Une Dialectica matérialiste

In this thesis, we give a computational interpretation to Gödel's Dialectica translation, in a fashion inspired by classical realizability. In particular, it can be shown that the Dialectica translation manipulates stacks of the Krivine machine as first-class objects and that the main effect at work lies in the accumulation of those stacks at each variable use. The original translation suffers from a handful of defects due to hacks used by Gödel to work around historical limitations. Once these defects are solved, the translation naturally extends to much more expressive settings such as dependent type theory. A few variants are studied thanks to the linear decomposition, and relationships with other translations such as forcing and CPS are scrutinized.Cette thèse fournit une interprétation calculatoire de la traduction dite Dialectica de Gödel, dans une démarche inspirée par la réalisabilité classique. On peut en particulier montrer que Dialectica manipule des piles de la machine de Krivine comme objets de première classe et que le principal effet de cette traduction consiste à accumuler ces piles à chaque utilisation de variables. La traduction d'origine souffre d'une certaine quantité de défauts dus aux hacks utilisés par Gödel pour contourner des limitations historiques. Une fois ces problèmes résolus, la traduction s'étend naturellement à des paradigmes beaucoup plus expressifs tels que la théorie des types dépendants. On étudie d'autres variantes par la suite grâce à la décomposition linéaire, ainsi que lien de parenté avec d'autres traductions tels que le forcing et les CPS

Un régime au concentré d'automate

International audienceOn présente dans cet article une optimisation a posteriori du format de fichier utilisé par l'assistant à la preuve Coq pour sauvegarder ses bibliothèques. L'implémentation purement fonctionnelle des structures de données contenues dans ces fichiers permet d'utiliser des algorithmes standards sur les automates qui garantissent de fait une optimalité du partage de la mémoire. Notre outil peut se généraliser directement au calcul du partage maximal lors de la sérialisation de toute structure de données OCaml utilisée de manière purement fonctionnelle

: De la réduction linéaire de tête à l'évaluation paresseuse

National audienceÀ partir de la réduction linéaire de tête, nous dérivons de manière systématique un calcul en appel par nécessité. L'introduction d'un calcul pour la réduction linéaire de tête, basée sur une analyse fine de la notion de radicaux premiers de Danos et Regnier, nous permet de construire pas à pas un lambda-calcul en appel par nécessité que l'on compare aux calculs présents dans la littérature

The Fire Triangle: How to Mix Substitution, Dependent Elimination, and Effects

International audienc

The Definitional Side of the Forcing

International audienceThis paper studies forcing translations of proofs in dependent type theory, through the Curry-Howard correspondence. Based on a call-by-push-value decomposition, we synthesize two simply-typed translations: i) one call-by-value, corresponding to the translation derived from the presheaf construction as studied in a previous paper ; ii) one call-by-name, whose intuitions already appear in Kriv-ine and Miquel's work. Focusing on the call-by-name translation, we adapt it to the dependent case and prove that it is compatible with the definitional equality of our system, thus avoiding coherence problems. This allows us to use any category as forcing conditions , which is out of reach with the call-by-value translation. Our construction also exploits the notion of storage operators in order to interpret dependent elimination for inductive types. This is a novel example of a dependent theory with side-effects, clarifying how dependent elimination for inductive types must be restricted in a non-pure setting. Being implemented as a Coq plugin, this work gives the possibility to formalize easily consistency results, for instance the consistency of the negation of Voevodsky's univalence axiom

Modèles de la théorie des types donnés par traduction de programme

National audienceDans cet article, nous présentons quelques modèles du calcul des constructions avec univers (CCω) donnés par des traductions de programme. De tels modèles peuvent être vus comme la compilation d'une théorie des types compliquée vers une théorie des types plus simple. Nous les utilisons pour montrer simplement que certains axiomes ne sont pas dérivables dans CCω : l'extensionnalité fonctionnelle, l'extensionnalité propositionnelle et le fait que la bissimilarité implique l'égalité pour les streams. Ces modèles permettent également d'a jouter de nouveaux opérateurs dans la théorie source. Nous prendrons l'exemple du pattern matching sur un univers. Les traductions de programme ont l'avantage sur les autres modèles de pouvoir être instrumentées sous forme de plug-ins d'un assistant de preuve (nous utiliserons Coq), ce qui permet d'ajouter de nouveaux axiomes à la volée, tout en préservant la cohérence de la théorie

Martin-L\"of \`a la Coq

We present an extensive mechanization of the meta-theory of Martin-L\"of Type Theory (MLTT) in the Coq proof assistant. Our development builds on pre-existing work in Agda to show not only the decidability of conversion, but also the decidability of type checking, using an approach guided by bidirectional type checking. From our proof of decidability, we obtain a certified and executable type checker for a full-fledged version of MLTT with support for $\Pi$, $\Sigma$, $\mathbb{N}$, and identity types, and one universe. Furthermore, our development does not rely on impredicativity, induction-recursion or any axiom beyond MLTT with a schema for indexed inductive types and a handful of predicative universes, narrowing the gap between the object theory and the meta-theory to a mere difference in universes. Finally, we explain our formalization choices, geared towards a modular development relying on Coq's features, e.g. meta-programming facilities provided by tactics and universe polymorphism

Russian Constructivism in a Prefascist Theory

International audienc

Pursuing Shtuck

By mimicking the internal sheafification construction in an arbitrary topos, we provide a simple description of the various sheaf-related constructions in a purely type-theoretical setting. Assuming mild extensionality properties on our target type theory, we show that it almost results in a syntactic model of CIC. Unfortunately, a well-known topos-theoretic issue carries over, and the resulting theory, called ShTT, does not feature universes. We propose three different solutions to this problem: making the target theory univalent, allowing effects in the source theory, or changing our point of view while using strict propositions. As a side-product, we also give a computational interpretation of sheaves that highlights their deep relationship with the well-known structure of interaction trees