Nov pogled na teorem tri simetrije

It is well-known that, in a Euclidean plane, the product of three reflections is again a reflection, if their axes pass through a common point. For this \u27\u27Three reflections Theorem" (3RT) also non-Euclidean versions exist, see e.g. [4]. This article presents affine versions of it, considering a triplet of skew reflections with axes through a common point. It turns out that the essence of all those cases of 3RT is that the three pairs (axis, reflection direction) of the given (skew) reflections can be observed as an involutoric projectivity. For the Euclidean case and its non-Euclidean counterparts this property is automatically fullled. From the projective geometry point of view a (skew) reflection is nothing but a harmonic homology. In the affine situation a reflection is an indirect involutoric transformation, while \u27\u27direct" or \u27\u27indirect" makes no sense in projective planes. A harmonic homology allows an interpretation both, as an axial reflection and as a point reflection. Nevertheless, one might study products of three harmonic homologies, which result in a harmonic homology again. Some special mutual positions of axes and centres of the given homologies lead to elations or even to the identity, too. A consequence of the presented results are further generalisations of the 3RT, e.g. in planes with Minkowski metric, affine or projective 3-space, or in circle geometries.U euklidskoj ravnini poznato je da je produkt tri simetrije ponovo simetrija ako i samo ako se njihove osi sijeku u jednoj zajedničkoj točki. Također poznat je i neeuklidski analogon \u27\u27teorema tri simetrije" (3RT), vidi npr. [4]. U ovom članku predstavljene su afine verzije tog teorema tako da se proučavaju tri mimosmjerne simetrije kojima se osi sijeku u jednoj točki. Pokazat će se da je važno, u svim verzijama 3RT-a, da se tri para (os, smjer simetrije) danih (mimosmjernih) simetrija mogu proučavati kao involutivni projektivitet. Za euklidski i neeuklidski slučaj ovo svojstvo je automatski ispunjeno. Sa stajališta projektivne geometrije (mimosmjerna) simetrija je harmonička homologija. U afinoj geometriji simetrija je indirektna involutivna transformacija, dok u projektivnoj geometriji nema smisla govoriti o \u27\u27direktnoj" i \u27\u27indirektnoj" transformaciji. Harmonička homologija dopušta interpretaciju i kao osnu simetriju i kao centralnu simetriju. Ipak, može se proučavati produkt triju harmoničkih homologija koji je ponovno harmonička homologija. Nekim posebnim međusobnim položajima centara i osi danih homologija može se dobiti elacija ili čak identitet. Posljedica danih rezultata su daljnje generalizacije 3RT-a, npr. u ravninama s Minkowski metrikom, afinim ili projektivnim 3-dimenzionalnim prostorima ili u geometrijama kružnice

Elementarne konstrukcije konika u hiperboličnoj i eliptičnoj ravnini

In the Euclidean plane there are well-known constructions of points and tangents of e.g. an ellipse c based on the given axes of c, which make use of the Apollonius definition of c via its focal points or via two perspective anities (de la Hire\u27s construction). Even there is no parallel relation neither in a hyperbolic plane nor in an elliptic plane it is still possible to modify many of the elementary geometric constructions for conics, such that they also hold for those (regular) non-Euclidean planes. Some of these modications just replace Euclidean straight lines by non-Euclidean circles. Furthermore we also study properties of Thales conics, which are generated by two pencils of (non-Euclidean) orthogonal lines.U Euklidskoj ravnini poznate su konstrukcije točaka i tangenata za npr. elipsu c zadanu osima, pri čemu se koristi Apolonijeva definicija za c preko fokusa ili dva afiniteta (de la Hireova konstrukcija). Iako ne postoje paralelne relacije s hiperboličnom niti eliptičnom ravninom, ipak je moguće modificirati mnoge elementarne konstrukcije vezane za konike tako da one vrijede za (regularne) neeuklidske ravnine. U nekim modikacijama samo je euklidski pravac zamijenjen s neeuklidskom kružnicom. Također će se proučiti svojstva Talesovih konika koje su generirane s dva pramena (neeuklidskih) okomitih pravaca

Specijalne konike u hiperboličnoj ravnini

In Euclidean geometry we find three types of special conics, which are distinguished with respect to the Euclidean similarity group: circles, parabolas, and equilateral hyperbolas. They have on one hand special elementary geometric properties (c.f. [7]) and on the other they are strongly connected to the \u27\u27absolute elliptic involution" in the ideal line of the projectively enclosed Euclidean plane. Therefore, in a hyperbolic plane (h-plane)-and similarly in any Cayley-Klein plane - the analogue question has to consider projective geometric properties as well as hyperbolic-elementary geometric properties. It turns out that the classical concepts \u27\u27circle", \u27\u27parabola", and \u27\u27(equilateral) hyperbola" do not suit very well to the many cases of conics in a hyperbolic plane (c.f. e.g. [10]). Nevertheless, one can consider conics in a h-plane systematicly having one or more properties of the three Euclidean special conics. Place of action will be the \u27\u27universal hyperbolic plane" pi, i.e., the full projective plane endowed with a hyperbolic polarity ruling distance and angle measure.U euklidskoj ravnini s obzirom na euklidsku grupu simetrija razlikujemo tri tipa specijalnih konika: kružnice, parabole i specijalne hiperbole. S jedne strane, one imaju specijalno euklidsko svojstvo (vidi [7]), a s druge su strane čvrsto vezane uz apsolutnu eliptičnu involuciju na idealnom pravcu projektivno proširene euklidske ravnine. Zbog toga, u hiperboličnoj ravnini (h-ravnini) - i slično u svakoj Cayley-Kleinovoj ravnini-treba promatrati i projektivna geometrijska svojstva i elementarno-hiperbolična geometrijska svojstva. Pokazuje se da u brojnim slučajevima konika u hiperboličnoj ravnini klasični koncepti \u27\u27kružnica", \u27\u27parabola" i \u27\u27(jednakostranicna) hiperbola" nisu primjenjivi (vidi npr. [10]). Unatoč tome, moguće je sustavno promatranje konika u h-ravnini koje imaju jedno ili više svojstava triju euklidskih specijalnih konika. Proučavanje će se vršiti na \u27\u27univerzalnoj hiperboličnoj ravnini" pi, tj. projektivnoj ravnini u kojoj su udaljenost i mjera kuta definirani apsolutnim polaritetom

Vertex- and Edge-Altitudes of a Tetrahedron

k-visina nekog n-simpleksa siječe njegovu k-stranicu i njoj nasuprotnu stranicu okomito. Tetraedar T ima četiri "vršne visine" (k = 0) i tri "bridne visine" (k = 1). Visine oba tipa izvodnice su posebnih hiperboloida povezanih s tetraedrom T. Članak obrađuje te hiperboloide na način nacrtne geometrije i daje sintetičke dokaze nekih dobro poznatih svojstava. Pokazuje se, na primjer, da ako se visine jednog tipa sijeku u jednoj točki da se tada i visine drugog tipa sijeku u jednoj točki te da te točke koincidiraju.A k-altitude of an n-simplex meets a k-face and its opposite face orthogonally. A tetrahedron T possesses four "vertexaltitudes"( k = 0) and three "edge-altitudes" (k = 1). The altitudes of each type are generators of special hyperboloids connected with T. The paper treats these hyperboloids in terms of descriptive geometry and gives synthetic proofs for some well-known properties. It turns out, for example, that if the altitudes of one type intersect in one point, then so do the others, and the points of intersection coincide

Oskulacijske kružnice konika u Cayley-Klein-ovim ravninama

In the Euclidean plane there are several well-known methods of constructing an osculating (Euclidean) circle to a conic. We show that at least one of these methods can be “translated” into a construction scheme of finding the osculating non-Euclidean circle to a given conic in a hyperbolic or elliptic plane. As an example we will deal with the Klein-model of these non-Euclidean planes, as the projective geometric point of view is common to the Euclidean as well as to the non-Euclidean cases.U euklidskoj ravnini postoji nekoliko dobro poznatih metoda konstrukcija oskulacijske kružnice konike. Cilj je te konstrukcije “translatirati” u neke od neeuklidskih ravnina. U članku se daje opća konstrukcija oskulacijske kružnice konike zadane s pet elemenata u euklidskoj ravnini. Pokazuje se da je konstruktivna metoda primjenjiva u hiperboličkoj i eliptičkoj ravnini. Budući da je projektivno geometrijsko gledište zajedničko euklidskom i neeuklidskim slučajevima, analogne se konstrukcije koriste na Klein-ovim modelima neeuklidskih ravnina

Nestandardne vizualizacije Fibonaccijevih brojeva i zlatni rez

Fibonacci numbers and the Golden Mean are numbers and thus 0-dimensional objects. Usually, they are visualized in the Euclidean plane using squares and rectangles in a spiral arrangement. The Golden Mean, as a ratio, is an affine geometric concept and therefore Euclidean visualizations are not mandatory. There are attempts to visualize the Fibonacci number sequence and Golden Spirals in higher dimensions [11], in Minkowski planes [12], [4] and in hyperbolic planes (again [4]). The latter has to replace the not existing squares by sequences of touching circles. This article aims at visualizations in all Cayley-Klein planes and makes use of three different visualization ideas: nested sets of squares, sets of touching circles and sets of triangles that are related to Euclidean right angled triangles.Fibonaccijevi brojevi i zlatni rez su brojevi, stoga su to 0- dimenzionalni objekti. Najčešće se vizulaiziraju u euklidskoj ravnini, pomoću kvadrata i pravokutnika u spiralnom poretku. Zlatni rez, kao omjer, je pojam afine geometrije pa euklidske vizualizacije nisu nužne. Postoje pokušaji vizualizacije Fibonaccijevog niza i zlatne spirale u višim dimenzijama [11], u ravninama Minkowskog [12], [4], i u hiperboličkim ravninama, također [4], gdje se nepostojeći kvadrati zamjenjuju kružnicama koje se dodiruju. Cilj ovog rada je vizualizacija u svim Cayley-Kleinovim ravninama uz korištenje triju različitih ideja: grupiranih skupova kvadrata, skupova kružnica koje se dodiruju i skupova trokuta koji su analogni euklidskim pravokutnim trokutima

Poliedri čije su strane dijelovi posebnih kvadrika

We seize an idea of Oswald Giering (see [1] and [2]), who replaced pairs of faces of a polyhedron by patches of hyperbolic paraboloids and link up edge-quadrilaterals of a polyhedron with the pencil of quadrics determined by that quadrilateral. Obviously only ruled quadrics can occur. There is a simple criterion for the existence of a ruled hyperboloid of revolution through an arbitrarily given quadrilateral. Especially, if a (not planar) quadrilateral allows one symmetry, there exist two such hyperboloids of revolution through it, and if the quadrilateral happens to be equilateral, the pencil of quadrics through it contains even three hyperboloids of revolution with pairwise orthogonal axes. To mention an example, for right double pyramids, as for example the octahedron, the axes of the hyperboloids of revolution are, on one hand, located in the plane of the regular guiding polygon, and on the other, they are parallel to the symmetry axis of the double pyramid. Not only for platonic solids, but for all polyhedrons, where one can define edge-quadrilaterals, their pairs of face-triangles can be replaced by quadric patches, and by this one could generate roong of architectural relevance. Especially patches of hyperbolic paraboloids or, as we present here, patches of hyperboloids of revolution deliver versions of such roong, which are also practically simple to realize.Preuzimamo ideju Oswalda Gieringa (vidi [1] i [2]), koji je par strana poliedra zamijenio dijelom hiperboličnog paraboloida i povezao bridni četverostran poliedra s pramenom kvadrika određenim tim četverostranom. Očito se samo pravčaste kvadrike mogu pojaviti. Postoji jednostavan nužan uvjet postojanja pravčastog rotacijskog hiperboloida kroz dani četverostran. Posebno, ako (prostorni) četverostran ima jednu ravninu simetrije, onda postoje dva rotacijska hiperboloida kroz njega, a ako je četverostran jednakostraničan, onda pramen kvadrika kroz njega sadrži čak tri rotacijska hiperboloida s međusobno okomitim osima. Na primjer, kod pravilne dvostruke piramide, kao što je oktaedar, osi rotacijskih hiperboloida su, s jedne strane, u ravnini pravilnog mnogokuta (osnovke), a s druge strane, su usporedne s osi simetrije dvostruke piramide. Parove strana (trokute) ne samo Platonovih tijela, već svih poliedara kod kojih se mogu definirati bridni četverostrani, moguće je zamijeniti dijelovima kvadrika, i na taj način proizvesti krovišta od arhitektonskog značaja. Posebno zanimljiva krovišta mogu nastati primjenom dijelova paraboloida, ili kao što je ovdje prikazano, rotacijskih hiperboloida koje je jednostavno i realizirati u praksi

Nestandardni pristupi nizovima Fibonaccijevog tipa

Fibonacci sequence and the limit of the quotient of adjacent Fibonacci numbers, namely the Golden Mean, belong to general knowledge of almost anybody, not only of mathematicians and geometers. There were several attempts to generalize these fundamental concepts which also found applications in art and architecture, as e.g. number series and quadratic equations leading to the so-called ˝Metallic means" by V. DE SPINADEL [8] or the cubic ˝plastic number" by VAN DER LAAN [5] resp. the ˝cubi ratio" by L. ROSENBUSCH [7]. The mentioned generalisations consider series of integers or real numbers. ˝Non-standard aspects" now mean generalisations with respect to a given number field or ring as well as visualisations of the resulting geometric objects. Another aspect concerns Fibonacci type resp. Padovan type combinations of given start objects. Here it turns out that the concept ˝Golden Mean" or ˝van der Laan Mean" also makes sense for vectors, matrices and mappings.Fibonaccijev niz i zlatni rez, limes kvocijenata susjednih Fibonaccijevih brojeva, su pojmovi poznati ne samo matematičarima i geometričarima, već gotovo svima. Oni svoju primjenu nalaze u umjetnosti i arhitekturi. Poznato je nekoliko pokušaja poopćenja ovih pojmova, kao što su nizovi brojeva i kvadratne jednadzbe koje rezultiraju takozvanim ˝metalnim rezovima" V. DE SPINADEL [8], ili kubni ˝plasticni broj" VAN DER LAANA [5], odnosno ˝kubni omjer" L. ROSENBUSCHA [7]. Spomenuta se poopćenja odnose na nizove cijelih ili realnih brojeva. ˝Nestandardnim pristupima" ovdje smatramo poopćenja u odnosu na dano polje ili prsten brojeva, kao i na vizualizaciju dobivenih geometrijskih objekata. Idući se pristup odnosi na Fibonaccijev, odnosno Padovanov tip kombinacija danih početnih objekata. Pokazuje se da pojam zlatnog reza ili van der Laanovog reza ima smisla promatrati i za vektore, matrice i preslikavanja