Virtual Element Methods for hyperbolic problems on polygonal meshes

In the present paper we develop the Virtual Element Method for hyperbolic problems on polygonal meshes, considering the linear wave equations as our model problem. After presenting the semi-discrete scheme, we derive the convergence estimates in H^1 semi-norm and L^2 norm. Moreover we develop a theoretical analysis on the stability for the fully discrete problem by comparing the Newmark method and the Bathe method. Finally we show the practical behaviour of the proposed method through a large array of numerical tests

The nonconforming virtual element method for eigenvalue problems

We analyse the nonconforming Virtual Element Method (VEM) for the approximation of elliptic eigenvalue problems. The nonconforming VEM allow to treat in the same formulation the two- and three-dimensional case.We present two possible formulations of the discrete problem, derived respectively by the nonstabilized and stabilized approximation of the L^2-inner product, and we study the convergence properties of the corresponding discrete eigenvalue problem. The proposed schemes provide a correct approximation of the spectrum, in particular we prove optimal-order error estimates for the eigenfunctions and the usual double order of convergence of the eigenvalues. Finally we show a large set of numerical tests supporting the theoretical results, including a comparison with the conforming Virtual Element choice

Mimetic Finite Difference methods for Hamiltonian wave equations in 2D

In this paper we consider the numerical solution of the Hamiltonian wave equation in two spatial dimension. We use the Mimetic Finite Difference (MFD) method to approximate the continuous problem combined with a symplectic integration in time to integrate the semi-discrete Hamiltonian system. The main characteristic of MFD methods, when applied to stationary problems, is to mimic important properties of the continuous system. This approach, associated with a symplectic method for the time integration yields a full numerical procedure suitable to integrate Hamiltonian problems. A complete theoretical analysis of the method and some numerical simulations are developed in the paper.Comment: 26 pages, 8 figure

Constraints on Dark Energy state equation with varying pivoting redshift

We assume the DE state equations w(a) = w_0+w_a(a_p-a), and study the dependence of the constraints on w_0 and w_a coefficients on the pivoting redshift 1+z_p=1/a_p. Coefficients are fitted to data including WMAP7, SNIa (Union 2.1), BAO's (including WiggleZ and SDSS results) and H_0 constraints. The fitting algorithm is CosmoMC. We find specific differences between the cases when neutrino mass is allowed or disregarded. More in detail: i) The z_p value yielding uncorrelated constraints on w_0 and w_a is different in the two cases, holding ~0.25 and ~0.35, respectively. (ii) If we consider the intervals allowed to w_0, we find that they shift when z_p increases, in opposite directions for vanishing or allowed neutrino mass. This leads to no overlap between 1sigma intervals already at z_p >~0.4. (iii) The known effect that a more negative state parameter is required to allow for neutrino mass displays its effects on w_a, rather than on w_0. (iv) The w_0-w_a constraints found by using any pivot z_p can be translated into constraints holding at a specific z_p value (0 or the z_p where errors are uncorrelated). When we do so, error ellipses exhibit a satisfactory overlap.Comment: 13 pages, 7 figures, 2 table

Metodi numerici per la risoluzione di equazioni di Riccati di grandi dimensioni

Le equazioni di Riccati sono tra le equazioni matriciali più note ed analizzate nella matematica applicata. Tale interesse è dovuto tanto alla vasta gamma di campi della matematica applicata in cui le equazioni di Riccati intervengono, tra i quali la teoria del controllo ottimo e stocastico, i giochi differenziali, i modelli di code, la programmazione dinamica, quanto alle innumerevoli relazioni delle suddette equazioni con concetti fondamentali dell'algebra lineare in generale, e dell'algebra lineare numerica in particolare: la nozioni di sottospazi invarianti e sottospazi di deflazione di matrix pencil, split di autovalori. Le più importanti tipologie di equazioni di Riccati (ARE) sono - le equazioni algebriche di Riccati non simmetriche (NARE) della forma C+ XA+ DX - XBX =0, - le equazioni algebriche di Riccati a tempi continui (CARE) del tipo C+ XD^*+ DX - XBX =0, - le equazioni algebriche di Riccati a tempi discreti (DARE) con formulazione A^*XA + Q - (C + B^*XA)^*(R + B^*XB)^{-1}(C + B^*XA) -X=0, dove ovviamente i prodotti matriciali presenti nelle equazioni precedenti sono tutti compatibili. Si tratta, come evidente, di equazioni non lineari, in cui l'incognita compare come fattore moltiplicativo sia destro che sinistro tanto nel termine di "primo grado" quanto nel termine di "secondo grado". Tale peculiarità differezia le are dalle equazioni matriciali unilaterali quadratiche (UQME). Tra le soluzioni delle ARE, particolarmente importanti sono le cosiddette soluzioni estremali, ovvero soluzioni che massimizzano e minimizzano ogni altra soluzione (relativamente ad una specificata relazione d'ordine matriciale). Si dimostra, sotto opportune ipotesi sui coefficienti delle ARE, l'esistenza di tali soluzioni. Fondamentale, per una comprensione teorica dei metodi risolutivi, è individuare la corrispondenza tra soluzioni delle ARE e sottospazi invarianti o sottospazi di deflazione di matrix pencil: tale corrispondenza risulta particolarmente significativa per le soluzioni estremali, in quanto, utilizzando proprietà di c-splitting o d-splitting, è possibile individuare le suddette soluzioni a partire dal relativo sottospazio, trasformando, quindi, un problema quadratico in un problema lineare. Particolarmente significativo, tanto nelle applicazioni, tanto nella teoria, è il caso in cui la matrice dei coefficienti associata ad una NARE è una M-matrice. I metodi risolutivi si dividono sostanzialmente in due macro gruppi: i metodi classici e i doubling algorithm. Tale distinzione si rende necessaria in quanto i primi metodi hanno una rilevanza più storica e teorica che applicativa in quanto presentano un elevato costo computazionale e sono inficiati da problemi di stabilità numerica. Tra i metodi classici sono annoverati - il metodo di Schur alla base del quale vi è quanto detto sulla corrispondenza tra sottospazi invarianti o di deflazione e soluzioni delle ARE. Il metodo utilizza la fattorizzazione di Schur delle matrici "in gioco" per determinare efficientemente tali sottospazi; - il metodo delle iterazioni funzionali il quale definisce delle successioni definite per ricorrenza. Ponendo delle opportune ipotesi sui coefficienti, è possibile provare la convergenza di tali successioni alle soluzioni estremali. Inoltre, è possibile comparare la velocità di convergenza delle successioni definite dalle diverse iterazioni funzionali. In generale l'ordine di convergenza è lineare, mentre il costo computazionale è di O(n^3) per iterazione; - il metodo di Newton applicato all'operatore di Riccati e definito a partire dalla derivata di Fréchet dell'operatore stesso. Anche in tal caso, ponendo ipotesi sui coefficienti, si dimostra la convergenza del motodo alle soluzioni estremali. Il metodo di Newton ha un costo computazionale di O(n^3) operazioni elementari per passo e presenta una convergenza quadratica nel caso "non critico" e lineare nel caso "critico". I doubling algorithm, così denominati perché presentano convergenza quadratica, sono i metodi più performanti presenti in letteratura, - il metodo doubling algorithm strutturato (SDA) genera una successione di matrix pencil con la proprietà che ad ogni iterazione dellalgoritmo i sottospazi di deflazione rimangono inalterati, mentre i relativi autovalori vengono elevati al quadrato. Tale proprietà risulta molto utile se il sottospazio di deflazione è d-stabile, in tal caso, infatti, è evidente che se lalgoritmo può essere iterato senza interruzioni (ovvero senza breakdown), gli autovalori ad ogni passo hanno norma sempre più piccola, fino a tendere a zero. Questa proprietà rende particolarmente semplificata la ricerca del sottospazio di deflazione d-stabile e fornisce, quindi, un valido metodo per calcolare le soluzioni estremali; - il metodo di riduzione ciclica (CR) si basa sulla medesima filosofia dell'elevamento a quadrato del metodo SDA, generando una successione di polinomi matriciali quadratici i cui autovalori vengono elevati al quadrato ad ogni iterazione. Dunque, si rende dapprima necessario trasformare la ARE in una UQME ad essa associata, poi si applica il metodo CR per individuare la soluzione di tale UQME per risalire, infine, alla soluzione estremale della ARE di partenza. Per poter applicare i doubling algorithm è necessario trasformare proprietà di c-stabilità o c-splitting, in proprietà di d-stabilità o d-splitting, a tal fine, si introducono due tipologie di trasformazioni, le trasformazioni affini e le trasformazioni di Cayley, che danno origine a due possibili varianti del metodo SDA e del metodo CR. I doubling algorithm, come detto, risultano particolarmente efficaci per la risoluzione di equazioni di Riccati in quanto presentano una convergenza quadratica ed hanno un costo computazionale per passo pari a O(n^3) operazioni elementari (se le matrici che definiscono l'equazione hanno dimensione n x n). Tuttavia, per valori molto grandi di n, tale costo computazionale diviene "insostenibile" ed anche i dobling algorithm risultano inapplicabili in quanto impiegherebbero tempi non ragionevoli. I matematici cinesi Chang-Yi Weng, Tiexiang Li, Eric King-wah Chu e Wen-Wei Lin hanno apportato delle "correzioni" al doubling algorithm strutturato per equazioni di Riccati definite da matrici aventi grandi dimensioni ma con particolari proprietà di struttura. Tali modifiche portano il costo computazionale ad O(n) operazioni per passo rendendo l'algoritmo applicabile anche a ARE di grandi dimensioni. A base del motodo SDA_{ls} vi è un astuto utilizzo della Formula di Sherman-Morrison-Woodbury ed un particolare "meccanismo" di troncamento e compressione per limitare la crescita del rango di alcune matrici definite dall'algoritmo. Dunque, è studiata la portata di tali modifiche al metodo RC, osservando che anche in tal caso vi è una notevole riduzione del costo computazionale, portato a circa O(n) operazioni elementari per iterazione. Si osserva che le proprietà di struttura delle matrici "si conservano" nel corso dell'algoritmo rendendo particolarmente semplificata la ricerca delle soluzioni. Si conclude, quindi, che il metodo CR_{ls} risponde positivamente se testato a problemi con dimensione elevata e particolari proprietà di struttura