Quantitative unique continuation for real-valued solutions to second order elliptic equations in the plane

In this article, we study a quantitative form of the Landis conjecture on exponential decay for real-valued solutions to second order elliptic equations with variable coefficients in the plane. In particular, we prove the following qualitative form of Landis conjecture, for $W_1, W_2 \in L^{\infty}(\mathbb R^2;\mathbb R^2)$, $V \in L^{\infty}(\mathbb R^2;\mathbb R)$ and $u \in H_{\mathrm{loc}}^{1}(\mathbb R^2)$ a real-valued weak solution to $-\Delta u - \nabla \cdot ( W_1 u ) +W_2 \cdot \nabla u + V u = 0$ in $\mathbb R^2$, satisfying for $\delta>0$, $|u(x)| \leq \exp(- |x|^{1+\delta})$, $x \in \mathbb R^2$, then $u \equiv 0$. Our methodology of proof is inspired by the one recently developed by Logunov, Malinnikova, Nadirashvili, and Nazarov that have treated the equation $-\Delta u + V u = 0$ in $\mathbb R^2$. Nevertheless, several differences and additional difficulties appear. New weak quantitative maximum principles are established for the construction of a positive multiplier in a suitable perforated domain, depending on the nodal set of $u$. The resulted divergence elliptic equation is then transformed into a non-homogeneous $\partial_{\overline{z}}$ equation thanks to a generalization of Stoilow factorization theorem obtained by the theory of quasiconformal mappings, an approximate type Poincar\'e lemma and the use of the Cauchy transform. Finally, a suitable Carleman estimate applied to the operator $\partial_{\overline{z}}$ is the last ingredient of our proof.Comment: Comments welcom

CONTRIBUIÇÃO AO ESTUDO CLINICO DOS ANTIESTREPTOCOCCICOS NÃO AZOICOS

Comentários sobre o trabalho "Contribuição ao estudo clínico dos antiestreptococcicos não azoicos", de J. J. Gournay e Y. Le Balc'h. "Biologie Médicale", Paris, ano 35, vol. 27, suplemento, 1937

Controllability of nonlinear reaction-diffusion sytems

Cette thèse est consacrée au contrôle de quelques équations aux dérivées partielles non linéaires. On s’intéresse notamment à des systèmes paraboliques de réaction-diffusion non linéaires issus de la cinétique chimique. L’objectif principal est de démontrer des résultats de contrôlabilité locale ou globale, en temps petit, ou en temps grand.Dans une première partie, on démontre un résultat de contrôlabilité locale à des états stationnaires positifs en temps petit, pour un système de réaction-diffusion non linéaire.Dans une deuxième partie, on résout une question de contrôlabilité globale à zéro en temps petit pour un système 2 × 2 de réaction-diffusion non linéaire avec un couplage impair.La troisième partie est consacrée au célèbre problème ouvert d’Enrique Fernández-Cara et d’Enrique Zuazua des années 2000 concernant la contrôlabilité globale à zéro de l’équation de la chaleur faiblement non linéaire. On démontre un résultat de contrôlabilité globale à états positifs en temps petit et un résultat de contrôlabilité globale à zéro en temps long.La dernière partie, rédigée en collaboration avec Karine Beauchard et Armand Koenig, est une incursion vers l’hyperbolique. On étudie des systèmes linéaires à coefficients constants, couplant une dynamique transport avec une dynamique parabolique. On identifie leur temps minimal de contrôle et l’influence de leur structure algébrique sur leurs propriétés de contrôle.This thesis is devoted to the control of nonlinear partial differential equations. We are mostly interested in nonlinear parabolic reaction-diffusion systems in reaction kinetics. Our main goal is to prove local or global controllability results in small time or in large time.In a first part, we prove a local controllability result to nonnegative stationary states in small time, for a nonlinear reaction-diffusion system.In a second part, we solve a question concerning the global null-controllability in small time for a 2 × 2 nonlinear reaction-diffusion system with an odd coupling term.The third part focuses on the famous open problem due to Enrique Fernndez-Cara and Enrique Zuazua in 2000, concerning the global null-controllability of the weak semi-linear heat equation. We show that the equation is globally nonnegative controllable in small time and globally null-controllable in large time.The last part, which is a joint work with Karine Beauchard and Armand Koenig, enters the hyperbolic world. We study linear parabolic-transport systems with constant coeffcients. We identify their minimal time of control and the influence of their algebraic structure on the controllability properties

Contrôlabilité locale de système de réaction-diffusion autour d'états stationnaires positifs

We consider a n × n nonlinear reaction-diffusion system posed on a smooth bounded domain Ω of R N. This system models reversible chemical reactions. We act on the system through m controls (1 ≤ m 0. A specificity of this control system is the existence of some invariant quantities in the nonlinear dynamics that prevents controllability from happening in the whole space L ∞ (Ω) n. The proof relies on several ingredients. First, an adequate affine change of variables transforms the system into a cascade system with second order coupling terms. Secondly, we establish a new null-controllability result for the linearized system thanks to a spectral inequality for finite sums of eigenfunctions of the Neumann Laplacian operator, due to David Jerison, Gilles Lebeau and Luc Robbiano and precise observability inequalities for a family of finite dimensional systems. Thirdly, the source term method, introduced by Yuning Liu, Takéo Taka-hashi and Marius Tucsnak, is revisited in a L ∞-context. Finally, an appropriate inverse mapping theorem enables to go back to the nonlinear reaction-diffusion system

Contrôlabilité de systèmes de réaction-diffusion non linéaires

This thesis is devoted to the control of nonlinear partial differential equations. We are mostly interested in nonlinear parabolic reaction-diffusion systems in reaction kinetics. Our main goal is to prove local or global controllability results in small time or in large time.In a first part, we prove a local controllability result to nonnegative stationary states in small time, for a nonlinear reaction-diffusion system.In a second part, we solve a question concerning the global null-controllability in small time for a 2 × 2 nonlinear reaction-diffusion system with an odd coupling term.The third part focuses on the famous open problem due to Enrique Fernndez-Cara and Enrique Zuazua in 2000, concerning the global null-controllability of the weak semi-linear heat equation. We show that the equation is globally nonnegative controllable in small time and globally null-controllable in large time.The last part, which is a joint work with Karine Beauchard and Armand Koenig, enters the hyperbolic world. We study linear parabolic-transport systems with constant coeffcients. We identify their minimal time of control and the influence of their algebraic structure on the controllability properties.Cette thèse est consacrée au contrôle de quelques équations aux dérivées partielles non linéaires. On s’intéresse notamment à des systèmes paraboliques de réaction-diffusion non linéaires issus de la cinétique chimique. L’objectif principal est de démontrer des résultats de contrôlabilité locale ou globale, en temps petit, ou en temps grand.Dans une première partie, on démontre un résultat de contrôlabilité locale à des états stationnaires positifs en temps petit, pour un système de réaction-diffusion non linéaire.Dans une deuxième partie, on résout une question de contrôlabilité globale à zéro en temps petit pour un système 2 × 2 de réaction-diffusion non linéaire avec un couplage impair.La troisième partie est consacrée au célèbre problème ouvert d’Enrique Fernández-Cara et d’Enrique Zuazua des années 2000 concernant la contrôlabilité globale à zéro de l’équation de la chaleur faiblement non linéaire. On démontre un résultat de contrôlabilité globale à états positifs en temps petit et un résultat de contrôlabilité globale à zéro en temps long.La dernière partie, rédigée en collaboration avec Karine Beauchard et Armand Koenig, est une incursion vers l’hyperbolique. On étudie des systèmes linéaires à coefficients constants, couplant une dynamique transport avec une dynamique parabolique. On identifie leur temps minimal de contrôle et l’influence de leur structure algébrique sur leurs propriétés de contrôle