Empacotamento de esferas em espaços hiperbolicos

Orientador : Marcelo FirerDissertação (mestrado) - Universidade Estadual de Campinas, Instituto de Matematica, Estatistica e Computação CientificaResumo: Começamos o texto com uma breve apresentação de conceitos essenciais ao desenvolvimento do trabalho: uma introdução à geometria hiperbólica (capítulo 1) e grupos fuchsianos (capítulo 2), grupos discretos de isometrias do plano hiperbólico. Introduzimos a seguir, em sua forma genérica, o problema de empacotamento de esferas (capítulo 3). Apresentamos alguns resultados importantes para o caso euclidiano e a seguir, introduzimos as definições necessárias para o estudo do problema de empacotamento em espaços hiperbólicos. Neste caso, fazemos também uma apresentação de diversos resultados importantes, cobrindo parte relevante da literatura atual sobre o tema. No capítulo 4, desenvolvemos duas questões referentes a empacotamentos no plano hiperbólico (bi-dimensional). A primeira delas é o estudo da densidade local de ladrilhamentos (p,q) do plano. Provamos que a o limite da densidade local quando p e q tendem a ¥ existe e é igual a 2/p, portanto menor que o melhor limitante conhecido, a densidade simplicial d2=3/p. Este resultado conduz naturalmente à questão de determinar se, ao menos nos casos de empacotamentos associados a reticulados, a densidade local maximal é atingida em domínios de Dirichlet regulares. Para estudar esta questão, perturbamos um polígono regular de 4g lados, domínio de Dirichlet de um grupo isomorfo ao grupo fundamental de uma superfície compacta de genus g e estudamos o comportamento local da função densidade. Para isto, precisamos definir uma projeção adequada no espaço de teichmuller Tg, definida a partir de uma pseudo-homotetia do espaço hiperbólico. Analisamos então as derivadas parciais da constante de pseudo-homotetia como função da perturbação obtendo que, ao menos para uma perturbação restrita a um semi espaço fechado, a função densidade atinge um máximo local no polígono regular. Além disto, obtemos indícios que este é de fato um ponto de máximo.Abstract: Not informed.MestradoMestre em Matemátic

Coordenadas Fricke e empacotamentos hiperbolicos de discos

Orientador : Marcelo FirerTese (doutorado) - Universidade Estadual de Campinas, Instituto de Matematica, Estatistica e Computação CientificaResumo: Este trabalho busca elementos para se determinar a densidade de empacotamento de esferas definida por reticulados no plano hiperbólico.Consideramos o espaço de teichmuller Tu de todas as superfícies orientadas com-pactas e fechadas de gênero 9 2: 2, as quais tem o plano hiperbólico como recobrimento universal riemanniano. É conhecido o sistema de coordenadas Fricke em Tu que associa a cada superfície um domínio fundamental de Voronoi-Dirichlet dado por um polígono convexo com 4g arestas. Sabemos que, fixado o gênero, a densidade cresce com o número de arestas do domínio de Voronoi-Dirichlet escolhido, de modo que é natural a busca por polígonos com um número máximo de arestas associado ao gênero dado, que é sempre limitado por 12g - 6.Neste trabalho, determinamos as coordenadas Fricke em Tu que associa a cada su-perfície um domínio de Voronoi-Dirichlet com 4g + 2 e 12g - 6 arestas. Além disso, determinamos e implementamos algoritmos para a determinação dos círculos inscrito e circunscrito de um polígono (em superfícies de curvatura constante). Estes algorit-mos, em sua generalidade tem complexidade O (n4) mas, restringindo os polígonos a vizinhanças abertas de um polígono dado, possui complexidade O (n), situação ótima.A determinação dos domínios de Voronoi-Dirichlet e dos círculos inscritos permitem definir a densidade de empacotamento diretamente nos espaços de teichmuller através de um sistema de equações polinomiaisAbstract: This work searches elements to determine the packing density of spheres defined by lattices in the hyperbolic plane. We consider the teichmüller space Tg of all closed compacts oriented surfaces of genus 9 ~ 2, which has the hyperbolic plane as universal covering rienmannian surface. It is known that the system of Fricke coordinates in Tg associates each surface to a fundamental of Voronoi-Dirichlet domain, given by convex polygon with 49 edges. We know that, with fixed genus, the density increases with the number of edges of the chosen Voronoi-Dirichlet domain. Thus it is naturallooking for polygons with a maximum number of edges associated to a given genus, which is always limited by 129 - 6.In this work, we determine Fricke coordinates in Tg which associates each surface to a Voronoi-Dirichlet domain with 49 + 2 and 129 - 6 edges. Furthermore, we determine and we program the algorithms for determination of the inscribed and circumscribed circles of a polygon (in surfaces of constant curvature). These algorithms, have com-plexity O (n4) , but when restricted to open neighbourhoods of a given polygon, have complexity O (n), best situation.The determination of the Voronoi-Dirichlet domain from the inscribed circles per-mits to define the packing of density directly on teichmüller spaces through a polyno-mials of system equationsDoutoradoMatematicaDoutor em Matemátic

Generalized edge-pairings for the family of hyperbolic tessellations {10λ,2λ}

In this paper we present generalized edge-pairings for the family of hyperbolic tessellations {10λ,2λ}, with the purpose to obtain the corresponding discrete group of isometries. These tessellations have greater density packing than the self-dual tessellations {4λ,4λ} implying that the associated codes achieve the least error probability, or equivalently, that these codes are optimum codes352943CONSELHO NACIONAL DE DESENVOLVIMENTO CIENTÍFICO E TECNOLÓGICO - CNPQFUNDAÇÃO DE AMPARO À PESQUISA DO ESTADO DE SÃO PAULO - FAPESP505258/2008-0; 303059/2010-904/15328-2; 2007/56052-

Generalized edge-pairings for the family of hyperbolic tessellations {10λ,2λ}

In this paper we present generalized edge-pairings for the family of hyperbolic tessellations {10λ,2λ}{10λ,2λ} , with the purpose to obtain the corresponding discrete group of isometries. These tessellations have greater density packing than the self-dual tessellations {4λ,4λ}{4λ,4λ} implying that the associated codes achieve the least error probability, or equivalently, that these codes are optimum codes

Edge-pairing isometries and counting Dirichlet domains on the densest tessellation {12g - 6; 3} for signal set design

In this paper we present a systematic procedure for the establishment of edge-pairing isometries in order to achieve the largest possible number (2g+1) of transformations pairing diametrically opposite edges and the angle between any two adjacent edges being equal to 2PI/3 as well as a procedure for counting the number of Dirichlet domains on the densest tessellation {12g - 6,3} for signal set design with applications in space-time block codes