Shall We (Math and) Dance?

Can we use mathematics, and in particular the abstract branch of category theory, to describe some basics of dance, and to highlight structural similarities between music and dance? We first summarize recent studies between mathematics and dance, and between music and categories. Then, we extend this formalism and diagrammatic thinking style to dance.Comment: preprin

Strutture e trasformazioni condivise in matematica e musica: dalle categorie alla musicologia / Shared structures and transformations in mathematics and music: From categories to musicology

Le mutue influenze tra scienza e musica, iniziate con Pitagora, caratterizzano la ricerca musicale contemporanea, dalla teoria all'analisi della performance. La matematica può collegare campi diversi: in particolare, la teoria matematica delle categorie e, più in generale, il pensiero diagrammatico, costituiscono un potente strumento per analizzare i processi e le trasformazioni tra i processi. Una categoria è data da oggetti (punti) e trasformazioni tra di loro (frecce), che verificano la proprietà associativa e possiedono l’elemento neutro. Punti e frecce costituiscono diagrammi. Un'intera categoria può essere vista come un punto e le trasformazioni tra categorie possono essere rappresentate tramite frecce. Diagrammi dove diversi percorsi che partono dallo stesso oggetto A portano allo stesso oggetto B sono chiamati commutativi. Le categorie vengono utilizzate per confrontare e trovare analogie tra strutture e metodi matematici, per estrarre informazioni essenziali e generali. Le categorie sono anche usate per connettere e trovare somiglianze all'interno della musica e tra musica ed arti visive, anche per evidenziare somiglianze di schemi e gesti rilevanti a livello cognitivo. L'analisi musicale ha un ruolo simile nell’estrapolazione di informazioni specifiche e dati non evidenti dell'organizzazione strutturale delle composizioni musicali. In questo contributo, per la prima volta, applichiamo il pensiero categoriale all'analisi musicale. In particolare, contestualizziamo in un quadro matematico una specifica metodologia analitica proposta in letteratura, che mette in relazione e confronta le informazioni che possono essere evinte separatamente dall'analisi della partitura (costrutto) e dall'ascolto (salienza), con riferimenti alla cognizione. In generale, le "strutture percepite", che emergono all'ascolto, sono diverse dalle "strutture costruite", che emergono dall'analisi della partitura. Ciò significa che, se rappresentiamo ogni processo come una composizione di frecce, il risultato finale non è lo stesso oggetto. Pertanto, i processi di ascolto e analisi della partitura possono essere rappresentati come un diagramma non commutativo. Un'indagine matematica più approfondita rivela tuttavia che, per lo stesso pezzo, i possibili diversi valori di output rimangono tutti all'interno dello stesso insieme, che caratterizza il pezzo musicale analizzato. Inoltre, l'unione delle diverse risposte fornite da diversi ascoltatori definisce il pezzo, e l'intersezione delle risposte fornite dagli ascoltatori rappresenta gli elementi essenziali del pezzo. Questi elementi consentono la riconoscibilità del pezzo attraverso la diversità di esecuzioni, interpreti e ascoltatori. Infine, i diagrammi possono anche essere usati per investigare un processo compositivo generale dall'idea iniziale al pezzo finale, con la ricostruzione dei processi compositivi. La modellizzazione matematica fornisce un linguaggio e un formalismo visivo che può essere applicato indipendentemente dal particolare stile della composizione considerata. Possiamo quindi usare dei diagrammi per analizzare un pezzo e per analizzare il processo analitico stesso. L'approccio proposto ci consente di confrontare: 1. la matematica con la musica; 2. informazioni matematiche essenziali con informazioni musicali essenziali; 3. i processi che portano all'apprezzamento di informazioni essenziali in entrambi i campi. Tale operazione di "filtraggio" può essere utilizzata come strumento analitico nell’ambito dell'analisi musicale, dello studio della composizione, dello studio della matematica e della pedagogia delle STEAM.Mutual influences between science and music, which started with Pythagoras, characterize contemporary musical research, from theory to analysis of performance. Mathematics can connect different fields: in particular, mathematical category theory, and, more in general, diagrammatic thinking, constitutes a powerful tool to analyze processes and transformations between processes. A category is given by objects (points) and transformations between them (arrows), that verify associativity and identity properties. Points and arrows constitute diagrams. A whole category can be seen as a point, and transformations between categories can be represented via arrows. Diagrams where different paths starting from the same object A lead to the same object B, are called commutative. Categories are used to compare and find analogies between mathematical structures and methods, to extract essential and general information. Categories are also used to connect and find similarities within music, and between music and visual arts, even to highlight cognitive-relevant similarities of patterns and gestures. Musical analysis plays a similar role in extracting specific information and non-evident data about structural organization of musical compositions. In this paper, for the first time, we apply categorical thinking to musical analysis. In particular, we contextualize in a mathematical framework a specific analytical methodology proposed in literature, which relates and compares the information that can be separately retrieved from the score analysis (construct) and the listening (salience), with reference to cognition. In general, ‘perceived structures,’ retrieved via listening, are different from ‘built structures,’ retrieved via score analysis. This means that, if we represent each process as a composition of arrows, the final result is not the same object. Thus, the processes of listening and score analysis can be represented as a non- commutative diagram. However, a more in-depth mathematical investigation reveals that, for the same piece, the possible different output values stay all within the same set, that characterizes the musical piece investigated. Moreover, the union of different answers from different listeners defines the piece, and the intersection of listeners’ answers represents the essential elements of the piece. These elements allow the piece’s recognizability through the diversity of performances, performers, and listeners. Finally, diagrams can also be used to investigate a general compositional process from the initial idea to the final piece, with the reconstruction of compositional processes. Mathematical contextualization provides language and visual formalism to be applied independently by the particular composition style. Thus, we can use diagrams to analyze a piece, and to analyze the analytical process itself. The proposed approach allows us to compare: 1. mathematics with music; 2. essential mathematical information with essential musical information; 3. the processes that lead to the extraction of essential information in both fields. Such a ‘filtering’ operation can be used as an analytical tool in the framework of musical analysis, composition study, mathematics study, as well as for the pedagogy of STEAM

Simmetrie fra Matematica e Musica

Cos’è la simmetria in musica? Come investigare suoni e strutture musicali alla luce della simmetria? E quale può essere, in questa ricerca, il ruolo della matematica? Il premio Nobel per la Fisica F. Wilczek definisce la simmetria come un “cambiamento senza cambiamento”, un’invarianza rispetto a una trasforma- zione. La ricerca di simmetria e di bellezza può essere intesa come la ricerca di equilibrio fra regolarità e variazione. Se la regolarità aiuta la memoria, è invece la varietà a stimolare l’attenzione e la curiosità. Argomenti fisico-ma- tematici come la teoria dei gruppi, l’acustica e la teoria dei segnali fornisco- no strumenti di indagine anche all’estetica musicale. Il tema della simmetria fra matematica e musica è il filo conduttore dei testi di fisici, matematici, teorici della musica e compositori presenti in questa antologia, scelti e tradotti da Federico Favali e Maria Mannone. Il volume comprende scritti di D. Kempf, G. Rochberg, J. W. Bernard, D. Wilson, R. Donnini, D. Tymoczko, V. Hart, O. Fernández Herrero, G. W. Don - K. K. Muir - G. B. Volk - J. S. Walker. Prefazione di David Fontanesi; postafzione di Giovanni Albini

Simmetrie fra Matematica e Musica

Cos’è la simmetria in musica? Come investigare suoni e strutture musicali alla luce della simmetria? E quale può essere, in questa ricerca, il ruolo della matematica? Il premio Nobel per la Fisica F. Wilczek definisce la simmetria come un “cambiamento senza cambiamento”, un’invarianza rispetto a una trasforma- zione. La ricerca di simmetria e di bellezza può essere intesa come la ricerca di equilibrio fra regolarità e variazione. Se la regolarità aiuta la memoria, è invece la varietà a stimolare l’attenzione e la curiosità. Argomenti fisico-ma- tematici come la teoria dei gruppi, l’acustica e la teoria dei segnali fornisco- no strumenti di indagine anche all’estetica musicale. Il tema della simmetria fra matematica e musica è il filo conduttore dei testi di fisici, matematici, teorici della musica e compositori presenti in questa antologia, scelti e tradotti da Federico Favali e Maria Mannone. Il volume comprende scritti di D. Kempf, G. Rochberg, J. W. Bernard, D. Wilson, R. Donnini, D. Tymoczko, V. Hart, O. Fernández Herrero, G. W. Don - K. K. Muir - G. B. Volk - J. S. Walker. Prefazione di David Fontanesi; postfazione di Giovanni Albini

Mathematics and Musical Entropy

Arts can provide intuitive examples to enhance the understanding of complex mathematical concepts. Also, mathematics can give precise answers to musical questions that can be raised during the analysis of works of art including musical scores. If musical parameters and mathematical objects are seen as belonging to categories, analysis becomes a dialogue and a mapping between them. This paper develops an idea of “open” musicology that exploits suggestions and contaminations with other research areas, first of all from mathematics and the mathematical formalism behind physics. The focus is on the concept of entropy joined with Discrete Fourier Transforms (DFT), that can be extended to the definition of a musical entropy, as an abstract concept, as well as a computational paradigm. The entropy can be seen as the quantification of the degree of disorder throughout the temporal evolution of musical structures of an entire musical piece. Entropy can also be considered with respect to one or more musical parameters. Their temporal evolution acquires an artistic meaning in itself, as well as the variation of its degree. A method to quantitively evaluate the degree of entropy is presented: a new approach to the topic of entropy, that can also open new pedagogical scenarios. (Received September 16, 2019