Doutoramento em MatemáticaNesta tese abordam-se várias formulações e diferentes métodos para resolver
o Problema da Árvore de Suporte de Custo Mínimo com Restrições de Peso
(WMST – Weight-constrained Minimum Spanning Tree Problem). Este
problema, com aplicações no desenho de redes de comunicações e
telecomunicações, é um problema de Otimização Combinatória NP-difícil. O
Problema WMST consiste em determinar, numa rede com custos e pesos
associados às arestas, uma árvore de suporte de custo mínimo de tal forma
que o seu peso total não exceda um dado limite especificado.
Apresentam-se e comparam-se várias formulações para o problema. Uma
delas é usada para desenvolver um procedimento com introdução de cortes
baseado em separação e que se tornou bastante útil na obtenção de soluções
para o problema.
Tendo como propósito fortalecer as formulações apresentadas, introduzem-se
novas classes de desigualdades válidas que foram adaptadas das conhecidas
desigualdades de cobertura, desigualdades de cobertura estendida e
desigualdades de cobertura levantada. As novas desigualdades incorporam a
informação de dois conjuntos de soluções: o conjunto das árvores de suporte e
o conjunto saco-mochila. Apresentam-se diversos algoritmos heurísticos de
separação que nos permitem usar as desigualdades válidas propostas de
forma eficiente.
Com base na decomposição Lagrangeana, apresentam-se e comparam-se
algoritmos simples, mas eficientes, que podem ser usados para calcular limites
inferiores e superiores para o valor ótimo do WMST. Entre eles encontram-se
dois novos algoritmos: um baseado na convexidade da função Lagrangeana e
outro que faz uso da inclusão de desigualdades válidas.
Com o objetivo de obter soluções aproximadas para o Problema WMST
usam-se métodos heurísticos para encontrar uma solução inteira admissível.
Os métodos heurísticos apresentados são baseados nas estratégias Feasibility
Pump e Local Branching.
Apresentam-se resultados computacionais usando todos os métodos
apresentados. Os resultados mostram que os diferentes métodos
apresentados são bastante eficientes para encontrar soluções para o
Problema WMST.In this thesis we discuss several formulations and different methods to solve
the Weight-constrained Minimum Spanning Tree Problem (WMST). This
problem, with applications in the design of communication networks and
telecommunications, is a NP-hard combinatorial optimization problem. The
WMST problem aims at obtaining, in a network with costs and weights
associated to its edges, a minimum cost spanning tree such that its total weight
does not exceed a given specified parameter.
Various formulations to the problem are presented and compared. One is used
to develop a procedure to introduce cuts based on separation and that became
quite useful in obtaining solutions to the problem.
To strengthen the formulations, new classes of valid inequalities, adapted from
the well-known cover inequalities, extended cover inequalities and lifted cover
inequalities, are introduced.
These new inequalities incorporate information from two sets of solutions: the
spanning trees set and the knapsack set. We present several separation
heuristic algorithms that allow us to efficiently use the proposed valid
inequalities.
Based on Lagrangean decomposition, simple and efficient algorithms are
presented and compared. The algorithms can be used to obtain upper and
lower bounds to the optimal value of the WMST problem. Among them are two
new algorithms: one based on the convexity of the Lagrangean function and
another making use of the inclusion of valid inequalities.
In order to obtain approximate solutions to the WMST problem, heuristic
methods are used to find feasible solutions. The heuristic methods presented
are based on the Feasibility Pump and Local Branching strategies.
We present computational results using all these methods. Results show that
the different methods presented are very efficient for finding solutions to the
WMST problem