9 research outputs found

    Codimension two marginally trapped submanifolds in Robertson-Walker spaces

    Full text link
    We give a local characterization of codimension two submanifolds which are marginally trapped in Robertson-Walker spaces, in terms of an algebraic equation to be satisfied by the height function. We prove the existence of a large number of local solutions. We refine the description in the case of curves with null acceleration in three-dimensional spaces Robertson-Walker spaces, and in the case of codimension two submanifolds whose second fundamental form is nullComment: 16 pages, Bibliography updated and small correction

    Spacelike submanifolds, their umbilical properties and applications to gravitational physics.

    Get PDF
    142 p.Hasta aproximadamente el siglo dieciocho los cient√≠ficos eran expertos tanto en los aspectosmatem√°ticos como en los aspectos f√≠sicos de su investigaci√≥n y de sus descubrimientos.Cabe sostener que muy probablemente estos no distingu√≠an mucho entre la f√≠sicate√≥rica y la f√≠sica experimental, por ejemplo, puesto que a menudo eran al mismo tiempomatem√°ticos, astr√≥nomos, ge√≥metras, ingenieros, f√≠sicos e incluso, a veces, fil√≥sofos. Apartir del siglo diecinueve las fronteras que habr√°n de delimitar estos campos comienzana ser m√°s definidas y desde el siglo veinte matem√°ticos y f√≠sicos, por lo general, hantrabajado en dos √°reas de investigaci√≥n separadas en la ciencia.Hoy en d√≠a, debido a la r√°pida especializaci√≥n de los campos cient√≠ficos y al nacimientode nuevas disciplinas, la distancia entre las matem√°ticas y la f√≠sica se ha hecho a√ļn m√°sgrande. En particular, el uso de diferentes lenguajes ha empezado a impedir que los cient√≠ficosse comuniquen entre ellos y compartan sus resultados. Aun as√≠, la historia de laciencia nos ha mostrado c√≥mo el intercambio de conocimiento entre estos dos campos, lasmatem√°ticas y la f√≠sica, ha sido clave en el pasado para superar obst√°culos, para producircambios de paradigma, para abrir nuevas perspectivas y para impulsar una revoluci√≥ncient√≠fica.Dos ejemplos destacables de este proceso en estas dos ramas cient√≠ficas han sido losdesarrollos producidos por la teor√≠a de la mec√°nica cu√°ntica y por la teor√≠a de la relatividadgeneral. Los avances requeridos por la mec√°nica cu√°ntica en el an√°lisis funcional y lano conmutatividad de los operadores que representan los observables cu√°nticos, han conducidoa un campo completamente nuevo, y ahora independiente dentro de las matem√°ticasllamado geometr√≠a no conmutativa. Por lo que concierne a la relatividad general, laequivalencia de la curvatura con el campo gravitacional, que representa uno de los fundamentosde la teor√≠a, es una manifestaci√≥n evidente de la conexi√≥n profunda entre lageometr√≠a diferencial y la f√≠sica gravitacional. En ambos casos, las matem√°ticas proveena los f√≠sicos de bases s√≥lidas y marcos para construir una nueva teor√≠a f√≠sica, mientras quela f√≠sica motiva e indica a los matem√°ticos el camino hacia √°reas inexploradas y problemasirresolutos.Geometr√≠a y f√≠sica gravitacionalEl marco matem√°tico de la teor√≠a de la relatividad general y de la mayor√≠a de las teor√≠asgravitacionales est√° dado por la geometr√≠a Lorentziana. Un espacio-tiempo est√° modeladopor una variedad LorentzianaMy las leyes f√≠sicas que describen el Universo a grandesescalas son expresiones tensoriales que dependen del tensor de Riemann de M. Todoslos objetos y los conceptos relevantes en gravitaci√≥n poseen un equivalente geom√©trico.Por ejemplo, las geod√©sicas temporales y luminosas representan las trayectorias de laspart√≠culas materiales y de los fotones, respectivamente; y la incompletitud geod√©sica temporalo luminosa de M implica bajo ciertas condiciones la presencia de singularidadesen el espacio-tiempo. En una singularidad del espacio-tiempo las cantidades de curvaturaviiviiipueden divergir y los agujeros negros, predichos por la teor√≠a, esconden estas singularidadescl√°sicas dentro de sus horizontes.Las matem√°ticas que se necesitan en f√≠sica gravitacional incluyen, por ejemplo, ecuacionesen derivadas parciales para analizar las ecuaciones de campo de Einstein, el an√°lisisgeom√©trico para estudiar las ecuaciones de ligadura y para resolver problemas de estabilidady el an√°lisis num√©rico para aproximar aquellas soluciones que no se pueden obteneranal√≠ticamente. Dentro de la geometr√≠a diferencial, la teor√≠a de subvariedades provee lasherramientas adecuadas para abordar algunos problemas importantes que involucran tantolas singularidades del espacio-tiempo como el colapso gravitacional.Teoremas de singularidades Los teoremas de singularidades demostrados en los a√Īossesenta por Roger Penrose y Stephen Hawking [66, 34, 85] afirman que la formaci√≥nde singularidades es inevitable, si se asumen condiciones razonables sobre la curvaturadel espacio-tiempo, sobre la geometr√≠a extr√≠nseca de ciertas subvariedades y sobre la estructuracausal de la variedad Lorentziana. En particular, la existencia de subvariedadesatrapadas en el espacio-tiempo es un requisito clave en la formulaci√≥n original de los teoremasde singularidades, as√≠ como en sus m√°s recientes generalizaciones [29]. Matem√°ticamente,una subvariedad atrapada es una subvariedad espacial cuyo campo de curvaturamedia es temporal en todas partes.Colapso gravitacional El an√°lisis del colapso gravitacional est√° basado, desde un puntode vista geom√©trico, en el estudio de los horizontes de los agujeros negros [2]. El horizontede un agujero negro est√° modelado por una subvariedad de dimensi√≥n tres cuyas seccionesson superficies de dimensi√≥n dos cerradas y marginalmente atrapadas. Matem√°ticamente,una superficie marginalmente atrapada es una superficie espacial cuyo campo decurvatura media es luminoso y futuro en todas partes (hay tambi√©n una versi√≥n dual parael pasado). Cada una de estas superficies marginalmente atrapadas representa el ¬Ņborde¬Ņde la regi√≥n que contiene el agujero negro en un instante de tiempo dado. Su evoluci√≥na lo largo del tiempo determina el car√°cter causal del horizonte y, por consiguiente, ladin√°mica del agujero negro correspondiente.Como ha sido impl√≠citamente mencionado, la formulaci√≥n de los teoremas de singularidadesy la descripci√≥n geom√©trica de un colapso gravitacional no ser√≠a posible sin elempleo de las subvariedades espaciales y del estudio de sus propiedades extr√≠nsecas.Subvariedades espacialesSean S una subvariedad espacial y ¬Ņ un campo vectorial normal a S, entonces es posibledescribir la evoluci√≥n inicial de S a lo largo de la direcci√≥n extendida por ¬Ņ por el medio dedos cantidades llamadas expansi√≥n y ciza√Īa (¬Ņshear¬Ņ) de S a lo largo de ¬Ņ. La expansi√≥nda informaci√≥n sobre el cambio de volumen de S (de √°rea si S es una superficie) mientrasque la ciza√Īa da informaci√≥n sobre el cambio de ¬Ņforma¬Ņ de S manteniendo el volumenfijado. Si la expansi√≥n se anula, entonces el volumen de S a lo largo de esa direcci√≥nResumen ixparticular no cambia inicialmente. En este caso se dice que S es expansion-free. Sila ciza√Īa se anula entonces la forma de S no cambia inicialmente y la subvariedad esllamada shear-free.El concepto de ser expansion-free a lo largo de una direcci√≥n normal est√° estrictamenterelacionado con la propiedad de una subvariedad de ser marginalmente atrapada.De hecho, la primera definici√≥n de superficie atrapada fue dada en t√©rminos de las expansionesluminosas. Encontrar subvariedades expansion-free en la literatura de f√≠sicaes muy com√ļn y, en particular, en relaci√≥n a los horizontes de agujeros negros. Por otraparte, el concepto de ser shear-free es tambi√©n com√ļn en la literatura de f√≠sica pero hatenido mucha m√°s atenci√≥n entre los matem√°ticos. Sin embargo, la terminolog√≠a usada esdiferente: en la literatura de matem√°ticas las variedades shear-free son llamadas umbilicales.Subvariedades umbilicales y horizontes de agujeros negros Las subvariedades umbilicalesno son usadas expl√≠citamente en el an√°lisis de las singularidades de espacio-tiemposy del colapso gravitacional. Aun as√≠, aparecen a menudo cuando se considera el conceptocl√°sico de horizonte de sucesos [60, 99] y tambi√©n cuando se consideran horizontes deKilling y horizontes sin-expansi√≥n [2]. Los horizontes m√°s comunes y m√°s estudiados enla literatura, que son los horizontes de sucesos en el espacio-tiempo de Schwarzschild yen el espacio-tiempo de Kerr, tienen la siguiente propiedad: las superficies marginalmenteatrapadas que folian la hypersuperficie de dimensi√≥n tres que representa el horizonte sonumbilicales. En particular, son umbilicales a lo largo de una direcci√≥n luminosa. Lapregunta natural de si este tipo de foliaci√≥n puede caracterizar horizontes m√°s generalesde agujeros negros no-estacionarios ha motivado la investigaci√≥n llevada a cabo en [85]primero, y en esta tesis, luego.En [85] el autor caracteriza superficies espaciales umbilicales en espacio-tiempos dedimensi√≥n cuatro en t√©rminos de las propiedades de conmutaci√≥n de los operadores deWeingarten. Los resultados que presenta son espec√≠ficos para el caso de codimensi√≥ndos. El trabajo de esta tesis empieza con buscar una versi√≥n generalizada a la condici√≥nde umbilicidad presentada en [85]: se deja que la dimensi√≥n y la codimensi√≥n de la subvariedady la dimensi√≥n y la signatura de la variedad ambiente sean arbitrarias. En unasegunda fase, la condici√≥n de umbilicidad se aplica a espacio-tiempos que tienen inter√©sdesde un punto de vista f√≠sico. El objetivo es, primero, encontrar ejemplos expl√≠citos defamilias de superficies espaciales umbilicales y, luego, probar la idea de foliar los horizontesde agujeros negros por el medio de superficies espaciales que son al mismo tiempomarginalmente atrapadas y umbilicales.Resumen de los resultadosEn esta tesis se han estudiado las propiedades umbilicales de las subvariedades espaciales.Se han presentado algunas caracterizaciones que han sido aplicadas, en particular, a las√≥rbitas de grupos de movimientos conformes. Se ha dado una condici√≥n suficiente para laexistencia de puntos focales a lo largo de geod√©sicas temporales y luminosas en espaciosxLorentzianos productos de tipo warped. Esta ha sido usada para derivar algunos teoremasde singularidades. Los resultados han sido aplicados a varios espacio-tiempos que tienenrelevancia en la f√≠sica gravitacional.A continuaci√≥n un resumen de los resultados principales de la tesis, divididos porcap√≠tulos.Caracterizaciones de subvariedades espaciales umbilicales En el cap√≠tulo 3 se da unteorema de caracterizaci√≥n para subvariedades espaciales umbilicales de dimensi√≥n arbitrarian y codimensi√≥n k inmersas en una variedad semi-Riemanniana. Que la codimensi√≥nsea arbitraria implica que la subvariedad puede ser umbilical con respecto a unsubconjunto de las direcciones normales. Esto lleva a la definici√≥n de espacio umbilicaly al estudio de su dimensi√≥n.La parte sin traza de la segunda forma fundamental, llamada total shear tensor enesta tesis, juega un papel central en los teoremas de caracterizaci√≥n. Nos permite definirobjetos ¬Ņshear¬Ņ (operadores shear, tensores shear y escalares shear) que determinan laspropiedades umbilicales de la subvariedad espacial con respecto a un campo vectorial normaldado. En caso de que haya k¬Ņ1 direcciones umbilicales linealmente independientes,el total shear tensor determina un campo vectorial normal, llamado G, que es ortogonal alespacio umbilical. Cuando la codimensi√≥n es k = 2 es posible comparar G con el campode curvatura media y encontrar algunas analog√≠as.El teorema de caracterizaci√≥n es un instrumento muy √ļtil para determinar si una subvariedadespacial dada tiene un espacio umbilical no trivial. Si la dimensi√≥n y la codimensi√≥nde la subvariedad son ambas dos, por ejemplo, es suficiente calcular el conmutadorde dos operadores cualesquiera de Weingarten: si se anula, entonces el espacio umbilicaltiene dimensi√≥n uno por lo menos.Aplicaci√≥n del teorema de caracterizaci√≥n a las √≥rbitas de un grupo de movimientosconformes Dado un grupo de movimientos conformes G que act√ļa sobre una variedadsemi-Riemanniana y dada una √≥rbita S, es posible aplicar los resultados de caracterizaci√≥ndel cap√≠tulo 3 para encontrar condiciones necesarias y suficientes sobre S para que tengaun espacio umbilical no trivial.Si el subgrupo de isotrop√≠a de G es trivial, entonces la condici√≥n umbilical dependede los productos escalares fij := ¬Įg(Vi, Vj), donde {V1, . . . ,Vn} es un (sub)conjunto decampos vectoriales de Killing conformes generadores de G. Si el subgrupo de isotrop√≠ade G es no trivial, sostenemos que, bajo hip√≥tesis espec√≠ficas, es posible demostrar quela condici√≥n umbilical se satisface autom√°ticamente de manera que el espacio umbilicales no trivial. Las hip√≥tesis depender√°n de la codimensi√≥n k de S, de la dimensi√≥n D delsubgrupo de isotrop√≠a y de los rangos R(a) de las matrices A(a) que est√°n definidas ent√©rminos de las constantes de estructura de G (expresi√≥n (4.22)).Teoremas de singularidades en espacios Lorentzianos producto de tipo warped Enel cap√≠tulo 5 se considera un producto warped Lorentziano M = M ¬Ņf Y y se analizaResumen xiuna clase particular de subvariedades espaciales S. Se presenta una condici√≥n suficienteque permite demostrar, por un lado, la existencia de puntos focales a lo largo de geod√©sicasnormales a S temporales o luminosas y, por otro lado, la incompletitud geod√©sicaluminosa deMbajo condiciones adicionales.Asumiendo que se puede dividir la inmersi√≥n como S !¬Ņ!M, donde ¬Ņ es M ¬Ņ{q} o {q}¬ŅY, la condici√≥n de Galloway-Senovilla [29] se puede expresar en t√©rminosde la funci√≥n warped f y del tensor de Riemann de M o Y solamente. Esto significaque, por ejemplo, para demostrar los teoremas de singularidades es posible restringirse alestudio √ļnicamente de una de las dos variedades que definen el producto warped, en vezde considerar el producto warped mismo.La condici√≥n encontrada se ha aplicado a situaciones espec√≠ficas, como curvatura seccionalpositiva y constante, espacios de Einstein o Ricci-flat y unos subcasos en t√©rminosde la codimensi√≥n de S. Se ha hecho lo mismo en productos directos (f = 1).Ejemplos expl√≠citos de subvariedades umbilicales en la f√≠sica gravitacional En laprimera parte del cap√≠tulo 6 los resultados de caracterizaci√≥n presentados en el cap√≠tulo 3han sido aplicados al espacio-tiempo de Kerr, al de Robinson-Trautman y al de Szekeres.Para cada una de estas variedades Lorentzianas de dimensi√≥n cuatro, ha sido seleccionadauna familia de superficies espaciales y, usando la condici√≥n de umbilicidad para el cason = 2 y k = 2, han sido determinadas aquellas superficies de la familia que poseen unespacio umbilical no trivial. Adem√°s, han sido determinadas las que son marginalmenteatrapadas. En la segunda parte del cap√≠tulo 6, los resultados del cap√≠tulo 4 han sidoaplicados a espacio-tiempos que admiten un grupo de movimientos de dimensi√≥n dos otres, y tambi√©n a los que admiten un grupo de movimientos de dimensi√≥n cuatro queact√ļa sobre √≥rbitas de dimensi√≥n tres. En los primeros han sido determinados los tubosmarginalmente atrapados; en los segundos ha sido estudiada la presencia de un subgrupode isotrop√≠a no trivial, para mostrar la dependencia entre las funciones fij .KuLeuve

    Singularity theorems for warped products and the stability of spatial extra dimensions

    Full text link
    New singularity theorems are derived for generic warped-product spacetimes of any dimension. The main purpose is to analyze the stability of (compact or large) extra dimensions against dynamical perturbations. To that end, the base of the warped product is assumed to be our visible 4-dimensional world, while the extra dimensions define the fibers, hence we consider "extra-dimensional evolution". Explicit conditions on the warping function that lead to geodesic incompleteness are given. These conditions can be appropriately rewritten, given a warping function, as restrictions on the intrinsic geometry of the fibers ---i.e. the extra dimensional space. To find the results, the conditions for parallel transportation in warped products in terms of their projections onto the base and the fibers have been solved, a result of independent mathematical interest that have been placed on an Appendix.Comment: 23 pages, 1 figure. References added, some small rewrittin

    Spacelike submanifolds, their umbilical properties and applications to gravitational physics.

    Get PDF
    142 p.Hasta aproximadamente el siglo dieciocho los cient√≠ficos eran expertos tanto en los aspectosmatem√°ticos como en los aspectos f√≠sicos de su investigaci√≥n y de sus descubrimientos.Cabe sostener que muy probablemente estos no distingu√≠an mucho entre la f√≠sicate√≥rica y la f√≠sica experimental, por ejemplo, puesto que a menudo eran al mismo tiempomatem√°ticos, astr√≥nomos, ge√≥metras, ingenieros, f√≠sicos e incluso, a veces, fil√≥sofos. Apartir del siglo diecinueve las fronteras que habr√°n de delimitar estos campos comienzana ser m√°s definidas y desde el siglo veinte matem√°ticos y f√≠sicos, por lo general, hantrabajado en dos √°reas de investigaci√≥n separadas en la ciencia.Hoy en d√≠a, debido a la r√°pida especializaci√≥n de los campos cient√≠ficos y al nacimientode nuevas disciplinas, la distancia entre las matem√°ticas y la f√≠sica se ha hecho a√ļn m√°sgrande. En particular, el uso de diferentes lenguajes ha empezado a impedir que los cient√≠ficosse comuniquen entre ellos y compartan sus resultados. Aun as√≠, la historia de laciencia nos ha mostrado c√≥mo el intercambio de conocimiento entre estos dos campos, lasmatem√°ticas y la f√≠sica, ha sido clave en el pasado para superar obst√°culos, para producircambios de paradigma, para abrir nuevas perspectivas y para impulsar una revoluci√≥ncient√≠fica.Dos ejemplos destacables de este proceso en estas dos ramas cient√≠ficas han sido losdesarrollos producidos por la teor√≠a de la mec√°nica cu√°ntica y por la teor√≠a de la relatividadgeneral. Los avances requeridos por la mec√°nica cu√°ntica en el an√°lisis funcional y lano conmutatividad de los operadores que representan los observables cu√°nticos, han conducidoa un campo completamente nuevo, y ahora independiente dentro de las matem√°ticasllamado geometr√≠a no conmutativa. Por lo que concierne a la relatividad general, laequivalencia de la curvatura con el campo gravitacional, que representa uno de los fundamentosde la teor√≠a, es una manifestaci√≥n evidente de la conexi√≥n profunda entre lageometr√≠a diferencial y la f√≠sica gravitacional. En ambos casos, las matem√°ticas proveena los f√≠sicos de bases s√≥lidas y marcos para construir una nueva teor√≠a f√≠sica, mientras quela f√≠sica motiva e indica a los matem√°ticos el camino hacia √°reas inexploradas y problemasirresolutos.Geometr√≠a y f√≠sica gravitacionalEl marco matem√°tico de la teor√≠a de la relatividad general y de la mayor√≠a de las teor√≠asgravitacionales est√° dado por la geometr√≠a Lorentziana. Un espacio-tiempo est√° modeladopor una variedad LorentzianaMy las leyes f√≠sicas que describen el Universo a grandesescalas son expresiones tensoriales que dependen del tensor de Riemann de M. Todoslos objetos y los conceptos relevantes en gravitaci√≥n poseen un equivalente geom√©trico.Por ejemplo, las geod√©sicas temporales y luminosas representan las trayectorias de laspart√≠culas materiales y de los fotones, respectivamente; y la incompletitud geod√©sica temporalo luminosa de M implica bajo ciertas condiciones la presencia de singularidadesen el espacio-tiempo. En una singularidad del espacio-tiempo las cantidades de curvaturaviiviiipueden divergir y los agujeros negros, predichos por la teor√≠a, esconden estas singularidadescl√°sicas dentro de sus horizontes.Las matem√°ticas que se necesitan en f√≠sica gravitacional incluyen, por ejemplo, ecuacionesen derivadas parciales para analizar las ecuaciones de campo de Einstein, el an√°lisisgeom√©trico para estudiar las ecuaciones de ligadura y para resolver problemas de estabilidady el an√°lisis num√©rico para aproximar aquellas soluciones que no se pueden obteneranal√≠ticamente. Dentro de la geometr√≠a diferencial, la teor√≠a de subvariedades provee lasherramientas adecuadas para abordar algunos problemas importantes que involucran tantolas singularidades del espacio-tiempo como el colapso gravitacional.Teoremas de singularidades Los teoremas de singularidades demostrados en los a√Īossesenta por Roger Penrose y Stephen Hawking [66, 34, 85] afirman que la formaci√≥nde singularidades es inevitable, si se asumen condiciones razonables sobre la curvaturadel espacio-tiempo, sobre la geometr√≠a extr√≠nseca de ciertas subvariedades y sobre la estructuracausal de la variedad Lorentziana. En particular, la existencia de subvariedadesatrapadas en el espacio-tiempo es un requisito clave en la formulaci√≥n original de los teoremasde singularidades, as√≠ como en sus m√°s recientes generalizaciones [29]. Matem√°ticamente,una subvariedad atrapada es una subvariedad espacial cuyo campo de curvaturamedia es temporal en todas partes.Colapso gravitacional El an√°lisis del colapso gravitacional est√° basado, desde un puntode vista geom√©trico, en el estudio de los horizontes de los agujeros negros [2]. El horizontede un agujero negro est√° modelado por una subvariedad de dimensi√≥n tres cuyas seccionesson superficies de dimensi√≥n dos cerradas y marginalmente atrapadas. Matem√°ticamente,una superficie marginalmente atrapada es una superficie espacial cuyo campo decurvatura media es luminoso y futuro en todas partes (hay tambi√©n una versi√≥n dual parael pasado). Cada una de estas superficies marginalmente atrapadas representa el ¬Ņborde¬Ņde la regi√≥n que contiene el agujero negro en un instante de tiempo dado. Su evoluci√≥na lo largo del tiempo determina el car√°cter causal del horizonte y, por consiguiente, ladin√°mica del agujero negro correspondiente.Como ha sido impl√≠citamente mencionado, la formulaci√≥n de los teoremas de singularidadesy la descripci√≥n geom√©trica de un colapso gravitacional no ser√≠a posible sin elempleo de las subvariedades espaciales y del estudio de sus propiedades extr√≠nsecas.Subvariedades espacialesSean S una subvariedad espacial y ¬Ņ un campo vectorial normal a S, entonces es posibledescribir la evoluci√≥n inicial de S a lo largo de la direcci√≥n extendida por ¬Ņ por el medio dedos cantidades llamadas expansi√≥n y ciza√Īa (¬Ņshear¬Ņ) de S a lo largo de ¬Ņ. La expansi√≥nda informaci√≥n sobre el cambio de volumen de S (de √°rea si S es una superficie) mientrasque la ciza√Īa da informaci√≥n sobre el cambio de ¬Ņforma¬Ņ de S manteniendo el volumenfijado. Si la expansi√≥n se anula, entonces el volumen de S a lo largo de esa direcci√≥nResumen ixparticular no cambia inicialmente. En este caso se dice que S es expansion-free. Sila ciza√Īa se anula entonces la forma de S no cambia inicialmente y la subvariedad esllamada shear-free.El concepto de ser expansion-free a lo largo de una direcci√≥n normal est√° estrictamenterelacionado con la propiedad de una subvariedad de ser marginalmente atrapada.De hecho, la primera definici√≥n de superficie atrapada fue dada en t√©rminos de las expansionesluminosas. Encontrar subvariedades expansion-free en la literatura de f√≠sicaes muy com√ļn y, en particular, en relaci√≥n a los horizontes de agujeros negros. Por otraparte, el concepto de ser shear-free es tambi√©n com√ļn en la literatura de f√≠sica pero hatenido mucha m√°s atenci√≥n entre los matem√°ticos. Sin embargo, la terminolog√≠a usada esdiferente: en la literatura de matem√°ticas las variedades shear-free son llamadas umbilicales.Subvariedades umbilicales y horizontes de agujeros negros Las subvariedades umbilicalesno son usadas expl√≠citamente en el an√°lisis de las singularidades de espacio-tiemposy del colapso gravitacional. Aun as√≠, aparecen a menudo cuando se considera el conceptocl√°sico de horizonte de sucesos [60, 99] y tambi√©n cuando se consideran horizontes deKilling y horizontes sin-expansi√≥n [2]. Los horizontes m√°s comunes y m√°s estudiados enla literatura, que son los horizontes de sucesos en el espacio-tiempo de Schwarzschild yen el espacio-tiempo de Kerr, tienen la siguiente propiedad: las superficies marginalmenteatrapadas que folian la hypersuperficie de dimensi√≥n tres que representa el horizonte sonumbilicales. En particular, son umbilicales a lo largo de una direcci√≥n luminosa. Lapregunta natural de si este tipo de foliaci√≥n puede caracterizar horizontes m√°s generalesde agujeros negros no-estacionarios ha motivado la investigaci√≥n llevada a cabo en [85]primero, y en esta tesis, luego.En [85] el autor caracteriza superficies espaciales umbilicales en espacio-tiempos dedimensi√≥n cuatro en t√©rminos de las propiedades de conmutaci√≥n de los operadores deWeingarten. Los resultados que presenta son espec√≠ficos para el caso de codimensi√≥ndos. El trabajo de esta tesis empieza con buscar una versi√≥n generalizada a la condici√≥nde umbilicidad presentada en [85]: se deja que la dimensi√≥n y la codimensi√≥n de la subvariedady la dimensi√≥n y la signatura de la variedad ambiente sean arbitrarias. En unasegunda fase, la condici√≥n de umbilicidad se aplica a espacio-tiempos que tienen inter√©sdesde un punto de vista f√≠sico. El objetivo es, primero, encontrar ejemplos expl√≠citos defamilias de superficies espaciales umbilicales y, luego, probar la idea de foliar los horizontesde agujeros negros por el medio de superficies espaciales que son al mismo tiempomarginalmente atrapadas y umbilicales.Resumen de los resultadosEn esta tesis se han estudiado las propiedades umbilicales de las subvariedades espaciales.Se han presentado algunas caracterizaciones que han sido aplicadas, en particular, a las√≥rbitas de grupos de movimientos conformes. Se ha dado una condici√≥n suficiente para laexistencia de puntos focales a lo largo de geod√©sicas temporales y luminosas en espaciosxLorentzianos productos de tipo warped. Esta ha sido usada para derivar algunos teoremasde singularidades. Los resultados han sido aplicados a varios espacio-tiempos que tienenrelevancia en la f√≠sica gravitacional.A continuaci√≥n un resumen de los resultados principales de la tesis, divididos porcap√≠tulos.Caracterizaciones de subvariedades espaciales umbilicales En el cap√≠tulo 3 se da unteorema de caracterizaci√≥n para subvariedades espaciales umbilicales de dimensi√≥n arbitrarian y codimensi√≥n k inmersas en una variedad semi-Riemanniana. Que la codimensi√≥nsea arbitraria implica que la subvariedad puede ser umbilical con respecto a unsubconjunto de las direcciones normales. Esto lleva a la definici√≥n de espacio umbilicaly al estudio de su dimensi√≥n.La parte sin traza de la segunda forma fundamental, llamada total shear tensor enesta tesis, juega un papel central en los teoremas de caracterizaci√≥n. Nos permite definirobjetos ¬Ņshear¬Ņ (operadores shear, tensores shear y escalares shear) que determinan laspropiedades umbilicales de la subvariedad espacial con respecto a un campo vectorial normaldado. En caso de que haya k¬Ņ1 direcciones umbilicales linealmente independientes,el total shear tensor determina un campo vectorial normal, llamado G, que es ortogonal alespacio umbilical. Cuando la codimensi√≥n es k = 2 es posible comparar G con el campode curvatura media y encontrar algunas analog√≠as.El teorema de caracterizaci√≥n es un instrumento muy √ļtil para determinar si una subvariedadespacial dada tiene un espacio umbilical no trivial. Si la dimensi√≥n y la codimensi√≥nde la subvariedad son ambas dos, por ejemplo, es suficiente calcular el conmutadorde dos operadores cualesquiera de Weingarten: si se anula, entonces el espacio umbilicaltiene dimensi√≥n uno por lo menos.Aplicaci√≥n del teorema de caracterizaci√≥n a las √≥rbitas de un grupo de movimientosconformes Dado un grupo de movimientos conformes G que act√ļa sobre una variedadsemi-Riemanniana y dada una √≥rbita S, es posible aplicar los resultados de caracterizaci√≥ndel cap√≠tulo 3 para encontrar condiciones necesarias y suficientes sobre S para que tengaun espacio umbilical no trivial.Si el subgrupo de isotrop√≠a de G es trivial, entonces la condici√≥n umbilical dependede los productos escalares fij := ¬Įg(Vi, Vj), donde {V1, . . . ,Vn} es un (sub)conjunto decampos vectoriales de Killing conformes generadores de G. Si el subgrupo de isotrop√≠ade G es no trivial, sostenemos que, bajo hip√≥tesis espec√≠ficas, es posible demostrar quela condici√≥n umbilical se satisface autom√°ticamente de manera que el espacio umbilicales no trivial. Las hip√≥tesis depender√°n de la codimensi√≥n k de S, de la dimensi√≥n D delsubgrupo de isotrop√≠a y de los rangos R(a) de las matrices A(a) que est√°n definidas ent√©rminos de las constantes de estructura de G (expresi√≥n (4.22)).Teoremas de singularidades en espacios Lorentzianos producto de tipo warped Enel cap√≠tulo 5 se considera un producto warped Lorentziano M = M ¬Ņf Y y se analizaResumen xiuna clase particular de subvariedades espaciales S. Se presenta una condici√≥n suficienteque permite demostrar, por un lado, la existencia de puntos focales a lo largo de geod√©sicasnormales a S temporales o luminosas y, por otro lado, la incompletitud geod√©sicaluminosa deMbajo condiciones adicionales.Asumiendo que se puede dividir la inmersi√≥n como S !¬Ņ!M, donde ¬Ņ es M ¬Ņ{q} o {q}¬ŅY, la condici√≥n de Galloway-Senovilla [29] se puede expresar en t√©rminosde la funci√≥n warped f y del tensor de Riemann de M o Y solamente. Esto significaque, por ejemplo, para demostrar los teoremas de singularidades es posible restringirse alestudio √ļnicamente de una de las dos variedades que definen el producto warped, en vezde considerar el producto warped mismo.La condici√≥n encontrada se ha aplicado a situaciones espec√≠ficas, como curvatura seccionalpositiva y constante, espacios de Einstein o Ricci-flat y unos subcasos en t√©rminosde la codimensi√≥n de S. Se ha hecho lo mismo en productos directos (f = 1).Ejemplos expl√≠citos de subvariedades umbilicales en la f√≠sica gravitacional En laprimera parte del cap√≠tulo 6 los resultados de caracterizaci√≥n presentados en el cap√≠tulo 3han sido aplicados al espacio-tiempo de Kerr, al de Robinson-Trautman y al de Szekeres.Para cada una de estas variedades Lorentzianas de dimensi√≥n cuatro, ha sido seleccionadauna familia de superficies espaciales y, usando la condici√≥n de umbilicidad para el cason = 2 y k = 2, han sido determinadas aquellas superficies de la familia que poseen unespacio umbilical no trivial. Adem√°s, han sido determinadas las que son marginalmenteatrapadas. En la segunda parte del cap√≠tulo 6, los resultados del cap√≠tulo 4 han sidoaplicados a espacio-tiempos que admiten un grupo de movimientos de dimensi√≥n dos otres, y tambi√©n a los que admiten un grupo de movimientos de dimensi√≥n cuatro queact√ļa sobre √≥rbitas de dimensi√≥n tres. En los primeros han sido determinados los tubosmarginalmente atrapados; en los segundos ha sido estudiada la presencia de un subgrupode isotrop√≠a no trivial, para mostrar la dependencia entre las funciones fij .KuLeuve

    Feminist epistemology: standpoint theory. What can feminist standpoint theory say about the physical sciences?

    Get PDF
    In this work I provide a detailed description of Sandra Harding‚Äôs feminist standpoint theory, which represents one of the three traditional approaches to feminist epistemology. I start by presenting the two main theses of the theory: the situated knowledge thesis and the thesis of epistemic privilege. In order to do that I extensively talk about the concept of partial perspectives and the concept of social location. Then, after the two main theses, I present Harding‚Äôs strong objectivity proposal and, related to it, the interrelation between, on one hand, the scientific and epistemological norm of objectivity and, on the other hand, the social and political norm of diversity. In the discussion section I try to introduce some arguments regarding the importance of considering the concepts presented previously, in the context of very abstract disciplines such as the physical sciences. To that end, I consider two dimensions of the problem: firstly, the culture and social organization of science; secondly, the knowledge-producing practices of science. Both dimensions contribute to the way scientific knowledge is produced and thus to scientific knowledge itself. It is in this sense that I assert that the social location of knowers can affect the content of science.En este trabajo se proporciona una descripci√≥n detallada de la teor√≠a del punto de vista de Sandra Harding, la cual representa uno de los tres enfoques tradicionales de la epistemolog√≠a feminista. Empezar√© introduciendo las perspectivas parciales y el concepto de la ‚Äúsocial location‚ÄĚ, que me servir√°n para presentan las dos tesis principales de la teor√≠a: la tesis del conocimiento situado y la tesis del privilegio epist√©mico. Luego presentar√© el programa para una objetividad fuerte de Harding, y la interrelaci√≥n entre objetividad ‚ÄĒnorma cient√≠fica y epistemol√≥gica‚ÄĒ y diversidad ‚ÄĒnorma social y pol√≠tica‚ÄĒ. En la discusi√≥n se introducir√°n argumentos a favor de la importancia de considerar los conceptos presentados anteriormente dentro del contexto de las disciplinas abstractas como la f√≠sica. Con ese fin, se considerar√°n dos dimensiones del problema: por un lado, la organizaci√≥n cultural y social de la ciencia y, por otro lado, las pr√°cticas de producci√≥n de conocimiento.Departamento de Filosof√≠a (Filosof√≠a, L√≥gica y Filosof√≠a de la Ciencia, Teor√≠a e Historia de la Educaci√≥n, Filosof√≠a Moral, Est√©tica y Teor√≠a de las Artes)M√°ster en L√≥gica y Filosof√≠a de la Cienci

    Spacelike submanifolds, their umbilical properties and applications to gravitational physics.

    No full text
    142 p.Hasta aproximadamente el siglo dieciocho los cient√≠ficos eran expertos tanto en los aspectosmatem√°ticos como en los aspectos f√≠sicos de su investigaci√≥n y de sus descubrimientos.Cabe sostener que muy probablemente estos no distingu√≠an mucho entre la f√≠sicate√≥rica y la f√≠sica experimental, por ejemplo, puesto que a menudo eran al mismo tiempomatem√°ticos, astr√≥nomos, ge√≥metras, ingenieros, f√≠sicos e incluso, a veces, fil√≥sofos. Apartir del siglo diecinueve las fronteras que habr√°n de delimitar estos campos comienzana ser m√°s definidas y desde el siglo veinte matem√°ticos y f√≠sicos, por lo general, hantrabajado en dos √°reas de investigaci√≥n separadas en la ciencia.Hoy en d√≠a, debido a la r√°pida especializaci√≥n de los campos cient√≠ficos y al nacimientode nuevas disciplinas, la distancia entre las matem√°ticas y la f√≠sica se ha hecho a√ļn m√°sgrande. En particular, el uso de diferentes lenguajes ha empezado a impedir que los cient√≠ficosse comuniquen entre ellos y compartan sus resultados. Aun as√≠, la historia de laciencia nos ha mostrado c√≥mo el intercambio de conocimiento entre estos dos campos, lasmatem√°ticas y la f√≠sica, ha sido clave en el pasado para superar obst√°culos, para producircambios de paradigma, para abrir nuevas perspectivas y para impulsar una revoluci√≥ncient√≠fica.Dos ejemplos destacables de este proceso en estas dos ramas cient√≠ficas han sido losdesarrollos producidos por la teor√≠a de la mec√°nica cu√°ntica y por la teor√≠a de la relatividadgeneral. Los avances requeridos por la mec√°nica cu√°ntica en el an√°lisis funcional y lano conmutatividad de los operadores que representan los observables cu√°nticos, han conducidoa un campo completamente nuevo, y ahora independiente dentro de las matem√°ticasllamado geometr√≠a no conmutativa. Por lo que concierne a la relatividad general, laequivalencia de la curvatura con el campo gravitacional, que representa uno de los fundamentosde la teor√≠a, es una manifestaci√≥n evidente de la conexi√≥n profunda entre lageometr√≠a diferencial y la f√≠sica gravitacional. En ambos casos, las matem√°ticas proveena los f√≠sicos de bases s√≥lidas y marcos para construir una nueva teor√≠a f√≠sica, mientras quela f√≠sica motiva e indica a los matem√°ticos el camino hacia √°reas inexploradas y problemasirresolutos.Geometr√≠a y f√≠sica gravitacionalEl marco matem√°tico de la teor√≠a de la relatividad general y de la mayor√≠a de las teor√≠asgravitacionales est√° dado por la geometr√≠a Lorentziana. Un espacio-tiempo est√° modeladopor una variedad LorentzianaMy las leyes f√≠sicas que describen el Universo a grandesescalas son expresiones tensoriales que dependen del tensor de Riemann de M. Todoslos objetos y los conceptos relevantes en gravitaci√≥n poseen un equivalente geom√©trico.Por ejemplo, las geod√©sicas temporales y luminosas representan las trayectorias de laspart√≠culas materiales y de los fotones, respectivamente; y la incompletitud geod√©sica temporalo luminosa de M implica bajo ciertas condiciones la presencia de singularidadesen el espacio-tiempo. En una singularidad del espacio-tiempo las cantidades de curvaturaviiviiipueden divergir y los agujeros negros, predichos por la teor√≠a, esconden estas singularidadescl√°sicas dentro de sus horizontes.Las matem√°ticas que se necesitan en f√≠sica gravitacional incluyen, por ejemplo, ecuacionesen derivadas parciales para analizar las ecuaciones de campo de Einstein, el an√°lisisgeom√©trico para estudiar las ecuaciones de ligadura y para resolver problemas de estabilidady el an√°lisis num√©rico para aproximar aquellas soluciones que no se pueden obteneranal√≠ticamente. Dentro de la geometr√≠a diferencial, la teor√≠a de subvariedades provee lasherramientas adecuadas para abordar algunos problemas importantes que involucran tantolas singularidades del espacio-tiempo como el colapso gravitacional.Teoremas de singularidades Los teoremas de singularidades demostrados en los a√Īossesenta por Roger Penrose y Stephen Hawking [66, 34, 85] afirman que la formaci√≥nde singularidades es inevitable, si se asumen condiciones razonables sobre la curvaturadel espacio-tiempo, sobre la geometr√≠a extr√≠nseca de ciertas subvariedades y sobre la estructuracausal de la variedad Lorentziana. En particular, la existencia de subvariedadesatrapadas en el espacio-tiempo es un requisito clave en la formulaci√≥n original de los teoremasde singularidades, as√≠ como en sus m√°s recientes generalizaciones [29]. Matem√°ticamente,una subvariedad atrapada es una subvariedad espacial cuyo campo de curvaturamedia es temporal en todas partes.Colapso gravitacional El an√°lisis del colapso gravitacional est√° basado, desde un puntode vista geom√©trico, en el estudio de los horizontes de los agujeros negros [2]. El horizontede un agujero negro est√° modelado por una subvariedad de dimensi√≥n tres cuyas seccionesson superficies de dimensi√≥n dos cerradas y marginalmente atrapadas. Matem√°ticamente,una superficie marginalmente atrapada es una superficie espacial cuyo campo decurvatura media es luminoso y futuro en todas partes (hay tambi√©n una versi√≥n dual parael pasado). Cada una de estas superficies marginalmente atrapadas representa el ¬Ņborde¬Ņde la regi√≥n que contiene el agujero negro en un instante de tiempo dado. Su evoluci√≥na lo largo del tiempo determina el car√°cter causal del horizonte y, por consiguiente, ladin√°mica del agujero negro correspondiente.Como ha sido impl√≠citamente mencionado, la formulaci√≥n de los teoremas de singularidadesy la descripci√≥n geom√©trica de un colapso gravitacional no ser√≠a posible sin elempleo de las subvariedades espaciales y del estudio de sus propiedades extr√≠nsecas.Subvariedades espacialesSean S una subvariedad espacial y ¬Ņ un campo vectorial normal a S, entonces es posibledescribir la evoluci√≥n inicial de S a lo largo de la direcci√≥n extendida por ¬Ņ por el medio dedos cantidades llamadas expansi√≥n y ciza√Īa (¬Ņshear¬Ņ) de S a lo largo de ¬Ņ. La expansi√≥nda informaci√≥n sobre el cambio de volumen de S (de √°rea si S es una superficie) mientrasque la ciza√Īa da informaci√≥n sobre el cambio de ¬Ņforma¬Ņ de S manteniendo el volumenfijado. Si la expansi√≥n se anula, entonces el volumen de S a lo largo de esa direcci√≥nResumen ixparticular no cambia inicialmente. En este caso se dice que S es expansion-free. Sila ciza√Īa se anula entonces la forma de S no cambia inicialmente y la subvariedad esllamada shear-free.El concepto de ser expansion-free a lo largo de una direcci√≥n normal est√° estrictamenterelacionado con la propiedad de una subvariedad de ser marginalmente atrapada.De hecho, la primera definici√≥n de superficie atrapada fue dada en t√©rminos de las expansionesluminosas. Encontrar subvariedades expansion-free en la literatura de f√≠sicaes muy com√ļn y, en particular, en relaci√≥n a los horizontes de agujeros negros. Por otraparte, el concepto de ser shear-free es tambi√©n com√ļn en la literatura de f√≠sica pero hatenido mucha m√°s atenci√≥n entre los matem√°ticos. Sin embargo, la terminolog√≠a usada esdiferente: en la literatura de matem√°ticas las variedades shear-free son llamadas umbilicales.Subvariedades umbilicales y horizontes de agujeros negros Las subvariedades umbilicalesno son usadas expl√≠citamente en el an√°lisis de las singularidades de espacio-tiemposy del colapso gravitacional. Aun as√≠, aparecen a menudo cuando se considera el conceptocl√°sico de horizonte de sucesos [60, 99] y tambi√©n cuando se consideran horizontes deKilling y horizontes sin-expansi√≥n [2]. Los horizontes m√°s comunes y m√°s estudiados enla literatura, que son los horizontes de sucesos en el espacio-tiempo de Schwarzschild yen el espacio-tiempo de Kerr, tienen la siguiente propiedad: las superficies marginalmenteatrapadas que folian la hypersuperficie de dimensi√≥n tres que representa el horizonte sonumbilicales. En particular, son umbilicales a lo largo de una direcci√≥n luminosa. Lapregunta natural de si este tipo de foliaci√≥n puede caracterizar horizontes m√°s generalesde agujeros negros no-estacionarios ha motivado la investigaci√≥n llevada a cabo en [85]primero, y en esta tesis, luego.En [85] el autor caracteriza superficies espaciales umbilicales en espacio-tiempos dedimensi√≥n cuatro en t√©rminos de las propiedades de conmutaci√≥n de los operadores deWeingarten. Los resultados que presenta son espec√≠ficos para el caso de codimensi√≥ndos. El trabajo de esta tesis empieza con buscar una versi√≥n generalizada a la condici√≥nde umbilicidad presentada en [85]: se deja que la dimensi√≥n y la codimensi√≥n de la subvariedady la dimensi√≥n y la signatura de la variedad ambiente sean arbitrarias. En unasegunda fase, la condici√≥n de umbilicidad se aplica a espacio-tiempos que tienen inter√©sdesde un punto de vista f√≠sico. El objetivo es, primero, encontrar ejemplos expl√≠citos defamilias de superficies espaciales umbilicales y, luego, probar la idea de foliar los horizontesde agujeros negros por el medio de superficies espaciales que son al mismo tiempomarginalmente atrapadas y umbilicales.Resumen de los resultadosEn esta tesis se han estudiado las propiedades umbilicales de las subvariedades espaciales.Se han presentado algunas caracterizaciones que han sido aplicadas, en particular, a las√≥rbitas de grupos de movimientos conformes. Se ha dado una condici√≥n suficiente para laexistencia de puntos focales a lo largo de geod√©sicas temporales y luminosas en espaciosxLorentzianos productos de tipo warped. Esta ha sido usada para derivar algunos teoremasde singularidades. Los resultados han sido aplicados a varios espacio-tiempos que tienenrelevancia en la f√≠sica gravitacional.A continuaci√≥n un resumen de los resultados principales de la tesis, divididos porcap√≠tulos.Caracterizaciones de subvariedades espaciales umbilicales En el cap√≠tulo 3 se da unteorema de caracterizaci√≥n para subvariedades espaciales umbilicales de dimensi√≥n arbitrarian y codimensi√≥n k inmersas en una variedad semi-Riemanniana. Que la codimensi√≥nsea arbitraria implica que la subvariedad puede ser umbilical con respecto a unsubconjunto de las direcciones normales. Esto lleva a la definici√≥n de espacio umbilicaly al estudio de su dimensi√≥n.La parte sin traza de la segunda forma fundamental, llamada total shear tensor enesta tesis, juega un papel central en los teoremas de caracterizaci√≥n. Nos permite definirobjetos ¬Ņshear¬Ņ (operadores shear, tensores shear y escalares shear) que determinan laspropiedades umbilicales de la subvariedad espacial con respecto a un campo vectorial normaldado. En caso de que haya k¬Ņ1 direcciones umbilicales linealmente independientes,el total shear tensor determina un campo vectorial normal, llamado G, que es ortogonal alespacio umbilical. Cuando la codimensi√≥n es k = 2 es posible comparar G con el campode curvatura media y encontrar algunas analog√≠as.El teorema de caracterizaci√≥n es un instrumento muy √ļtil para determinar si una subvariedadespacial dada tiene un espacio umbilical no trivial. Si la dimensi√≥n y la codimensi√≥nde la subvariedad son ambas dos, por ejemplo, es suficiente calcular el conmutadorde dos operadores cualesquiera de Weingarten: si se anula, entonces el espacio umbilicaltiene dimensi√≥n uno por lo menos.Aplicaci√≥n del teorema de caracterizaci√≥n a las √≥rbitas de un grupo de movimientosconformes Dado un grupo de movimientos conformes G que act√ļa sobre una variedadsemi-Riemanniana y dada una √≥rbita S, es posible aplicar los resultados de caracterizaci√≥ndel cap√≠tulo 3 para encontrar condiciones necesarias y suficientes sobre S para que tengaun espacio umbilical no trivial.Si el subgrupo de isotrop√≠a de G es trivial, entonces la condici√≥n umbilical dependede los productos escalares fij := ¬Įg(Vi, Vj), donde {V1, . . . ,Vn} es un (sub)conjunto decampos vectoriales de Killing conformes generadores de G. Si el subgrupo de isotrop√≠ade G es no trivial, sostenemos que, bajo hip√≥tesis espec√≠ficas, es posible demostrar quela condici√≥n umbilical se satisface autom√°ticamente de manera que el espacio umbilicales no trivial. Las hip√≥tesis depender√°n de la codimensi√≥n k de S, de la dimensi√≥n D delsubgrupo de isotrop√≠a y de los rangos R(a) de las matrices A(a) que est√°n definidas ent√©rminos de las constantes de estructura de G (expresi√≥n (4.22)).Teoremas de singularidades en espacios Lorentzianos producto de tipo warped Enel cap√≠tulo 5 se considera un producto warped Lorentziano M = M ¬Ņf Y y se analizaResumen xiuna clase particular de subvariedades espaciales S. Se presenta una condici√≥n suficienteque permite demostrar, por un lado, la existencia de puntos focales a lo largo de geod√©sicasnormales a S temporales o luminosas y, por otro lado, la incompletitud geod√©sicaluminosa deMbajo condiciones adicionales.Asumiendo que se puede dividir la inmersi√≥n como S !¬Ņ!M, donde ¬Ņ es M ¬Ņ{q} o {q}¬ŅY, la condici√≥n de Galloway-Senovilla [29] se puede expresar en t√©rminosde la funci√≥n warped f y del tensor de Riemann de M o Y solamente. Esto significaque, por ejemplo, para demostrar los teoremas de singularidades es posible restringirse alestudio √ļnicamente de una de las dos variedades que definen el producto warped, en vezde considerar el producto warped mismo.La condici√≥n encontrada se ha aplicado a situaciones espec√≠ficas, como curvatura seccionalpositiva y constante, espacios de Einstein o Ricci-flat y unos subcasos en t√©rminosde la codimensi√≥n de S. Se ha hecho lo mismo en productos directos (f = 1).Ejemplos expl√≠citos de subvariedades umbilicales en la f√≠sica gravitacional En laprimera parte del cap√≠tulo 6 los resultados de caracterizaci√≥n presentados en el cap√≠tulo 3han sido aplicados al espacio-tiempo de Kerr, al de Robinson-Trautman y al de Szekeres.Para cada una de estas variedades Lorentzianas de dimensi√≥n cuatro, ha sido seleccionadauna familia de superficies espaciales y, usando la condici√≥n de umbilicidad para el cason = 2 y k = 2, han sido determinadas aquellas superficies de la familia que poseen unespacio umbilical no trivial. Adem√°s, han sido determinadas las que son marginalmenteatrapadas. En la segunda parte del cap√≠tulo 6, los resultados del cap√≠tulo 4 han sidoaplicados a espacio-tiempos que admiten un grupo de movimientos de dimensi√≥n dos otres, y tambi√©n a los que admiten un grupo de movimientos de dimensi√≥n cuatro queact√ļa sobre √≥rbitas de dimensi√≥n tres. En los primeros han sido determinados los tubosmarginalmente atrapados; en los segundos ha sido estudiada la presencia de un subgrupode isotrop√≠a no trivial, para mostrar la dependencia entre las funciones fij .KuLeuve

    Spacelike submanifolds, their umbilical properties and applications to gravitational physics

    No full text
    We give a characterization theorem for umbilical spacelike submanifolds of arbitrary dimension and co-dimension immersed in a semi-Riemannian manifold. Letting the co-dimension arbitrary implies that the submanifold may be umbilical with respect to some subset of normal directions. This leads to the definition of umbilical space and to the study of its dimension. The trace-free part of the second fundamental form, called total shear tensor in this thesis, plays a central role in the characterization theorems. It allows us to define shear objects (shear operators, shear tensors and shear scalars) that determine the umbilical properties of the spacelike submanifold with respect to a given normal vector field. Given a group of conformal motions G acting on a semi-Riemannian manifold and an orbit S, we apply the characterization results in order to find necessary and sufficient conditions for S to have a non-empty umbilical space. We prove that if the isotropy subgroup of G is trivial, then the umbilical condition depends on the scalar products of a set of generating conformal Killing vector fields. If the isotropy subgroup of G is non-trivial, we argue that, under specific assumptions, it is possible to prove that the umbilical condition is automatically satisfied so that the umbilical space is non-trivial. The assumptions would depend on the co-dimension of S, the dimension of the isotropy subgroup and the ranks of specific matrices defined in terms of the structure constants of G. In the last part of the thesis we consider Lorentzian warped products M = M √óf Y and we analyse a particular class of spacelike submanifolds S. We find a sufficient condition that allows us to prove, on one hand, the existence of focal points along timelike or null geodesics normal to S and, on the other hand, the null geodesic incompleteness of M under additional reasonable conditions. By assuming that we can split the immersion as S ‚Üí ő£ ‚Üí M, where ő£ is either M √ó {q} or {q} √ó Y, we find that the Galloway-Senovilla condition can be written in terms of the warping function f and the Riemann tensor of either only M or Y. This means that, for instance, in order to prove singularity theorems one can restrict the study to just one of the two manifolds defining the warped product rather than considering the warped product manifold itself. We translate the condition found to some specific situations, such as positive and constant sectional curvature, Einstein and Ricci-flat spaces and to a few subcases in terms of the co-dimension of S. The same has been done in direct products (f = 1).status: publishe

    Umbilical properties of spacelike co-dimension two submanifolds

    No full text
    ¬© 2017, Springer International Publishing. For Riemannian submanifolds of a semi-Riemannian manifold, we introduce the concepts of total shear tensor and shear operators as the trace-free part of the corresponding second fundamental form and shape operators. The relationship between these quantities and the umbilical properties of the submanifold is shown. Several novel notions of umbilical submanifolds are then considered along with the classical concepts of totally umbilical and pseudo-umbilical submanifolds. Then we focus on the case of co-dimension 2, and we present necessary and sufficient conditions for the submanifold to be umbilical with respect to a normal direction. Moreover, we prove that the umbilical direction, if it exists, is unique ‚ÄĒunless the submanifold is totally umbilical‚ÄĒ and we give a formula to compute it explicitly. When the ambient manifold is Lorentzian we also provide a way of determining its causal character. We end the paper by illustrating our results on the Lorentzian geometry of the Kerr black hole.16 pagesstatus: publishe
    corecore