Inverse Problems Involving Generalized Axial-Symmetric Helmholtz Equation

MSC 2010: 35J05, 33C10, 45D0

ON SOME ASSOCIATED LEGENDRE-WRIGHT FUNCTIONS

24

Основные свойства обобщенных гамма-функций

Проблематика. Стаття присвячена вивченню основних властивостей нових узагальнених гамма-функцій, узагальнених неповних гамма-функцій, узагальнених дігамма-функцій для їх кращого застосування у прикладних науках, для обчислення інтегралів, відсутніх у науковій літературі. Мета дослідження. Запровадження і дослідження основних властивостей нових узагальнених гамма-функцій, узагальнених неповних гамма-функцій, узагальнених дігамма-функцій та їх застосування. Методика реалізації. Використано такі методи: методи теорії функцій дійсної змінної, теорії спеціальних функцій, теорії математичної фізики, методи прикладного аналізу. Результати дослідження. Запроваджено нові форми узагальнених гамма-функцій, неповних гамма-функцій, дігамма-функцій. Досліджено основні властивості цих узагальнених спеціальних функцій, дано приклади застосування нових узагальнених гамма-функцій. Висновки. За допомогою r-узагальнених конфлюентних гіпергеометричних функцій запроваджено нове узагальнення гамма-функцій, неповних гамма-функцій, дігамма-функцій.Background. The article is dedicated to studies of the main properties of new generalized gamma-functions, generalized incomplete gamma-functions, generalized digamma-functions for their best applications in applied sciences, for calculations of integrals which are absent in scientific literature. Objective. Introduction and study of the basic properties of the new generalized gamma-functions, generalized incomplete gamma-functions, generalized digamma-functions and their applications. Methods. We apply the following methods: the methods of the theory of functions of the real variable, the theory of the special functions, the theory of the mathematical physics, the methods of applied analysis. Results. Some new forms of generalized gamma-functions, incomplete gamma-functions, digamma-functions are introduced. The main properties of these generalized special functions are explored. Examples of application of new generalized gamma-functions are given. Conclusions. With the help of the r-generalized confluent hypergeometric functions the new generalization of gamma-functions, incomplete gamma-functions, digamma-functions are introduced. The main properties of the new generalized special functions are explored, examples of application of these functions are given.Проблематика. Статья посвящена изучению основных свойств новых обобщенных гамма-функций, обобщенных неполных гамма-функций, обобщенных дигамма-функций для их лучшего применения в прикладных науках, для вычисления интегралов, отсутствующих в научной литературе. Цель исследования. Введение и исследование основных свойств новых обобщенных гамма-функций, обобщенных неполных гамма-функций, обобщенных дигамма-функций и их применения. Методика реализации. Применены следующие методы: методы теории функции действительного переменного, теории специальных функций, теории математической физики, методы прикладного анализа. Результаты исследования. Введены новые формы обобщенных гамма-функций, неполных гамма-функций, дигамма-функций. Исследованы основные свойства этих обобщенных специальных функций, приведены примеры применения новых обобщенных гамма-функций. Выводы. При помощи r-обобщенных конфлюэнтных гипергеометрических функций введены новые обобщения гамма-функций, неполных гамма-функций, дигамма-функций

The distribution density of square value probabilities functionality from trajectories of wiener process

In the article authors develop an approach to calculating the statistic development probability for composite functions of square values in Gaussian casual process trajectories. Calculating distribution density for additive composite functions is based on standard Wiener process trajectories. Authors have developed a density formula for uniformly convergent decomposition, with x = 0. The convergence is exponentially fas

Применения обобщенных интегральных преобразований

Проблематика. Статтю присвячено дослідженню узагальнених інтегральних перетворень, а саме узагальненого інтегрального перетворення Лапласа, узагальненого інтегрального перетворення Стільтьєса. Мета дослідження. Дослідження застосувань нових узагальнень класичних інтегральних перетворень для розв’язання диференціальних, інтегральних рівнянь, обчислення інтегралів, які відсутні у відповідній науковій літературі. Методика реалізації. Для дослідження узагальнених інтегральних перетворень використовувалися методи теорії функціональної змінної, математичної фізики, теорії спеціальних функцій та методи прикладного аналізу. Результати дослідження. В роботі подано нові узагальнення інтегральних перетворень Лапласа. За допомогою r-узагальненої конфлюентної гіпергеометричної функції введено узагальнене інтегральне перетворення Стільтьєса. Доведено теорему обернення узагальненого інтегрального перетворення Стільтьєса. Отримано нові властивості r-узагальнених конфлюентних гіпергеометричних функцій. Висновки. Досліджено нові властивості r-узагальнених конфлюентних гіпергеометричних функцій, що виражаються через функції Фокса–Райта. Наведено деякі форми узагальненого інтегрального перетворення Лапласа. За допомогою r-узагальненої конфлюентної гіпергеометричної функції запроваджено узагальнене інтегральне перетворення Стільтьєса. Подано цікаві при­клади застосування нових узагальнених інтегральних перетворень у теорії диференціальних та інтегральних рівнянь для обчислення інтегралів, відсутніх у математичній літературі.Background. The article studies the generalized integral transforms, such as generalized Laplace’ integral transform, generalized Stieltjes’ integral transformation. Objective. Investigation some applications of the new generalized classical integral transforms for solving integral and differential equations, for calculation integrals which are absent in reference and scientific literature. Methods. We apply the methods the theory of functional variable, the theory of mathematical physics, the theory of special function and the methods the theory applied analysis. Results. Some new forms of generalized Laplace’ integral transform are given. With help of the r-generalized confluent hypergeometric function the generalized Stieltjes’ integral transform is introduced. The inverse theorem of the generalized Stieltjes’ integral transform is proved. New properties of the r-generalized confluent hypergeometric function are explored. Conclusions. New properties of the r-generalized confluent hypergeometric function are explored. These functions are expressing in the form by the Fox–Wright functions. Some forms of generalized Laplace’ integral transform are given. With help of the r-generalized confluent hypergeometric function the generalized Stieltjes’ integral transform is introduced. Interesting examples of applications of new generalized integral transforms in the theory of differential and integral equations, for calculation of integrals, which are absent in mathematical literature are given.Проблематика. В статье рассматриваются обобщенные интегральные преобразования, а именно обобщенное интегральное преобразование Лапласа, обобщенное интегральное преобразование Стильтьеса. Цель исследования. Исследование применений новых обобщенных классических интегральных преобразований для решений дифференциальных и интегральных уравнений, для вычисления интегралов, отсутствующих в математической литературе. Методика реализации. Для исследования обобщенных интегральных преобразований использовались методы теории комплексного переменного, математической физики, теория специальных функций, методы прикладного анализа. Результаты исследования. В работе представлено новое обобщенное интегральное преобразование Лапласа. С помощью, r-обобщенной конфлюэнтной гипергеометрической функции введено обобщенное интегральное преобразование Стильтьеса. Доказана теорема об обращении обобщенного интегрального преобразования Стильтьеса. Получены новые свойства r-обобщенных конфлюэнтных гипергеометрических функций. Выводы. Исследованы новые свойства r-обобщенных конфлюэнтных гипергеометрических функций. Эти функции выражаются через функции Фокса–Райта. Даны некоторые формы обобщенного интегрального преобразования Лапласа. С помощью r-обобщенной конфлюэнтной гипергеометрической функции введено обобщенное интегральное преобразование Стильтьеса. Даны интересные примеры применения новых обобщенных интегральных преобразований в теории дифференциальных и интегральных уравнений для вычисления интегралов, отсутствующих в математической литературе

Интегральные уравнения с r-гипергеометрическими функциями

Досліджено деякі нові властивості r-гіпергеометричних функцій, зокрема, доведені диференціальні співвідношення для функції rFτβ(a, b; c; z), співвідношення типу Куммера. Отримано інтегральне перетворення Мелліна для r-гіпергеометричної функції rFτβ(a, b; c; z), з класичною гіпергеометричною функцією Гаусса ₂F₁(a, b; c; z). Доведено формулу зображення r-гіпергеометричної функції rFτβ(a, b; c; z) у вигляді дробового інтеграла Рімана-Ліувілля. Подано застосування r-гіпергеометричних функцій до теорії інтегральних рівнянь. Розв’язано інтегральні рівняння Вольтерра першого роду з r-гіпергеометричною функцією в ядрі. Розв’язки цих інтегральних рівнянь отримано в загальній формі за допомогою апарату теорії дробового інтегро-диференціювання.Some new properties of the r-hypergeometric functions are investigated, in partial, the differential relations for the function rFτβ(a, b; c; z) are proved, and also the relation of the Kummer type is proved. The Mellin’ integral transform for the r-hypergeometric function rFτβ(a, b; c; z), is received. The connection of the r-hypergeometric function with the classic Gauss’ hypergeometric function ₂F₁(a, b; c; z) is established. The formula of the representation of the r-hypergeometric function rFτβ(a, b; c; z), in the kind of the Riemann-Liouville’ fractional integral is proved. Applications of the r-hypergeometric functions in the theory of an integral equations are given. Volterra’ integral equations of the first kind with r-hypergeometric function in the kernel are solved. The solutions of these integral equations in closed form by help of apparat of the theory of the fractional integro-differention are received.Исследованы некоторые новые свойства r-гипергеометрических функций, в частности, доказаны дифференциальные соотношения для функции rFτβ(a, b; c; z), соотношения типа Куммера. Получены интегральные преобразования Меллина для r-гипергеометрической функции rFτβ(a, b; c; z). Показана связь r-гипергеометрической функции rFτβ(a, b; c; z) с классической гипергеометрической функцией Гаусса ₂F₁(a, b; c; z). Доказана формула изображения r-гипергеометрической функции rFτβ(a, b; c; z) в виде дробного интеграла Римана-Лиувилля. Представлено применение r-гипергеометрических функций в теории интегральных уравнений. Решены интегральные уравнения Вольтерра первого рода с r-гипергеометрическими функциями в ядре. Решение этих интегральных уравнений получено в замкнутой форме при помощи аппарата теории дробного интегро-дифференцирования

r-гипергеометрическая функция и ее применение

У роботі за допомогою (τ,β)-узагальненої виродженої гіпергеометричної функції запроваджено r-гіпергеометричну функцію. Метою цього було вивчення основних властивостей r-гіпергеометричної функції. Зокрема, вивчено співвідношення типу Ердеї, перетворення Мелліна, композиційне співвідношення з оператором типу Ердеї-Кобера. У дослідженні використовувалися загальні методи теорії спеціальних функцій, теорії інтегральних перетворень та операторів дробового інтегрування. Також отримано зображення r-гіпергеометричної функції у вигляді дробового інтеграла. Подано деякі застосування r-гіпергеометричних функцій до розв’язання інтегральних рівнянь Вольтерра в замкнутій формі. Результати роботи можуть бути використані для подальшого розвитку теорії спеціальних функцій та їх застосування в різних науках.In this paper with the help of the (τ,β)-generalized confluent hypergeometric function the r-hypergeometric function is considered. The aim of it is to study the main properties of the r-hypergeometric function, in particular, to study the relation of Erdelyi’ types, the Mellin transform, the composite relation with integral operator of Erdelyi-Kober’ type. In the study used common methods of the theory of special functions, the theory of integral transforms and operators of fractional integration. We also obtained the representation of the r-hypergeometric function by the fractional integral. Some applications of the r-hypergeometric functions to the solving of integral Volterra’ equations in closed form are given. The results can be used for further development of the theory of special functions and their applications in different sciences.В работе с помощью (τ,β)-обобщенной вырожденной гипергеометрической функции введена r-гипергеометрическая функция. Целью этого было изучение основных свойств r-гипергеометрической функции. В частности, получены соотношение типа Эрдейи, преобразование Меллина, композиционное соотношение с оператором типа Эрдейи-Кобера. В исследовании использовались общие методы теории специальных функций, теории интегральных преобразований и операторов дробного интегрирования. Также получено представление r-гипергеометрической функции в виде дробного интеграла. Даны некоторые применения r-гипергеометрических функций к решению интегральных уравнений Вольтерра в замкнутой форме. Результаты могут быть использованы для дальнейшего развития теории специальных функций и их применения в различных науках