Differential constraints and exact solutions of nonlinear diffusion equations

The differential constraints are applied to obtain explicit solutions of nonlinear diffusion equations. Certain linear determining equations with parameters are used to find such differential constraints. They generalize the determining equations used in the search for classical Lie symmetries

Application of the B-Determining Equations Method to One Problem of Free Turbulence

A three-dimensional model of the far turbulent wake behind a self-propelled body in a passively stratified medium is considered. The model is reduced to a system of ordinary differential equations by a similarity reduction and the B-determining equations method. The system of ordinary differential equations satisfying natural boundary conditions is solved numerically. The solutions obtained here are in close agreement with experimental data

Промежуточные системы и дифференциальные связи высших порядков

A method for constructing solutions of nonlinear partial differential equations with two independent variables is proposed. The method is based on the search for so-called intermediate systems, each solution of which satisfies the initial equation. The main attention is paid to a second order nonlinear wave equation. We give examples of intermediate systems and corresponding solutions.В работе предложен метод построения решений нелинейных уравнений в частных производных с двумя независимыми переменными. Метод основан на поиске так называемых промежуточных систем, каждое решение которых удовлетворяет исходному уравнению. Основное внимание уделяется нелинейному волновому уравнению второго порядка. Приведены примеры промежуточных систем и соответствующих решени

Промежуточные системы и дифференциальные связи высших порядков

A method for constructing solutions of nonlinear partial differential equations with two independent variables is proposed. The method is based on the search for so-called intermediate systems, each solution of which satisfies the initial equation. The main attention is paid to a second order nonlinear wave equation. We give examples of intermediate systems and corresponding solutions.В работе предложен метод построения решений нелинейных уравнений в частных производных с двумя независимыми переменными. Метод основан на поиске так называемых промежуточных систем, каждое решение которых удовлетворяет исходному уравнению. Основное внимание уделяется нелинейному волновому уравнению второго порядка. Приведены примеры промежуточных систем и соответствующих решени

Симметрии дифференциальных идеалов и дифференциальных уравнений

The paper deals with differential rings and partial differential equations with coefficients in some algebra. We introduce symmetries and the conservation laws to the differential ideal of an arbitrary differential ring. We prove that a set of symmetries of an ideal forms a Lie ring and give a precise criterion when a differentiation is a symmetry of an ideal. These concepts are applied to partial differential equationsВ работе рассматриваются дифференциальные кольца и уравнения с частными производными с коэффициентами в некотором кольце. Вводятся симметрии и законы сохранения дифференциального идеала произвольного дифференциального кольца. Доказано, что множество симметрий идеала образуют кольцо Ли. Получен критерий того, что дифференцирование является симметрией идеала. Эти построения применяются к уравнениям в частных производны

Некоторые решения системы Эйлера невязкой несжимаемой жидкости

We consider a system of two-dimensional Euler equations describing the motions of an inviscid incompressible fluid. It reduces to one non-linear equation with partial derivatives of the third order. A group of point transformations allowed by this equation is found. Some invariant solutions and solutions not related to invariance are constructed. The solutions found describe vortices, jet streams, and vortex-like formationsВ работе изучается система двумерных уравнений Эйлера, описывающая движения невязкой несжимаемой жидкости. Она сводится к одному нелинейному уравнению с частными производными третьего порядка. Найдена группа точечных преобразований, допускаемых этим уравнением. Построены некоторые инвариантные решения и решения не связанные с инвариантностью. Найденные решения описывают вихри, струйные течения и вихреподобные образовани

Итерации и группы формальных преобразований

In this paper, we consider the problem of formal iteration. We construct an area preserving mapping which does not have any square root. This leads to a counterexample to Moser’s existence theorem for an interpolation problem. We give examples of formal transformation groups such that the iteration problem has a solution for every element of the groupsВ работе рассматривается задача формальной итерации. Строится сохраняющее площадь отображение, которое не допускает извлечения квадратного корня, что, в свою очередь, приводит к контрпримеру — к теореме Мозера для задачи интерполяции. Даны примеры групп формальных преобразований, для которых задача итерации имеет решение для произвольного элемента групп

Симметрии линейных и нелинейных уравнений с частными производными

Higher symmetries and operator symmetries of linear partial differential equations are considered The higher symmetries form a Lie algebra, and operator ones form an associative algebra. The relationship between these symmetries is established. New symmetries of two-dimensional stationary equations of gas dynamics are foundРассматриваются операторы высших и операторных симметрий линейных уравнений с частными производными. Операторы высших симметрий образуют алгебру Ли, а операторные - ассоциативную алгебру. Устанавливается связь между этими симметриями. Найдены новые симметрии двумерных стационарных уравнений газовой динамик