Kollar, Ingo

Ottinger, Sarah

Ufer, Stefan

German

OPUS Augsburg

Beiträge zum Mathematikunterricht 2016, hrsg. v. Institut für Mathematik und Informatik der Pädagogischen Hochschule Heidelberg. Münster: WTM-Verlag Seite 1123 Sarah OTTINGER, Stefan UFER, LMU München, Ingo KOLLAR, Uni-versität Augsburg Mathematisches Argumentieren und Beweisen in der Studieneingangsphase – Analyse inhaltlicher und formaler Qualitätsindikatoren  1. Hintergrund und Forschungsstand Für viele Studierende stellt der Übergang von der Schul- zur Hochschulma-thematik eine große Herausforderung dar (Heublein, 2014). Die unter-schiedliche Akzentuierung mathematischen Argumentierens und Bewei-sens in den beiden Bildungsinstitutionen kann dabei als eine mögliche Ur-sache aufgefasst werden (Rach, 2014). Das Formulieren und Absichern ma-thematischer Vermutungen erfordert sowohl informelles Explorieren an-hand von Beispielen und Gegenbeispielen (Koedinger, 1998) als auch das Suchen nach potentiell anwendbaren Sätzen, Definitionen und Konzepten. Der Rückgriff auf die Regeln der Logik sowie die sprachliche Struktur ei-nes Beweises tragen dabei ebenfalls wesentlich zur Komplexität der Anfor-derungen bei (Epp, 2003). Studien weisen darauf hin, dass Schülerinnen und Schüler über alle Jahrgangsstufen hinweg Schwierigkeiten bei der Konstruktion mathematischer Beweise haben (u.a., Healy & Hoyles, 1998). Studienanfängerinnen und Studienanfänger scheitern häufig daran, eine logische Schlusskette zu finden und diese mit der jeweils erforderlichen sprachlichen Präzision nach den Standards der Community zu kommuni-zieren (Epp, 2003). In vielen Modellen zum mathematischen Argumentie-ren und Beweisen (Boero, 1999; Schwarz, Hershkowitz & Prusak, 2010) lassen sich im Wesentlichen zwei übergeordnete, idealisierte Prozesse iden-tifizieren: Einerseits müssen Studierende Argumente für oder gegen eine mathematische Vermutung suchen und diese zu einer logisch stringenten Schlusskette organisieren. Dabei müssen Relationen zwischen verschiede-nen mathematischen Konzepten identifiziert und nach ihrem Potential, eine mathematische Vermutung zu stützen, ausgewählt werden (Boero, 1999). Andererseits müssen die Argumente und logischen Schlüsse in akzeptabler Weise dargestellt werden, um sie der jeweiligen Community zugänglich zu machen. Dabei ist die Verwendung mathematischer Symbole, zwar nicht zwingend notwendig, aber dennoch häufig hilfreich. Der Erfolg beider Pro-zesse äußert sich in der von den Studierenden erstellten Lösung zu der je-weiligen Beweisaufgabe. So zeigt sich der Erfolg des Suchens nach logi-schen Schlüssen darin, dass zentrale Beweisideen in der Argumentation ersichtlich (Lai & Weber, 2014), Bezüge zur Rahmentheorie hergestellt (Griffiths, 2000), und Allgemeingültigkeit und Vollständigkeit des Argu-ments entsprechend den Anforderungen der Community erreicht werden. Darüber hinaus zeigt sich in der korrekten Verwendung der mathemati-Beiträge zum Mathematikunterricht 2016, hrsg. v. Institut für Mathematik und Informatik der Pädagogischen Hochschule Heidelberg. Münster: WTM-Verlag Seite 1124 schen Fachsprache und einem präzisen Umgang mit symbolischen Notatio-nen, ob Anforderungen zur Kommunikation der gefundenen Schlüsse er-füllt wurden. Inwiefern diese inhaltliche und formale Qualität mathemati-scher Argumentationen und Beweise zusammenhängen, wurde trotz der Thematisierung beider Aspekte (bspw. Selden & Selden, 2011) bislang noch nicht analysiert. Nach Selden und Selden (2009) finden sich Hinweise darauf, dass in bestimmten Teilen eines Beweises vorwiegend die Qualität der Problemlöseprozesse wiedergespiegelt wird (problem-centered part), während andere Teile eines Beweises davon geprägt sind, dass sie stark mit der formalen Qualität verknüpft sind (formal-rhetorical part).  2. Ziele und Fragestellungen  Ziel der Studie war, die inhaltliche und formale Qualität mathematischer Argumentationen und Beweise von Studienanfängerinnen und Studienan-fängern systematisch zu untersuchen. Dabei sind folgende Forschungsfra-gen zentral: (1) Welche inhaltlichen und formalen Schwierigkeiten haben Studienanfänger(innen) bei der Konstruktion mathematischer Argumentati-onen und Beweisen? (2) Bilden die Qualitätsindikatoren mathematischer Argumentationen und Beweise ein ein-dimensionales Konstrukt oder be-schreibt ein zweidimensionales Modell mit einer inhaltlichen und einer formalen Komponente die vorgefundenen Daten besser? 3. Design Es wurde ein querschnittliches Design mit einem Test zur mathematischen Beweis- und Argumentationskompetenz in der Teilbarkeitslehre (Reichers-dorfer, Vogel, Fischer, Kollar, Reiss & Ufer, 2012) gewählt. 159 Studien-anfänger(innen) der Studiengänge Bachelor Mathematik, Wirtschaftsma-thematik und gymnasiales Lehramt (72 weiblich, MAlter = 19.67 Jahre, SDAl-ter = 3.18) nahmen im Rahmen eines freiwilligen Brückenkurses an der Er-hebung teil. Die schriftlichen Studierendenlösungen wurden sowohl auf ihre inhaltliche als auch formale Qualität hin kodiert. Die inhaltliche Quali-tät wurde anhand einer vierstufigen Skala beurteilt. Zur Analyse der forma-len Qualität wurde je eine ordinalskalierte Variable zur korrekten Darstel-lung von Implikationen und Äquivalenzen, zur Darstellung von Teilbar-keitsrelationen, zur Kennzeichnung von Definitionen, zur Verwendung von Variablen sowie Quantifizierungen entwickelt. Die Lösungen wurden von zwei unabhängigen Ratern kodiert und es konnte über alle Variablen hin-weg eine gute Interrater-Reliabilität erreicht werden. Zur Beantwortung der zweiten Fragestellung wurde eine explorative Faktorenanalyse durchge-führt, wobei die hierarchische Struktur der Daten (mehrere Items pro Schü-ler) und die Verteilung der Qualitätsindikatoren (robuste Maximum-Likelihood-Schätzer) berücksichtigt wurden. Beiträge zum Mathematikunterricht 2016, hrsg. v. Institut für Mathematik und Informatik der Pädagogischen Hochschule Heidelberg. Münster: WTM-Verlag Seite 1125 4. Ergebnisse Die Ergebnisse weisen darauf hin, dass insbesondere das Finden längerer Schlussketten Probleme bereitet. Außerdem können Resultate bisheriger Studien gestützt werden (vgl. Reichersdorfer et al., 2012): Das Widerlegen mathematischer Aussagen stellt im Vergleich zu technischen Beweisen, komplexen Beweisen  und dem Identifizieren und Beweisen wahrer Aussa-gen geringere Herausforderungen an die Studienanfänger(innen). Definiti-onen wurden insgesamt am seltensten symbolisch gekennzeichnet, während Variablen sehr häufig Verwendung fanden. Der Verzicht auf formale Nota-tionen wurde für den entsprechenden formalen Indikator als fehlender Wert kodiert und hatte, soweit nicht zwingend erforderlich, keine negativen Auswirkungen für die Bewertung der formalen Qualität. Ergebnisse zu den formalen Qualitätsindikatoren zeigen auf, dass die Darstellung von Defini-tionen und die Verwendung von Quantoren am meisten von Fehlern behaf-tet war. In Bezug auf die zweite Forschungsfrage zeigte sich, dass das zwei-dimensionale Modell dem ein-dimensionalen Modell signifikant über-legen ist. Die beiden Faktoren korrelierten mäßig und positiv. Auf dem ers-ten Faktor laden neben der inhaltlichen Qualität die formalen Qualitätsindi-katoren „Darstellung der Teilbarkeitsrelation“ und „Darstellung von Impli-kationen/Äquivalenzen“. Der zweite Faktor war von den formalen Quali-tätsindikatoren zur „Verwendung von Variablen“, zur „Verwendung von Quantoren“ und zur „Darstellung von Definitionen“ geprägt. 4. Diskussion und Implikationen  Zusammenfassend repliziert die berichtete Studie zunächst die Ergebnisse bisheriger Studien: Sowohl das Finden einer Kette logischer Schlüsse als auch das Kommunizieren dieser Schlüsse mit formaler Präzision stellt für Studierende eine substantielle Hürde dar (u.a., Epp, 2003; Selden & Selden, 2009; 2011). Unseres Wissens ist diese Studie der erste Versuch, Zusam-menhänge zwischen inhaltlichen und formalen Qualitätsindikatoren syste-matisch zu betrachten. Die Ergebnisse der explorativen Faktorenanalyse stützen zum einen die These, dass bestimmte formale Indikatoren (wie die Darstellung von Implikationen und Teilbarkeitsrelationen) eng mit der in-haltlichen Qualität verknüpft sind, was möglicherweise darauf zurückge-führt werden kann, dass diese formalen Aspekte Relationen zwischen ma-thematischen Objekten (Zahlen, Aussagen und Argumenten) beschreiben. Andererseits wird die Behauptung gestützt, dass gewisse formale Aspekte wie die Verwendung von Quantoren, Variablen und Definitionen weitge-hend unabhängig von der inhaltlichen Qualität sind. Diese Indikatoren ha-ben gemeinsam, dass sie zur Einführung und Beschreibung mathematischer Objekte verwendet werden. Die Ergebnisse legen also zur Thematisierung mathematischer Symbole zwei Strategien nahe: Einerseits können be-stimmte formale Aspekte anscheinend relativ unabhängig vom konkreten Beiträge zum Mathematikunterricht 2016, hrsg. v. Institut für Mathematik und Informatik der Pädagogischen Hochschule Heidelberg. Münster: WTM-Verlag Seite 1126 Inhalt betrachtet werden. Bei Aspekten, die enger mit der Bewältigung in-haltlicher Anforderungen verwoben sind, scheint es hingegen sinnvoll, sie im Kontext konkreter Beweisversuche zu diskutieren.  Literatur Boero, P. (1999). Argumentation and mathematical proof: A complex, productive, unavoidable relationship in mathematics and mathematics education. International Newsletter on the Teaching and Learning of Mathematical Proof, 7/8. Epp, S. S. (2003). The role of logic in teaching proof. American Mathematical Monthly, 110 (10), 886-899.  Healy, L. & Hoyles, C. (1998). Justifying and Proving in School Mathematics: Technical Re-port on the Nationwide Survey. London: Institute of Education. Heublein, U. (2014). Student Drop-out from German Higher Education Institutions. European Journal of Education 4, 497-513. Griffiths, P.A. (2000). Mathematics at the Turn of the Millennium. The American Mathematical Monthly, 107(1), 1-14. Koedinger, K. R. (1998).  Conjecturing and argumentation in high school geometry students.  In Lehrer, R. and Chazan, D. (Eds.), New Directions in the Teaching and Learning of Geome-try.  Hillsdale, NJ: Lawrence Erlbaum Associates. Lai, Y. & Weber, K. (2014). Factors mathematicians profess to consider when presenting peda-gogical proofs. Educational Studies in Mathematics, 85, 93-108. Rach, S. (2014). Charakteristika von Lehr-Lern-Prozessen im Mathematikstudium: Bedingungs-faktoren für den Studienerfolg im ersten Semester. Münster: Waxmann. Reichersdorfer, E., Vogel, F., Fischer, F., Kollar, I., Reiss, K., & Ufer, S. (2012). Different col-laborative learning settings to foster mathematical argumentation skills. In T. Tso (Ed.): Pro-ceedings of the 36th Conference of the International Group for the Psychology of Mathemat-ics Education, Vol. 3, 345-352. Schwarz, B. B., Hershkowitz, R., & Prusak, N. (2010). Argumentation and mathematics. In K. Littleton & C. Howe (Eds.), Educational Dialogues: Understanding and Promoting Produc-tive Interaction. (S. 103-127). London, UK: Taylor & Francis. Selden, J., & Selden, A. (2009). Teaching proving by coordinating aspects of proofs with stu-dents’ abilities. In M. Blanton, D. Stylianou, & E. Knuth (Eds.), The learning and teaching of proof across the grades (S. 339-354). London: Taylor & Francis. Selden, A., & Selden, J. (2011). Mathematical and non-mathematical university students’ prov-ing difficulties. In L. R. Wiest & T. D. Lamberg (Eds.), Proceedings of the 33rd annual con-ference of the North American chapter of the International Group for the Psychology of Mathematics Education (S. 675–683). Reno, NV. 

Mathematisches Argumentieren und Beweisen in der Studieneingangsphase – Analyse inhaltlicher und formaler Qualitätsindikatoren

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