Pseudo-splines, wavelets and framelets

Master'sMASTER OF SCIENC

WAVELET PACKET FRAME-BASED IMAGE RESTORATION MODELS AND THEIR ASYMPTOTIC ANALYSIS

Ph.DDOCTOR OF PHILOSOPH

DISCRETE FRAMES AND TIGHT FRAMES FOR SPARSE IMAGE REPRESENTATION

Ph.DDOCTOR OF PHILOSOPH

Cubature formulas on wavelet spaces

Im Mittelpunkt der Fehleranalyse der vorgestellten Kubaturformeln stehen Funktionenräume, sogenannte Waveleträume, die anhand des Abklingverhaltens der Waveletkoeffizienten der enthaltenen Funktionen charakterisiert werden. Für geeignete Parameterwahl verfügen diese Integranden über eine Glattheit, die gewährleistet, dass die Punktauswertung auf diesen Räumen stetig ist und mit einer Kernfunktion identifiziert werden kann. Diese Räume mit reproduzierendem Kern sind ein wichtiges Werkzeug für Fehlerabschätzungen, die sich mit dem Begriff einer verallgemeinerten geometrischen Diskrepanz der Stützstellenmenge in Verbindung bringen lassen. Die Reichhaltigkeit der betrachteten Räume wird durch sogenannte Jackson-Ungleichungen garantiert, welche einen Bezug zu klassischen Funktionenräumen wie einfache Tensorprodukte von Sobolevräumen herstellen. Die optimalen eindimensionalen Quadraturformeln werden mit Hilfe eines (anisotropen) Dünngitteransatzes erweitert. Aus den oberen und unteren Fehlerschranken wird ersichtlich, dass die sich daraus ergebenen Kubaturformeln optimal bis auf logarithmische Faktoren sind. Nebst numerischer Beispiele für (multi- und spline-) waveletbasierte Kubaturen, welche z.B. durch einen Dünngitteransatz mit einer unterliegenden stückweisen Gaussquadratur fester Ordnung realisiert werden können, liefern wir einen möglichst allgemeinen Ansatz basierend auf sogenannten Wavelet-Frames und einem anisotropen Dünngitter

Directional Haar Wavelet Systems in Image Processing

In der Dissertation werden Waveletmethoden betrachtet, die in der Lage sind, verschiedene Richtungen in digitalen Bildern zu erkennen. Die dabei verwendeten Haarwavelets sind stückweise konstante Funktionen mit kompaktem Träger im Zeitbereich. Zunächst konstruieren wir ein nicht-adaptives Waveletsystem, das aus gerichteten Haarwavelets auf Dreiecken besteht. Wir untersuchen Dreieckszerlegungen der reellen Ebene mit vier Richtungen, das daraus resultierende Waveletsystem generiert eine Orthonormalbasis des $L^2({\mathbb R}^2)$. Im nächsten Schritt erweitern wir den Ansatz, indem wir vier weitere Richtungen zulassen. Das nun entstehende Waveletsystem verliert seine Basiseigenschaft, wir erhalten einen Frame mit vierfacher Redundanz. Schließlich konstruieren wir ein noch allgemeineres Haarwaveletsystem, das aufgrund einer geeigneten Dreieckszerlegung beliebig viele Richtungen aufweist. Nachdem wir für alle Methoden den zugehörigen Filterbank-Algorithmus ausführlich beschrieben haben, wenden wir ihn zur Entstörung und zur Approximation von Bildern an. Im zweiten Teil der Arbeit führen wir eine neue adaptive Wavelettransformation ein, die sogenannte Tetrolet-Transformation. Die verwendeten Haarwavelets basieren auf einer adaptiven Tetromino-Zerlegung des diskreten Bildraumes und bilden eine Orthonormalbasis. Auch hier beschreiben wir den Filterbank-Algorithmus und illustrieren an vielen Beispielen die enorme Effizienz der Methode bei der Approximation von Bildern. Wir untersuchen die numerische Komplexität und die zusätzlichen Adaptivitätskosten, was zu kostenreduzierenden Modifikationen der Transformation führt. Das letzte Kapitel ist einer Postprocessing-Methode gewidmet, die die Schwächen von gerichteten Haarwavelet-Transformationen beheben soll. Durch die Verwendung von Haarwavelets liefern unsere Methoden eine stückweise konstante Approximation der Bilder. Durch Anwenden eines angepassten Postprocessing-Schemas können wir die Regularität des approximierten Bildes nachträglich erhöhen, ohne dabei die Bildkanten zu verwischen. Unsere Methode verwendet dazu eine anisotrope Totale-Variations-Minimierung. Die guten Ergebnisse in der Anwendung bestätigen die theoretischen Resultate, dass die Approximationsqualität der Bilder bei geeigneter Wahl der Parameter des Postprocessing-Verfahrens verbessert werden kann.We consider wavelet methods that are able to detect different directions in digital images. The constructed Haar wavelets are piecewise constant functions with compact support in the space domain. Firstly, we construct a non-adaptive wavelet system of directional Haar wavelets on triangles. We partition the real plane into triangles with four directions, the generated wavelet system forms an orthonormal basis of $L^2({\mathbb R}^2)$. In a next step we generalize this approach adding four further directions. The wavelet system looses its basis property, and we get a frame with fourfold redundancy. Finally, we construct an even more general Haar wavelet system that offers arbitrary many directions using a suitable triangle partition. After describing the corresponding filter bank algorithms for our methods we apply them to image denoising and approximation. In the second part we introduce a new adaptive wavelet transform, the so called tetrolet transform. The Haar wavelets base upon an adaptive tetromino partition of the discrete image space and form an orthonormal basis. We describe the filter bank, too, and illustrate the efficiency of the method for image approximation by many numerical examples. The analysis of the adaptivity costs leads to modified versions of the tetrolet transform. The last chapter is devoted to a postprocessing method which corrects the weakness of the directional Haar wavelet transforms. The usage of Haar wavelets in our methods leads to a piecewise constant image approximation. The application of the proposed postprocessing scheme subsequently improves the regularity of the approximated image without blurring the edges. In order to preserve edges we use an anisotropic total variation minimization. Good numerical experiments verify the theoretical results that the approximation quality can be improved by a certain choice of the parameter of the method