Le problème de scindement pour les groupes de tresses du plan projectif et un quotient remarquable des groupes de tresses soudées

This thesis is divided into two parts. The first part concerns surface braid groups, while thesecond deals with welded and unrestricted virtual braid groups.Let n, m ∈ N, and let Bn,m(RP 2) be the set of (n + m)-braids of the projective plane whoseassociated permutation lies in the subgroup Sn × Sm of the symmetric group Sn+m. In the firstpart of this work, we study the splitting problem of the following generalised Fadell–Neuwirth shortexact sequence:1 ! Bm(RP 2 ∖ {x1, . . . , xn}) ! Bn,m(RP 2) ̄q−! Bn(RP 2) ! 1,where the map ̄q can be considered geometrically as the epimorphism that forgets the last m strands,as well as the existence of a section of the corresponding fibration q ∶ Fn+m(RP 2)~Sn × Sm !Fn(RP 2)~Sn, where we denote by Fn(RP 2) the nth ordered configuration space of the projectiveplane RP 2.Our main results are the following: if n = 1 the homomorphism ̄q and the corresponding fibrationq admits no section, while if n = 2, then ̄q and q admit a section. For n ≥ 3, we show that if ̄q and qadmit a section then m ≡ 0, (n − 1)2 mod n(n − 1). Moreover, using geometric constructions, weshow that the homomorphism ̄q and the fibration q admit a section for m = kn(2n − 1)(2n − 2),where k ≥ 1, and for m = 2n(n − 1). In addition, we show that for m ≥ 3, Bm(RP 2 ∖ {x1, . . . , xn})is not residually nilpotent and for m ≥ 5, it is not residually solvable.Let n ∈ N. In the second part of this work, we study the welded braid groups W Bn, theunrestricted virtual braid groups U V Bn, as well as their pure subgroups, namely the welded purebraid groups W Pn and unrestricted virtual pure braid groups U V Pn.Our main results are as follows: for n ≥ 5, we give a complete description, up to conjugation,of all possible homomorphisms from W Bn and U V Bn to the symmetric group Sn. For n ≥ 3, wegive a complete characterisation of any group homomorphism from U V Bn to any finite groupG. For n ≥ 5, we prove that W Pn and U V Pn are characteristic subgroups of W Bn and U V Bnrespectively. In addition, we determine the automorphism group of U V Pn, and we prove thatZ2 × Z2 is a subgroup of the outer automorphism group of U V Bn. Lastly, we show that U V Bnand U V Pn are residually finite and Hopfian but not co-Hopfian.Keywords: Surface braid groups; Group presentation; Fadell–Neuwirth short exact sequence;Section problem; Fibration; Residually nilpotent; Residually solvable; Welded braid groups; Unre-stricted virtual braid groups; Right-angled Artin groups; Automorphism group; Residually finite;Hopfian; Co-Hopfian.Cette thèse est divisée en deux parties. La première partie concerne des groupes de tresses dessurfaces, tandis que la deuxième traite des groupes de tresses soudées et des groupes de tressesvirtuelles sans restrictions.Soient n, m ∈ N∗ et Bn,m(RP 2) l’ensemble des (n + m)-tresses du plan projectif dont la permu-tation associée appartient au sous-groupe Sn × Sm du groupe symétrique Sn+m. Dans la premièrepartie de cette thèse, nous étudions le problème de scindement de la suivante suite exacte courtegénéralisée de Fadell–Neuwirth:1 ! Bm(RP 2 ∖ {x1, . . . , xn}) ! Bn,m(RP 2) ̄q−! Bn(RP 2) ! 1,où l’application ̄q peut être considérée géométriquement comme l’épimorphisme qui oublie les mderniers brins, ainsi que l’existence d’une section de la fibration correspondante q ∶ Fn+m(RP 2)~Sn ×Sm ! Fn(RP 2)~Sn, où on note par Fn(RP 2) le n−ème espace de configurations ordonnées du planprojectif RP 2.Nos principaux résultats sont les suivants : si n = 1 l’homomorphisme ̄q et la fibration corre-spondante q n’admettent aucune section, tandis que si n = 2, alors ̄q et q admettent une section.Pour n ≥ 3, on montre que si ̄q et q admettent une section alors m ≡ 0, (n − 1)2 mod n(n − 1). Deplus, l’homomorphisme ̄q et la fibration q admettent une section pour m = kn(2n − 1)(2n − 2), oùk ≥ 1, et pour m = 2n(n − 1). En outre, nous prouvons que pour m ≥ 3, Bm(RP 2 ∖ {x1, . . . , xn})n’est pas résiduellement nilpotent et pour m ≥ 5, il n’est pas résiduellement résoluble.Soit n ∈ N. Dans la deuxième partie de la thèse, nous étudions les groupes de tresses soudéesW Bn et les groupes de tresses virtuelles sans restrictions U V Bn, ainsi que leurs sous-groupes purs,c’est-à-dire les groupes de tresses pures soudées W Pn et les groupes de tresses pures virtuelles sansrestrictions U V Pn.Nos principaux résultats sont les suivants : pour n ≥ 5, nous donnons une description complète,à conjugaison près, des homomorphismes possibles de W Bn et U V Bn dans le groupe symétrique Sn.Pour n ≥ 3, on donne une caractérisation complète des homomorphismes de U V Bn dans tout groupefini G. Pour n ≥ 5, nous montrons que W Pn et U V Pn sont des sous-groupes caractéristiques deW Bn et U V Bn respectivement. De plus, nous déterminons le groupe des automorphismes de U V Pn,et nous prouvons que Z2 ×Z2 est un sous-groupe du groupe des automorphismes extérieurs de U V Bn.Enfin, nous montrons que U V Bn et U V Pn sont résiduellement finis et Hopfiens mais pas co-Hopfien

The braid groups Bn,m(RP2)B_{n,m}(\mathbb{R}P^2) and the splitting problem of the generalised Fadell-Neuwirth short exact sequence

32 pages, 11 figuresLet $n,m\in \mathbb{N}$, and let $B_{n,m}(\mathbb{R}P^2)$ be the set of $(n + m)$-braids of the projective plane whose associated permutation lies in the subgroup $S_n\times S_m$ of the symmetric group $S_{n+m}$. We study the splitting problem of the following generalisation of the Fadell-Neuwirth short exact sequence: $$1\rightarrow B_m(\mathbb{R}P^2 \setminus \{x_1,\dots,x_n\})\rightarrow B_{n,m}(\mathbb{R}P^2)\xrightarrow{\bar{q}} B_n(\mathbb{R}P^2)\rightarrow 1,$$ where the map $\bar{q}$ can be considered geometrically as the epimorphism that forgets the last $m$ strands, as well as the existence of a section of the corresponding fibration $q:F_{n+m}(\mathbb{R}P^2)/S_n\times S_m\to F_{n}(\mathbb{R}P^2)/S_n$, where we denote by $F_n(\mathbb{R}P^2)$ the $n^{th}$ ordered configuration space of the projective plane $\mathbb{R}P^2$. Our main results are the following: if $n=1$ the homomorphism $\bar{q}$ and the corresponding fibration $q$ admits no section, while if $n=2$, then $\bar{q}$ and $q$ admit a section. For $n\geq 3$, we show that if $\bar{q}$ and $q$ admit a section then $m\equiv 0, (n-1)^2\ \textrm{mod}\ n(n-1)$. Moreover, using geometric constructions, we show that the homomorphism $\bar{q}$ and the fibration $q$ admit a section for $m=kn(2n-1)(2n-2)$, where $k\geq1$, and for $m=2n(n-1)$. In addition, we show that for $m\geq3$, $B_m(\mathbb{R}P^2\setminus\{x_1,\dots,x_n\})$ is not residually nilpotent and for $m\geq 5$, it is not residually solvable

The unrestricted virtual braid groups UVBnUVB_n

14 pagesLet $UVB_n$ and $UVP_n$ be the unrestricted virtual braid group and the unrestricted virtual pure braid group on n strands respectively. We study the groups $UVB_n$ and $UVP_n$, and our main results are as follows: for $n\geq 5$, we give a complete description, up to conjugation, to all possible homomorphisms from $UVB_n$ to the symmetric group $S_n$. For $n\geq 3$, we characterise all possible images of $UVB_n$, under a group homomorphism, to any finite group $G$. For $n\geq 5$, we prove that $UVP_n$ is a characteristic subgroup of $UVB_n$. In addition, we determine the automorphism group of $UVP_n$ and we prove that $\mathbb{Z}_2\times\mathbb{Z}_2$ is a subgroup of the outer automorphism group of $UVB_n$. Lastly, we show that $UVB_n$ and $UVP_n$ are residually finite and Hopfian but not co-Hopfian. We also remark that some of these results hold accordingly for the welded braid group $WB_n$ and we discuss about its automorphism group

Le problème de scindement pour les groupes de tresses du plan projectif et un quotient remarquable des groupes de tresses soudées

Cette thèse est divisée en deux parties. La première partie concerne des groupes de tresses des surfaces, tandis que la deuxième traite des groupes de tresses soudées et des groupes de tresses virtuelles sans restrictions.Soient $n,m\in\mathbb{N}^*$ et $B_{n,m}(\mathbb{R}P^2)$ l'ensemble des $(n+m)$-tresses du plan projectif dont la permutation associée appartient au sous-groupe $S_n\times S_m$ du groupe symétrique $S_{n+m}$. Dans la première partie de cette thèse, nous étudions le problème de scindement de la suivante suite exacte courte généralisée de Fadell--Neuwirth:1\rightarrow B_m(\mathbb{R}P^2 \setminus \{x_1,\dots,x_n\})\rightarrowB_{n,m}(\mathbb{R}P^2)\xrightarrow{\bar{q}} B_n(\mathbb{R}P^2)\rightarrow 1,où l'application $\bar{q}$ peut être considérée géométriquement comme l'épimorphisme qui oublie les $m$ derniers brins, ainsi que l'existence d'une section de la fibration correspondante $q:F_{n+m}(\mathbb{R}P^2)/S_n\times S_m\to F_{n}(\mathbb{R}P^2)/S_n$, où on note par $F_n(\mathbb{R}P^2)$ le $n-$ème espace de configurations ordonnées du plan projectif $\mathbb{R}P^2$.Nos principaux résultats sont les suivants : si $n=1$ l'homomorphisme $\bar{q}$ et la fibration correspondante $q$ n'admettent aucune section, tandis que si $n=2$, alors $\bar{q}$ et $q$ admettent une section. Pour $n\geq 3$, on montre que si $\bar{q}$ et $q$ admettent une section alors $m\equiv 0, (n-1)^2\ \textrm{mod}\ n(n-1)$. De plus, l'homomorphisme $\bar{q}$ et la fibration $q$ admettent une section pour $m=kn(2n-1)(2n-2)$, où $k\geq1$, et pour $m=2n(n-1)$.En outre, nous prouvons que pour $m\geq3$, $B_m(\mathbb{R}P^2\setminus\{x_1,\dots,x_n\})$ n’est pas résiduellement nilpotent et pour $m\geq5$, il n’est pas résiduellement résoluble.Soit $n\in \mathbb{N}$. Dans la deuxième partie de la thèse, nous étudions les groupes de tresses soudées $WB_n$ et les groupes de tresses virtuelles sans restrictions $UVB_n$, ainsi que leurs sous-groupes purs, c'est-à-dire les groupes de tresses pures soudées $WP_n$ et les groupes de tresses pures virtuelles sans restrictions $UVP_n$.Nos principaux résultats sont les suivants : pour $n\geq 5$, nous donnons une description complète, à conjugaison près, des homomorphismes possibles de $WB_n$ et $UVB_n$ dans le groupe symétrique $S_n$. Pour $n\geq 3$, on donne une caractérisation complète des homomorphismes de $UVB_n$ dans tout groupe fini $G$. Pour $n\geq 5$, nous montrons que $WP_n$ et $UVP_n$ sont des sous-groupes caractéristiques de $WB_n$ et $UVB_n$ respectivement. De plus, nous déterminons le groupe des automorphismes de $UVP_n$, et nous prouvons que $\mathbb{Z}_2\times\mathbb{Z}_2$ est un sous-groupe du groupe des automorphismes extérieurs de $UVB_n$. Enfin, nous montrons que $UVB_n$ et $UVP_n$ sont résiduellement finis et Hopfiens mais pas co-Hopfiens.This thesis is divided into two parts. The first part concerns surface braid groups, while the second deals with welded and unrestricted virtual braid groups.Let $n,m\in \mathbb{N}$, and let $B_{n,m}(\mathbb{R}P^2)$ be the set of $(n + m)$-braids of the projective plane whose associated permutation lies in the subgroup $S_n\times S_m$ of the symmetric group $S_{n+m}$.In the first part of this work, we study the splitting problem of the following generalised Fadell--Neuwirth short exact sequence:1\rightarrow B_m(\mathbb{R}P^2 \setminus \{x_1,\dots,x_n\})\rightarrowB_{n,m}(\mathbb{R}P^2)\xrightarrow{\bar{q}} B_n(\mathbb{R}P^2)\rightarrow 1,where the map $\bar{q}$ can be considered geometrically as the epimorphism that forgets the last $m$ strands, as well as the existence of a section of the corresponding fibration $q:F_{n+m}(\mathbb{R}P^2)/S_n\times S_m\to F_{n}(\mathbb{R}P^2)/S_n$, where we denote by $F_n(\mathbb{R}P^2)$ the $n^{th}$ ordered configuration space of the projective plane $\mathbb{R}P^2$.Our main results are the following: if $n=1$ the homomorphism $\bar{q}$ and the corresponding fibration $q$ admits no section, while if $n=2$, then $\bar{q}$ and $q$ admit a section. For $n\geq 3$, we show that if $\bar{q}$ and $q$ admit a section then $m\equiv 0, (n-1)^2\ \textrm{mod}\ n(n-1)$. Moreover, using geometric constructions, we show that the homomorphism $\bar{q}$ and the fibration $q$ admit a section for $m=kn(2n-1)(2n-2)$, where $k\geq1$, and for $m=2n(n-1)$.In addition, we show that for $m\geq3$, $B_m(\mathbb{R}P^2\setminus\{x_1,\dots,x_n\})$ is not residually nilpotent and for $m\geq 5$, it is not residually solvable.Let $n\in \mathbb{N}$. In the second part of this work, we study the welded braid groups $WB_n$, the unrestricted virtual braid groups $UVB_n$, as well as their pure subgroups, namely the welded pure braid groups $WP_n$ and unrestricted virtual pure braid groups $UVP_n$.Our main results are as follows: for $n\geq 5$, we give a complete description, up to conjugation, of all possible homomorphisms from $WB_n$ and $UVB_n$ to the symmetric group $S_n$. For $n\geq 3$, we give a complete characterisation of any group homomorphism from $UVB_n$ to any finite group $G$. For $n\geq 5$, we prove that $WP_n$ and $UVP_n$ are characteristic subgroups of $WB_n$ and $UVB_n$ respectively. In addition, we determine the automorphism group of $UVP_n$, and we prove that $\mathbb{Z}_2\times\mathbb{Z}_2$ is a subgroup of the outer automorphism group of $UVB_n$. Lastly, we show that $UVB_n$ and $UVP_n$ are residually finite and Hopfian but not co-Hopfian

The braid groups Bn,m(RP2)B_{n,m}(\mathbb{R}P^2) and the splitting problem of the generalised Fadell-Neuwirth short exact sequence

32 pages, 11 figuresLet $n,m\in \mathbb{N}$, and let $B_{n,m}(\mathbb{R}P^2)$ be the set of $(n + m)$-braids of the projective plane whose associated permutation lies in the subgroup $S_n\times S_m$ of the symmetric group $S_{n+m}$. We study the splitting problem of the following generalisation of the Fadell-Neuwirth short exact sequence: $$1\rightarrow B_m(\mathbb{R}P^2 \setminus \{x_1,\dots,x_n\})\rightarrow B_{n,m}(\mathbb{R}P^2)\xrightarrow{\bar{q}} B_n(\mathbb{R}P^2)\rightarrow 1,$$ where the map $\bar{q}$ can be considered geometrically as the epimorphism that forgets the last $m$ strands, as well as the existence of a section of the corresponding fibration $q:F_{n+m}(\mathbb{R}P^2)/S_n\times S_m\to F_{n}(\mathbb{R}P^2)/S_n$, where we denote by $F_n(\mathbb{R}P^2)$ the $n^{th}$ ordered configuration space of the projective plane $\mathbb{R}P^2$. Our main results are the following: if $n=1$ the homomorphism $\bar{q}$ and the corresponding fibration $q$ admits no section, while if $n=2$, then $\bar{q}$ and $q$ admit a section. For $n\geq 3$, we show that if $\bar{q}$ and $q$ admit a section then $m\equiv 0, (n-1)^2\ \textrm{mod}\ n(n-1)$. Moreover, using geometric constructions, we show that the homomorphism $\bar{q}$ and the fibration $q$ admit a section for $m=kn(2n-1)(2n-2)$, where $k\geq1$, and for $m=2n(n-1)$. In addition, we show that for $m\geq3$, $B_m(\mathbb{R}P^2\setminus\{x_1,\dots,x_n\})$ is not residually nilpotent and for $m\geq 5$, it is not residually solvable

Le problème de scindement pour les groupes de tresses du plan projectif et un quotient remarquable des groupes de tresses soudées

This thesis is divided into two parts. The first part concerns surface braid groups, while the second deals with welded and unrestricted virtual braid groups.Let $n,m\in \mathbb{N}$, and let $B_{n,m}(\mathbb{R}P^2)$ be the set of $(n + m)$-braids of the projective plane whose associated permutation lies in the subgroup $S_n\times S_m$ of the symmetric group $S_{n+m}$.In the first part of this work, we study the splitting problem of the following generalised Fadell--Neuwirth short exact sequence:1\rightarrow B_m(\mathbb{R}P^2 \setminus \{x_1,\dots,x_n\})\rightarrowB_{n,m}(\mathbb{R}P^2)\xrightarrow{\bar{q}} B_n(\mathbb{R}P^2)\rightarrow 1,where the map $\bar{q}$ can be considered geometrically as the epimorphism that forgets the last $m$ strands, as well as the existence of a section of the corresponding fibration $q:F_{n+m}(\mathbb{R}P^2)/S_n\times S_m\to F_{n}(\mathbb{R}P^2)/S_n$, where we denote by $F_n(\mathbb{R}P^2)$ the $n^{th}$ ordered configuration space of the projective plane $\mathbb{R}P^2$.Our main results are the following: if $n=1$ the homomorphism $\bar{q}$ and the corresponding fibration $q$ admits no section, while if $n=2$, then $\bar{q}$ and $q$ admit a section. For $n\geq 3$, we show that if $\bar{q}$ and $q$ admit a section then $m\equiv 0, (n-1)^2\ \textrm{mod}\ n(n-1)$. Moreover, using geometric constructions, we show that the homomorphism $\bar{q}$ and the fibration $q$ admit a section for $m=kn(2n-1)(2n-2)$, where $k\geq1$, and for $m=2n(n-1)$.In addition, we show that for $m\geq3$, $B_m(\mathbb{R}P^2\setminus\{x_1,\dots,x_n\})$ is not residually nilpotent and for $m\geq 5$, it is not residually solvable.Let $n\in \mathbb{N}$. In the second part of this work, we study the welded braid groups $WB_n$, the unrestricted virtual braid groups $UVB_n$, as well as their pure subgroups, namely the welded pure braid groups $WP_n$ and unrestricted virtual pure braid groups $UVP_n$.Our main results are as follows: for $n\geq 5$, we give a complete description, up to conjugation, of all possible homomorphisms from $WB_n$ and $UVB_n$ to the symmetric group $S_n$. For $n\geq 3$, we give a complete characterisation of any group homomorphism from $UVB_n$ to any finite group $G$. For $n\geq 5$, we prove that $WP_n$ and $UVP_n$ are characteristic subgroups of $WB_n$ and $UVB_n$ respectively. In addition, we determine the automorphism group of $UVP_n$, and we prove that $\mathbb{Z}_2\times\mathbb{Z}_2$ is a subgroup of the outer automorphism group of $UVB_n$. Lastly, we show that $UVB_n$ and $UVP_n$ are residually finite and Hopfian but not co-Hopfian.Cette thèse est divisée en deux parties. La première partie concerne des groupes de tresses des surfaces, tandis que la deuxième traite des groupes de tresses soudées et des groupes de tresses virtuelles sans restrictions.Soient $n,m\in\mathbb{N}^*$ et $B_{n,m}(\mathbb{R}P^2)$ l'ensemble des $(n+m)$-tresses du plan projectif dont la permutation associée appartient au sous-groupe $S_n\times S_m$ du groupe symétrique $S_{n+m}$. Dans la première partie de cette thèse, nous étudions le problème de scindement de la suivante suite exacte courte généralisée de Fadell--Neuwirth:1\rightarrow B_m(\mathbb{R}P^2 \setminus \{x_1,\dots,x_n\})\rightarrowB_{n,m}(\mathbb{R}P^2)\xrightarrow{\bar{q}} B_n(\mathbb{R}P^2)\rightarrow 1,où l'application $\bar{q}$ peut être considérée géométriquement comme l'épimorphisme qui oublie les $m$ derniers brins, ainsi que l'existence d'une section de la fibration correspondante $q:F_{n+m}(\mathbb{R}P^2)/S_n\times S_m\to F_{n}(\mathbb{R}P^2)/S_n$, où on note par $F_n(\mathbb{R}P^2)$ le $n-$ème espace de configurations ordonnées du plan projectif $\mathbb{R}P^2$.Nos principaux résultats sont les suivants : si $n=1$ l'homomorphisme $\bar{q}$ et la fibration correspondante $q$ n'admettent aucune section, tandis que si $n=2$, alors $\bar{q}$ et $q$ admettent une section. Pour $n\geq 3$, on montre que si $\bar{q}$ et $q$ admettent une section alors $m\equiv 0, (n-1)^2\ \textrm{mod}\ n(n-1)$. De plus, l'homomorphisme $\bar{q}$ et la fibration $q$ admettent une section pour $m=kn(2n-1)(2n-2)$, où $k\geq1$, et pour $m=2n(n-1)$.En outre, nous prouvons que pour $m\geq3$, $B_m(\mathbb{R}P^2\setminus\{x_1,\dots,x_n\})$ n’est pas résiduellement nilpotent et pour $m\geq5$, il n’est pas résiduellement résoluble.Soit $n\in \mathbb{N}$. Dans la deuxième partie de la thèse, nous étudions les groupes de tresses soudées $WB_n$ et les groupes de tresses virtuelles sans restrictions $UVB_n$, ainsi que leurs sous-groupes purs, c'est-à-dire les groupes de tresses pures soudées $WP_n$ et les groupes de tresses pures virtuelles sans restrictions $UVP_n$.Nos principaux résultats sont les suivants : pour $n\geq 5$, nous donnons une description complète, à conjugaison près, des homomorphismes possibles de $WB_n$ et $UVB_n$ dans le groupe symétrique $S_n$. Pour $n\geq 3$, on donne une caractérisation complète des homomorphismes de $UVB_n$ dans tout groupe fini $G$. Pour $n\geq 5$, nous montrons que $WP_n$ et $UVP_n$ sont des sous-groupes caractéristiques de $WB_n$ et $UVB_n$ respectivement. De plus, nous déterminons le groupe des automorphismes de $UVP_n$, et nous prouvons que $\mathbb{Z}_2\times\mathbb{Z}_2$ est un sous-groupe du groupe des automorphismes extérieurs de $UVB_n$. Enfin, nous montrons que $UVB_n$ et $UVP_n$ sont résiduellement finis et Hopfiens mais pas co-Hopfiens

The unrestricted virtual braid groups UVBnUVB_n

14 pagesLet $UVB_n$ and $UVP_n$ be the unrestricted virtual braid group and the unrestricted virtual pure braid group on n strands respectively. We study the groups $UVB_n$ and $UVP_n$, and our main results are as follows: for $n\geq 5$, we give a complete description, up to conjugation, to all possible homomorphisms from $UVB_n$ to the symmetric group $S_n$. For $n\geq 3$, we characterise all possible images of $UVB_n$, under a group homomorphism, to any finite group $G$. For $n\geq 5$, we prove that $UVP_n$ is a characteristic subgroup of $UVB_n$. In addition, we determine the automorphism group of $UVP_n$ and we prove that $\mathbb{Z}_2\times\mathbb{Z}_2$ is a subgroup of the outer automorphism group of $UVB_n$. Lastly, we show that $UVB_n$ and $UVP_n$ are residually finite and Hopfian but not co-Hopfian. We also remark that some of these results hold accordingly for the welded braid group $WB_n$ and we discuss about its automorphism group

Unrestricted virtual braids and crystallographic braid groups

We show that the crystallographic braid group $B_n/[P_n,P_n]$ embeds naturally in the group of unrestricted virtual braids $UVB_n$, we give new proofs of known results about the torsion elements of $B_n/[P_n,P_n]$, and we characterise the torsion elements of $UVB_n$