 任 51 2 (C) 有价(X À x 士占‘) = a 士。‘(X0 )如 (x ) 。 x 士占‘A , 、= 1 , 2 , 3 .另外 , 存在 Yl ,姚 任 51 2 (c) , 使得 X0 = [yl , 姚」. 因为功。(X0 ) 。 xo = 帆X0 À xo ) = 诚!yl À 护‘ , 姚 À x 一勺) = 冲(yl À 护‘) , 叔玩 À x 一勺}= [a 。‘(X0 )价。(Y1 ) À z 占‘A , a 一 ; ‘(X0 )伽 (Y2 ) À x 一占‘A ]= a 。‘(X0 )a 一占‘(X0 )如 (X0 ) 。 x o ,故可得 a “ (X0 )a 一。、(XO ) = 1“= 1 , 2 , 3 ) . 令 a ‘ : = a 。‘(X0 )(葱= 1 , 2 , 3 ) , 则对 X 任 5 12 (C ) , 有价(x À x 士占‘) = a才‘如 (X ) 。 x 士6‘A , ‘= 1 , 2 , 3 . (2 . 5 )又因为存在 X l , 瓜 E 51 2 (c) , 使得 X = [x l , 几}, 从而有价(X À x 士2“ ) = 必([X , 。 x 士占‘ , XZ o x 士氏]) = a才2如 (X ) o x 士 2占‘A , ‘= 1 , 2 , 3 , (2 . 6 )价(X o x 士2占3 ) = 功([X , À 二士 2占‘ , 儿 À x 土2占, ]) = a老Z a穿2如 (X ) 。 x 士2占3 A . (2 . 7 )上式说明 a且= a圣a且, 即念 = 士 l · 令 “ := 念 , 。 : = 如 任A u t (5 12 (c )) , a :一 ( a , , a Z ) 任 (C ’ )2 ·分别证明 (2 . 1) 和 (2 . 2 ) 式 . 对 a = (s , t ) 任 S , 定义 !a l : = }s }+ 】t l. 首先证明 (2 . 1 ) 式对时 ) 0 的情形成立 .在 s 亡) 0 的情形下 , 如果 !a }= o , 1 , 2 , 则 a = o , 土占‘(‘= l , 2 , 3 )或者 士2鸟(j = l , 2 ) , 那么(2.1) 式已经由 (2一 (2. 6 ) 式给出 . 现在对 }川进行数学归纳 . 假设 (2 . 1) 式对 。 〔 S( }aI < 司成立 , 下面证明当 }al 二 。 时 (2 . 1) 式也成立 .对任意的 a = (s , t ) 任 S (.a . = n > 2 , s 亡 ) 0 ) , 容易看出存在 a : = ( 5 1 , 亡i ) 〔 So , 。2 =(5 2, t Z) 任 S , 使得 。 = a , + 勿 , {a ‘I < n , s ‘。‘ ) 0“二 1 , 2 ) , 则对 X = [X ; 。X2 ] 〔 5 12 (c )(其中X I,X Z 任 5 12 (C )) , 有武X o xa ) 二 诚匡; 。 了, , 几 。 x 匀}) = 伸(X : À 砂 , ) , 叔瓜 。了 , )l= {无“” a “‘p (X l ) À x “ ‘A , k ‘2 ‘, a ‘, p (X2 ) À x “ , A l= 无s “‘+ s , ‘, a “ + “, ([。(x l ) , p (X2 )]) 。 x (“ + 口, )A= 、(“ + · 2 )(‘1 + , , )。‘ (I, (x l ) , , (几 )]) 。 x a A = k , ‘a 口 , (X ) 。 x “A .这意味着 (2 . 1) 式对 。 = (s , 亡) 任 S (}a }= n , s t ) 0 ) 也成立 .对于 a = (s , 亡) 任 S (s t < o ) 的情形 , 易知总是存在 a l = (5 1 , 亡1 ) 任 S0 , a : = (5 2 , t Z ) 〔 S , 使得 a = , l + a : 且 人 t‘ ) 0( 葱= 1 , 2 ) , 于是这种情形归结为上面已证情形 .现在证明 (z. 2 ) 式 . 对 。 〔 又 (‘ = 1 , 2 , 3) , 存在 内 = (sj , tj) 〔 夙+j (j = 1 , 2 ) , 使得a = 丙 + a2. 选择 X , Y 0 51 2 (C) , 使得 (x , Y) = 1 , 则有叫D的 二 拭[x À 了 ‘ , y À 扩2」) 二 !试X À xa , ) , 叔Y À 扩 2 )}叶从峰等: T K K 代数的分次自同构群= l无““ 。口‘户(x ) À x “‘A , 无8 , , , 。“, p (y ) À x ‘ , A」= 无( , : , 1 + 8 : ” ) 。, , + “, (, (x ) , , (Y ))拼(a l A , a ZA )D (。 : + 。2 ) ,= 无( 8 ‘+ s , + “ + ‘“ )。‘ (x , y )入(A )D 。 , = k s + ‘a 口入(A )D a , ·这就证明了 (2. 2 ) 式 . 这样 , 我们完成了定理必要性的证明. 接下来证明定理的充分性 . 先证价是一个双射 .设 A = (a动 . 如下定义 丁(J (s) ) 的一个线性变换 劝. 对 X 任 51 2 (c) , 。 二 (8 , t) 任 S , 定义劝(X À x ‘ ) 一 k , ‘一 ’“, , a ‘, 一‘a ““ , ‘a一 A 一 ‘ , 一 ‘(x ) 。 二‘A 一 ‘ ,叻(刀。 ) = 无·+ ‘- ·a一 , 一 , a l l a , 1 入(且一‘) a 一A 一 ‘刀。 , 一 : , 若 。 。 S \ 50 .容易验证 卿 = 劝价二圳丁 (洲s) , 其中 ld 月洲s) 是 丁 (J (S) ) 的恒等变换 , 因此 功是双射·最后 , 容易验证 功是一个 2 2 一 分次 Li e 同态 . 这样就证明了 功是 丁 (J (S) ) 的一个 z “一 分次自同构 , 从而完成定理 2. 2 的证明 .3 分次自同构群首先回顾群的半直积的概念 . 设 G 和 H 是群, 二 : G * A ut (H ) 是一个群同态 . G 和H (对应于群同态 司 的半直积指的是群 G 伙 二 H = {(g , h) }g 任 G , h 任 H }, 其乘法运算如下 :(。: , h l )(。2,h Z ) = (。1 0 2 , [二(万 ‘)(h l )]入2 ) , 为1 ,乳 任 G , 入1 , 入: 任 万.G 和 H (对应于群同态 们 的半直积也可以定义为群 H 、二 G = { (h , 功}h 〔H , g 任 G } , 其乘法运算如下 :(h ,, 9 1 )(h Z , 9 2 ) = (h l [二(夕l )(h Z )], 夕l 夕2 ) , V h l , h : 〔 H , 夕l , 夕: 任 G·事实上 , 这两种定义是等价的 , 同构映射为 牢 G 、 , H , H 、 二 G 且刀 : (夕, h ) * (二 (夕)(h ) , 夕).现在 , 我们如下定义映射 7r : : G L Z (z) * A ut (C * x C * ) . 对 A = (a 动 〔 G L Z (Z) , a , b 任 C * ,定义二 : (A )((a,b )) = (a a “ ba , 2, a a Z ‘ba 2 2 ).容易验证 二 l (A ) 是群 C , x C , 的自同构 , 7r l 是群同态 . 因此有半直积 G L Z (z) 汉 二 , (C , x C ‘) ,乘法如下 :(, 1,(· l, 。1 )) · (、2 , (·2 , 、)) 一 (,l , 2,(·姆。:概· 2 , ·:概。加。2 )),其中 A : = (a 叮) , A : = (b‘, ) 〔 G L Z (z ) , a i , a Z , bi , 帐 任 C * ·再如下定义一个从群 跳 = 1士 l} 到群 A ut (G L Z (z) 、 , : (c * x C* )) 的映射 心 . 对 k 〔2 2,A = (a 勺) 任 G L Z (Z ) , a , b 〔 C * , 定义二2 (k )((A,(a,b))) = (A,(k a ‘2 “2 2 a,k a ““, ‘b )).容易验证 7r2 (k) 是群 G L Z (z) 伙 二 1 (C , x C * )的自同构 , 7r : 是群同态 , 因此有半直积 (G L Z (z) 以 , :(C‘ x c , )) 、 二: 2 2 , 乘法如下 :(A l, a l , 6 1 , k l )·(A Z, a Z , b2,k Z )一 (,1 , 2, 、:1 ·如二尹。:尚 ·2 , 、, 1 1 b一 :备。为、 , 、l 、)中国科学 A 辑: 数学 第 38 卷 第 1 期其中 A : = (a 勺 ) , A : = (b衬) 〔 G L Z (Z ) , a l , a Z , bl , b: 任 C * , k l , k : 任 2 2 .定理 3 . 1 A u t z : (丁 (J (S ))) 望 A u t (5 12 (C )) x ((G L Z (Z ) 伙 , : (C * x C * )) 、 , : 2 2 ) .证明 定义映射沪 : A u t (5 12 (C )) X ((G L Z (Z ) 、 , 1 (C * x C * )) 、 二 , 2 2 ) * A u t z Z (丁(J (S ))).对 夕 c A u t (5 12 (C )) , k 〔肠 , A = (a ‘j ) 〔 G L Z (z ) , a = (a , , a Z ) 任 C * x C * , X 〔 5 12 (C ), a = (s , t ) 任S , 定义沪(。, A , 。 l, 。2 , 、) (x À x 口 ) = 、s ‘。“。(x ) À 二“A 一 ‘ ,沪(p , A , a l , a Z , k ) (D 。 ) = k 吕+ ‘a 口入(A 一‘)D o A 一 1 , 若 a 〔 s \ 50 .由定理 2 . 2 , 容易验证 沪是一个群同构 . 定理得证.下面是文献 沁, 7」中关于 A ut (51 2 (C) ) 的两个结论 .定理 & 2 设 p 是 51 2 (C) 的一个线性变换, 则 p 是 Li e 自同构当且仅当存在 C 上的一个 2 x Z 可逆阵 A , 使得p (X ) = A 一 ‘X A,V X 〔 5 12 (C ),并且 A ut (sl 2 (c) ) 望 G L Z (C) / C* I , 其中 I 为单位矩阵 .定理 3 . 3 设 P G L Z (C) 是 C 上的一维射影群 , 则 P G L Z (C) 望 G L Z (C) / C * 1 .由上面 3 个定理 , 得到本文的主要结果推论 3. 4A u t z : (丁 (J (S ))) 全 P G L Z (C ) x ((GL Z (Z ) 以 , : (C * x C * )) 、 二2 2 2 ) .参考文献—1 A l lis o n B , 灿azn s , B er m a n S , e t al . E xt e n ded a fi n e L i e a lg e b ras an d t h e i r r o o t s y s t e ms . 材e m A爪e r M a t hS oc , 6 0 3 : 1一10 8 (1 9 9 7 )2 N e he r E , 丫b 日hi i Y . D er 1v a t 1o ns an d i n v a r ia n t fo rms o f J o r d a n a n d a It e r n at ive t o r i . 子旧川 A仍e r M a 忿h s oc ,3 8 5 : 1 0 7于1 10 8 (2 0 0 3 )3 丫’o s h i i Y . R D o t s邓t e rns e x t e o d ed by an ab e l ia n gr o u P an d t he i r L ie a l g e b r as . J L 云e Th eo 印 , 1 4 : 3 7 1 一3 94(2 0 0 4 )4 Ta n S . T K K a lg e b r as a n d ve r t ex o P e r at o r r e P r es nt a t io ns . J A lg e b低 2 1 1 : 2 98- 34 2 (1 9 9 9 )5 M ao X , 飞b n S . Ve rt ex o P e r at o r r e P r es e nt at io ns fo r T K K a l罗b r as . J A lg e b、 , 3 0 8 : 70 4 一73 3 (20 0 7 )6 J ac o b s o n N . L ie A lg e b r as . N ew 、乞r k- Lo n d o n : W i l ey l nt e r s e ie n ce , 19 6 27 华罗庚 , 万哲先 . 典型群 . 上海: 上海科学技术出片社, 1 96 3

TKK代数的分次自同构群

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