Darboux Transformations for (2+1)-Dimensional Extensions of the KP Hierarchy

New extensions of the KP and modified KP hierarchies with self-consistent sources are proposed. The latter provide new generalizations of $(2+1)$-dimensional integrable equations, including the DS-III equation and the $N$-wave problem. Furthermore, we recover a system that contains two types of the KP equation with self-consistent sources as special cases. Darboux and binary Darboux transformations are applied to generate solutions of the proposed hierarchies

Additional reductions in the k-constrained modified KP hierarchy

Additional reductions in the modified k-constrained KP hierarchy are proposed. As a result we obtain generalizations of Kaup-Broer system, Korteweg-de Vries equation and a modification of Korteweg-de Vries equation that belongs to modified k-constrained KP hierarchy. We also propose solution generating technique based on binary Darboux transformations for the obtained equations.Comment: 14 pages; no figures; submitted to Nonlinear Oscillation

МОДЕЛЮВАННЯ ПОШИРЕННЯ ПЛОСКОЇ ЕЛЕКТРОМАГНІТНОЇ ХВИЛІ У НЕОДНОРІДНОМУ НЕПОГЛИНАЮЧОМУ СЕРЕДОВИЩІ

Розглянуто аналітичні рішення параболічного рівняння Ісімару для функції когерентності електромагнітного поля, що описують часові властивості імпульсу на виході неоднорідного недисипативного середовища. Отримано узагальнення підходу, використаного в моделі Ісімару для опису часової еволюції монохроматичного електромагнітного імпульсу, що огинає, в однорідних недисипативних середовищах, на випадок неоднорідних недисипативних середовищ. Тим самим було зроблено спробу врахувати вплив неоднорідності середовища на форму результуючого імпульсу. При вирішенні поставленої задачі подолано труднощі, пов’язані з обчисленням континуального інтеграла, що виникає, в просторі дифузійних траєкторій. Це дозволило отримати явний вираз для функції Гріна завдання та побудувати обчислювальний алгоритм, на базі якого проведено низку численних експериментів. Аналіз роботи проведено виходячи з апарату квадратичних інтегральних функціоналів, заснованих на рішеннях диференціальних стохастичних рівнянь. У роботі вивчені інваріантні часові властивості огинаючої монохроматичних електромагнітних імпульсів, що реєструються після проходження крізь плоский шар розсіюючого неоднорідного середовища, тобто. властивостей, які залишаються незмінними при варіації параметрів середовища, зокрема, розподілу концентрації центрів, що розсіюють. Проаналізовано динаміку формування часових шлейфів розсіяної хвилі, у яких хвостова частина розташована в периферійній часовій ділянці. При поширенні зі швидкістю перетворення фронту хвилі відбиває вид шарів області розсіювання та її поздовжню форму. Зазначається, розвитком запропонованого апроксимаційного підходу щодо процесів, що впливають на часове затягування електромагнітних імпульсів, може бути облік згасання випромінювання при його поширенні в неоднорідному поглинаючому середовищі

ЕЛЕКТРОННІ ПУЧКИ У ГРАДІЄНТНОМУ МАГНІТНОМУ ПОЛІ: УПРАВЛІННЯ ПЕРЕТВОРЕННЯМ ПОЗДОВЖНЬОГО РУХУ У ПОПЕРЕЧНИЙ

В роботі розглянуто рух електронів у циліндричному магнітному полі з потенціалом градієнтного вигляду. Отримано, що у вибраному полі вихідний рух електронів уздовж поздовжньої осі перетворюється на радіальний рух. Визначено, що таке перетворення обумовлено впливом соленоїдального магнітного поля з великим поздовжнім градієнтом. Перетворення поздовжнього напрямку руху на поперечне виявилося стійким в діапазоні енергій 20...55 кеВ електронів і в інтервалі 5...50 мм радіальних розмірів пучка частинок. За допомогою програмного засобу вивчено основні залежності руху електронного пучка в заданому соленоїдальному магнітному полі. В даній роботі приведені результати чисельного моделювання траєкторій електронів у градієнтному магнітному полі зі вторинноемісійним катодом кругової форми, розташованим у середині системи. Для вивчення механізму стійкості по відношенню до магнітного поля використано два експериментально реалізовані магнітних поля. На основі цих двох полів чисельно синтезовано масиви додаткових 4 полів. Для сукупності з 6 названих полів чисельно вивчена робота гармати, коли частка відчуває стійке перетворення напрямку руху. Показано, що при заданій енергії електрона та фіксованому магнітному полі параметром, що визначає поворот частинок, є градієнт магнітного поля на межі ділянки вльоту. Отримано, що ефект повороту має місце для розглянутого інтервалу радіальних розмірів пучка, що призводить до фокусування частинок. Показана можливість на основі регулювання поля в цілому керувати вертикальною координатою сфокусованого пучка, тим самим дано інтерпретацію порогової залежності реєстрації електронів на детекторі. Досліджено залежність формування підсумкового розподілу частинок від амплітуди та градієнта магнітного поля вздовж осі системи. Наводяться результати чисельного моделювання руху електронного потоку. На основі моделі руху електронного потоку розглянуто характеристики результуючого електронного пучка. В даній статті показано, що пучок, що має радіальні розміри 5...50 мм, фокусується по вертикалі на ділянку розміром 1 мм

BALANCING MONETARY POLICY IN DEFENCE ECONOMICS IN UKRAINE

The russian federation's launch of a full-scale war against independent Ukraine on February 24, 2022, has presented unprecedented challenges to the country. In addition to resistance on the battlefield, Ukraine must implement adaptive macroeconomic policies to address the situation. This combination of military and economic efforts not only prevents economic collapse but also maintains fragile macroeconomic stability during wartime. Monetary stability becomes especially important, highlighting the absolute necessity for effective implementation of monetary policy. This article aims to identify the key characteristics of Ukraine's defence economy and forecast key policy rates and exchange rates during the war. The prerequisite for forecasting was the analysis of endogenous and exogenous factors determining the current state of the Ukrainian economy: index of business expectations in Ukraine and partner countries, state of international trade and balance of payments, disparities in the labour market, reorientation of the state budget to military needs, devaluation of the national currency, high inflation, increase of financial capital price. Modelling is based on consumer price index (CPI), household inflation expectations, key policy rate of the National Bank of Ukraine, real and nominal effective exchange rates hryvnia to USA dollar, gross and net international reserves, gross and net foreign exchange market interventions, the UK CPI, the USA CPI, EU CPI, and the weighted average yield of domestic government bonds. The methodology involved the use of the VECM model (Vector Error Correlation Model) and the Bagging machine learning method, adapted to time series. Using this methodology enabled an accurate forecast of the key policy rate. In determining the optimal exchange rate, a modified formula was used that takes into account the monetary base, total bank deposits, foreign currency deposits in banks, exchange rate in the black market, and international reserves. This modification enabled the prediction of an exchange rate that closely approximates the official exchange rate

Трудові відносини у сфері професійної (професійно-технічної) освіти: теоретико-прикладний аспект

The article examines theoretical and applied aspects of labor relations in the field of professional (vocational) education. The authors highlight the problems, indicators and mechanism of regulation of labor relations in the field of professional (vocational) education. There is the analysis of the state of normative-legal regulation of conditions and grounds for hiring scientific and pedagogical workers, as well as the grounds, procedure and guarantees for dismissal of employees of this category. The authors focus in the article on the description of the conditions for concluding, performing and terminating an employment contract and substantiate the differences between the employment treaty, employment agreement and contract, employment treaty and civil law employment treaty. The article identifies the procedure for competitive selection during the filling of vacant positions of scientific and pedagogical workers and concluding contracts with them as a special form of employment treaty. The materials of the article can be used to improve the system of professional (vocational) education in Ukraine by ensuring the need for quality training of qualified specialists.У статті досліджено теоретичні та прикладні аспекти трудових відносин у сфері професійної (професійно-технічної) освіти. Висвітлено проблеми, індикатори та механізм регулювання трудових відносин у сфері професійної (професійно-технічної) освіти. Проаналізовано стан нормативно-правового регулювання умов і підстав прийняття науково-педагогічного працівника на роботу, а також підстави, порядок і гарантії при звільненні працівників зазначеної категорії. Описано умови укладання, виконання та припинення трудового контракту. Обґрунтовано відмінності між трудовим договором, трудовою угодою і контрактом, трудовим договором і цивільно-правовим договором про працю. Визначено порядок проведення конкурсного відбору під час заміщення вакантних посад науково-педагогічних працівників та укладання з ними контрактів як особливої форми трудового договору. Матеріали статті можуть бути використані для вдосконалення системи професійної (професійно-технічної) освіти в Україні шляхом забезпечення потреби в якісній підготовці кваліфікованих фахівців