Nearly exact discrepancy principle for low-count poisson image restoration

The effectiveness of variational methods for restoring images corrupted by Poisson noise strongly depends on the suitable selection of the regularization parameter balancing the effect of the regulation term(s) and the generalized Kullback–Liebler divergence data term. One of the approaches still commonly used today for choosing the parameter is the discrepancy principle proposed by Zanella et al. in a seminal work. It relies on imposing a value of the data term approximately equal to its expected value and works well for mid-and high-count Poisson noise corruptions. However, the series truncation approximation used in the theoretical derivation of the expected value leads to poor performance for low-count Poisson noise. In this paper, we highlight the theoretical limits of the approach and then propose a nearly exact version of it based on Monte Carlo simulation and weighted least-square fitting. Several numerical experiments are presented, proving beyond doubt that in the low-count Poisson regime, the proposed modified, nearly exact discrepancy principle performs far better than the original, approximated one by Zanella et al., whereas it works similarly or slightly better in the mid-and high-count regimes

Residual Whiteness Principle for Automatic Parameter Selection in ℓ2 - ℓ2 Image Super-Resolution Problems

We propose an automatic parameter selection strategy for variational image super-resolution of blurred and down-sampled images corrupted by additive white Gaussian noise (AWGN) with unknown standard deviation. By exploiting particular properties of the operators describing the problem in the frequency domain, our strategy selects the optimal parameter as the one optimising a suitable residual whiteness measure. Numerical tests show the effectiveness of the proposed strategy for generalised ℓ2 - ℓ2 Tikhonov problems

A comparison of parameter choice rules for ℓp - ℓq minimization

Images that have been contaminated by various kinds of blur and noise can be restored by the minimization of an ℓp-ℓq functional. The quality of the reconstruction depends on the choice of a regularization parameter. Several approaches to determine this parameter have been described in the literature. This work presents a numerical comparison of known approaches as well as of a new one

An iterative method with error estimators

AbstractIterative methods for the solution of linear systems of equations produce a sequence of approximate solutions. In many applications it is desirable to be able to compute estimates of the norm of the error in the approximate solutions generated and terminate the iterations when the estimates are sufficiently small. This paper presents a new iterative method based on the Lanczos process for the solution of linear systems of equations with a symmetric matrix. The method is designed to allow the computation of estimates of the Euclidean norm of the error in the computed approximate solutions. These estimates are determined by evaluating certain Gauss, anti-Gauss, or Gauss–Radau quadrature rules

A weak formulation of boundary integral equations for time dependent parabolic problems

A weak formulation for 'direct' boundary methods for time dependent parabolic problems, deduced from distribution theory, is presented. The present approach seems particularly valuable when dealing with problems with non-integrable singularities and solutions with an exponential growth. Numerical examples are also reported for plane diffusion. © 1985

Metodi numerici per sistemi lineari di grandi dimensioni ed applicazione ad equazioni evolutive non lineari.

Il programma dell\u2019unita\u2019 di ricerca considerera\u2019 diversi aspetti associati con la soluzione numerica di equazioni a derivate parziali che sono usate in diverse importanti aree applicative, quali l\u2019elettromagnetismo, la fluidodinamica e l\u2019elaborazione di immagini. La ricerca sull\u2019elaborazione di immagini sara\u2019 svolta in collaborazione con il gruppo industriale ESAOTE-BRACCO che produce ecografi e che fornira\u2019 le immagini da elaborare. Saranno considerati classici modelli del secondo ordine di equazioni non lineari per l\u2019eliminazione del rumore di tipo Perona-Malik, l\u2019equazione di diffusione geometrica di Osher and Sethian, e alcune loro varianti per gestire opportunamente applicazioni quali il denoising e la segmentazione. Saranno inoltre presi in considerazione modelli del quarto ordine. Dal punto di vista numerico verranno analizzati tre differenti aspetti per ottenere soluzioni stabili ed efficienti: discretizzazione tempo-scala, discretizzazione spaziale e costruzione di risolutori efficienti e robusti per sistemi lineari. Per quanto riguarda l\u2019aspetto di discretizzazione tempo-scala, verranno considerati principalmente schemi semi-impliciti, dove solo i termini lineari sono usati implicitamente, ma verrano anche sperimentati schemi impliciti. Per quanto riguarda la discretizzazione spaziale sara\u2019 adottato un approccio variazionale basato su schemi ai volumi finiti e covolumi ma anche classici schemi alle differenze finite. Saranno adottate tecniche di precondizionamento avanzate per ridurre i tempi ed i costi della simulazione numerica. In alcuni casi si dovranno gestire matrici molto mal condizionate, per questo scopo saranno studiate tecniche iterative di regolarizzazione ed in particolare metodi per la determinazione del parametro di regolarizzazione. L\u2019unita\u2019 di ricerca si occupera\u2019 anche della soluzione di sistemi algebrici lineari che sorgono in altri campi applicativi. Saranno considerati risolutori iterativi di tipo proiettivo per la risoluzione efficiente di sistemi lineari di grandi dimensioni che sorgono dalla discretizzazione di equazioni a derivate parziali non autoaggiunte. Saranno studiate in dettaglio le relazioni tra metodi ottimali (ma costosi da un punto di vista computazionale) e metodi quasi-ottimali meno costosi che sono ottenuti mediante tecniche di approssimazione o troncamento. Saranno analizzate tecniche di precondizionamento per sistemi lineari derivanti da problemi di punto sella. Questi sistemi hanno una matrice dei coefficienti di grandi dimensioni, sparsa con una tipica struttura a blocchi 2-per-2. La ricerca vertera\u2019 sia sulla costruzione di nuovi precondizionatori che sul miglioramento di quelli esistenti che possono trattare matrici singolari o a blocchi non simmetrici. Matrici singolari o fortemente mal condizionate possono essere ottenute nel caso di operatori non coercivi nel continuo, come accade nelle formulazioni ad elementi finiti misti in problemi di magnetostatica. Un blocco non simmetrico e\u2019 anche presente nella discretizzazione e linearizzazione delle equazioni stazionarie di Navier-Stokes. Lo scopo di questa parte del progetto consiste nella costruzione di un procedimento iterativo precondizionato la cui convergenza non dipenda dai parametri del problema. Saranno infine analizzati precondizionatori basati su tecniche di suddivisione per il metodo ad elementi finiti di Mortar, che pu\uf2 portare a risolutori iterativi la cui convergenza e\u2019 indipendente dalla grandezza e dal numero dei sottodomini. Il nostro obbiettivo sara\u2019 quello di implementare un precondizionatore efficiente per la soluzione di sistemi derivanti da problemi di elettrocardiologia retti da modelli di tipo reattivo-diffusivo. Questa ultima parte della ricerca sara\u2019 svolta in collaborazione con la Dott.ssa M. Pennacchio, IMATI-CNR, Pavia

Progetto Intergruppo INDAM -GNCS-GNAMPA, 2003-2004, coordinatore nazionale: “Aspetti teorici e computazionali dei problemi inversi".

Titolo: Aspetti teorici e computazionali dei problemi inversi Descrizione: Negli ultimi venti anni la ricerca nel campo dei problemi inversi ha subito un rapido sviluppo. La velocità di calcolo degli attuali calcolatori e lo sviluppo di algoritmi sempre più efficienti ha reso possibile un'analisi sistematica di problemi inversi particolarmente interessanti. Le piu' importanti applicazioni comprendono l'imaging medico, la localizzazione di risorse pretolifere e minerarie, la creazione di immagini astrofisiche da rilevamenti telescopici, la determinazione di fratture all'interno di materiali e il restauro digitale di video. Lo scopo di questo progetto e' rafforzare le collaborazioni tra Ricercatori di Analisi Matematica e Analisi Numerica che lavorano su questi problemi allo scopo di produrre sia risultati teorici e metodi computazionali in problemi aperti della fisica, ingegneria, medicina e scienze applicate, sia risultati interessanti per il settore industriale. Ci si propone di giungere ad uno studio completo, principalmente dal punto di vista teorico e computazionale, di alcuni problemi inversi basati su equazioni alle derivate parziali o su equazioni integrali che interessano le applicazioni, alcuni gia' parzialmente investigati dal punto di vista teorico e/o numerico in precedenti progetti GNAMPA e GNCS e COFIN. Alcune questioni che si intendono trattare riguardano i modelli e metodi basati su equazioni a derivate parziali (PDE) per la regolarizzazione ed il denoising di immagini generiche, la ricostruzione di immagini SPECT (Tomografia a emissione di fotone singolo) e fMRI (Imaging di Risonanza Magnetica funzionale) e infine, l'inversione numerica della Trasformata di Laplace. Le tecniche di regolarizzazione TV (Total Variation) e PDE, in generale, sono attualmente oggetto di molti studi e ricerche in quanto permettono di elaborare le immagini preservando i contorni e altre proprieta' geometriche di interesse. D'altra parte le tecniche iterative di regolarizzazione, associate ad opportune strategie di precondizionamento, costituiscono un altro filone innovativo nel campo metodologico: in particolare, l'applicazione di concetti avanzati di algebra lineare strutturata possono consentire una drastica riduzione della complessita' computazionale. Altre questioni che si intendono trattare ruotano attorno al problema che prende il nome di tomografia da impedenza elettrica, una tecnica non invasiva di rilevamento di immagini con applicazioni significative in medicina e anche in ambito industriale. Lo scopo della tomografia da impedenza elettrica e' quello di determinare la conduttivita' interna di un corpo mediante misurazioni del potenziale elettrostatico sulla superficie del corpo stesso. Un caso di particolare rilevanza si da quando la conduttività può assumere solo due valori, uno che corrisponde alla conduttività di riferimento all'interno del corpo, mentre l'altro corrisponde a una inclusione anomala che deve essere individuata. Dal punto di vista matematico si tratta di determinare il coefficiente principale di una equazione ellittica del secondo ordine da valori al bordo delle soluzioni dell'equazione stessa. Su questo problema esistono numerosi risultati teorici che richiedono la progettazione di algoritmi efficienti data la grande complessita' del problema. Sedi dei Partecipanti: Firenze: Gnampa: Talenti Giorgio, Gnampa: Francini Elisa, Gncs: Inglese Gabriele, Gnampa: Sgheri Luca, Gnampa: Arena Orazio, Gnampa: Magnanini Rolando, Gnampa: Mariani Francesca, Gnampa: Ciraolo Giulio, Gnampa: Sergio Vessella, Trieste: Gnampa: Alessandrini Giovanni, Gnampa: Rosset Edi, Gnampa: Rondi Luca, Gnampa: Morassi Antonino, Gnampa: Eva Sincich, Roma: Gnampa: Beretta Elena, Milano: Gnampa: Pagani Carlo Domenico, Gnampa: Bacchelli Valeria, Gnampa: Cavaterra Cecilia, Maurizio Verri, Gnampa: Michele Di Cristo, Genova: Gncs: Brianzi Paola, Gncs: Di Benedetto Fabio, Gncs..

Efficient and robust computational methods for biomedical image analysis, NATO Project Reference : PST.CLG.979123

RESEARCH PLAN The research group will design and study original numerical schemes for solving nonlinear degenerate parabolic partial differential equations (PDEs) arising in image analysis. Their efficient and robust implementation on modern computer architecture and application to problems of image analysis in biomedical engineering and medical imaging will also be an object of the study. We will mainly deal with important problems of nonlinear image filtering and robust image segmentation for 2D, 3D images, 2D+time and 3D+time image sequences given in rectangular, cylindrical and other nontrivial geometries related to recent acquizition devices and techniques. The numerical schemes will be studied regarding stability and efficiency of computations as well as regarding the convergence to the weak solutions of the corresponding PDEs. The discretized mathematical models will be based on generalizations of the nonlinear image selective smoothing equation of the Perona-Malik type and on the morphologically invariant geometrical equations of mean curvature flow type. The image sequences will be processed and segmented using space and time coherence of moving structures. The robust semi-implicit time-scale discretizations, variational spatial discretizations and fast and robust linear algebra solvers will be used in order to achieve fast and stable solutions. Since image processing operations add further dimension to the problem (the so called scale space), in case of 3D+time image sequences we have to solve 5 dimensional problems which is a chalenge for high scale and parallel computing approaches

Matrix Day, Bologna - Italy May 6, 2004

Elenco Speakers: Gene Golub (Stanford University, USA). NUMERICAL METHODS FOR SOLVING LEAST SQUARES PROBLEMS WITH CONSTRAINTS Michele Benzi (Emory University, Atlanta, USA). PERRON, FROBENIUS AND GOOGLE Lunch Daniele Bertaccini (University of Rome, Italy). UPDATING INCOMPLETE FACTORIZATIONS FOR THE SOLUTION OF PARTIAL DIFFERENTIAL EQUATIONS. Daniela Calvetti (Case Western University, Cleveland, USA) PRIORCONDITIONERS FOR LINEAR SYSTEMS Erkki Somersalo (Helsinki University of Technology, Finland). STATISTICAL INVERSE PROBLEMS AND PRIOR BOUNDARY CONDITION