Estimation non-paramétrique de mesures de risque pour des lois conditionnelles à queues lourdes avec application à des extrêmes pluviométriques

National audienceL'étude et la maîtrise des risques extrêmes est d'un grand intéret afin d'anticiper des catastrophes et ainsi permettre l'aménagement du territoire. Les hydrologues s'intéressent à l'estimation de la hauteur de pluie journalière pouvant être dépassée par exemple tous les 100 ans. On parle dans ce cas de pluie centennale. Cette mesure de risque est appelée Value-at-Risk et représente le quantile d'ordre p de la fonction de survie de la variable aléatoire d'intérêt. Bien que cette mesure de risque soit la plus utilisée, elle ne fournit qu'une information ponctuelle et donc sous-estime l'impactdu sinistre. Dans le but de lui trouver une alternative, d'autres mesures de risques ont été proposées afin de prendre en compte les incertitudes sur les évènements extrêmes.Nos travaux consistent à introduire et à estimer une nouvelle mesure de risque appellée Conditional Tail Moment. Elle est définie comme le moment d'ordre a > 0 de la loi de la variable aléatoire d'intérêt au-delà du quantile d'ordre p. Estimer le Conditional Tail Moment permet d'estimer toutes les mesures de risque basées sur les moments conditionnels telles que la Conditional Tail Expectation, la Conditional Value-at-Risk ou la Condi-tional Tail Variance. On s'intéresse à l'estimation de ces mesures de risque dans un cadre extrême, c'est-à-dire lorsque p tend vers 0 lorsque la taille de l'échantillon augmente. On suppose également que la loi de la variable aléatoire d'intérêt est à queue lourde et qu'elle dépend d'une covariable. Les estimateurs proposés combinent des méthodes d'estimation non-paramétrique à noyau avec des méthodes issues de la statistique des valeurs extrêmes. On établira le comportement asymptotique de nos estimateurs. On appliquera nos travaux à un jeu de données pluviométriques fourni par le Laboratoire d'étude des Transferts en Hydrologie et Environnement de Grenoble. On dispose des hauteurs de pluies journalières en millimètres entre les années 1958 et 2000 sur 523 stations situées dans la région des Cévennes-Vivarais. Dans ce contexte, les variables d'intérêt sont les précipitations journalières et les covariables sont les coordonnées géographiques des stations. En conclusion, on pourra estimer des mesures de risque extrêmes en des sites où l'on ne dispose pas de mesure

Estimation de mesures de risque pour des pluies extrêmes dans la région Cévennes-Vivarais

National audienceOn dénombre de nombreuses mesures de risque dans la littérature dont la Value-at-Risk et la Conditional Tail Expectation. En termes statistiques, la Value-at-Risk est un quantile de la distribution de la variable aléatoire d'intérêt. En termes hydrologiques, la Value-at-Risk de la distribution des pluies est le niveau de retour. La Conditional Tail Expectation est la moyenne des précipitations plus élevées que la Value-at-Risk. On s'intéresse à l'estimation de ces mesures de risque dans le cas de pluies extrêmes modélisées par des lois à queues lourdes. Afin de prendre en compte les facteurs géographiques dans notre estimation on considèrera aussi ces mesures de risque en présence d'une covariable. On donnera les propriétés théoriques de nos estimateurs et on illustrera leurs comportements sur un jeu de données pluviométriques provenant de la région Cévennes-Vivarais

Estimation de mesures de risque pour des pluies extrêmes dans la région Cévennes-Vivarais

International audienceMany risk measures can be found in the literature such as the Value-at-Risk and the Conditional Tail Expectation. In statistical terms, the Value-at-Risk is a upper quantile of the distribution of the variable of interest. In hydrology, the Value-at-Risk of the rainfall distribution is the return level. The Conditional Tail Expectation is the mean of the rainfalls larger than the Value-at-Risk. Here, we focus on the estimation of these risk measures in case of extreme rainfall modeled by heavy-tailed distributions. In order to take into account the geographical factors, we also assume that these risk measures depend on a covariate. We present the theoretical properties of our estimators and we illustrate their behaviour on a real data set of daily rainfalls in the Cévennes-Vivarais region.On dénombre de nombreuses mesures de risque dans la littérature dont la Value-at-Risk et la Conditional Tail Expectation. En termes statistiques, la Value-at-Risk est un quantile de la distribution de la variable aléatoire d'intérêt. En termes hydrologiques, la Value-at-Risk de la distribution des pluies est le niveau de retour. La Conditional Tail Expectation est la moyenne des précipitations plus élevées que la Value-at-Risk. On s'intéresse à l'estimation de ces mesures de risque dans le cas de pluies extrêmes modélisées par des lois à queues lourdes. Afin de prendre en compte les facteurs géographiques dans notre estimation on considèrera aussi ces mesures de risque en présence d'une covariable. On donnera les propriétés théoriques de nos estimateurs et on illustrera leurs comportements sur un jeu de données pluviométriques provenant de la région Cévennes-Vivarais

Non-parametric estimation of extreme risk measures from conditional heavy-tailed distributions

International audienceIn this paper, we introduce a new risk measure, the so-called Conditional Tail Moment. It is the moment of order a>0 of the loss distribution above the upper alpha-quantile. Estimating the Conditional Tail Moment permits to estimate all risk measures based on conditional moments such as Conditional Tail Expectation, Conditional Value-at-Risk or Conditional Tail Variance. Here, we focus on the estimation of these risk measures in case of extreme losses (where alpha converges to 0). It is moreover assumed that the loss distribution is heavy-tailed and depends on a covariate. The estimation method thus combines nonparametric kernel methods with extreme-value statistics. The asymptotic distribution of the estimators is established and their finite sample behavior is illustrated both on simulated data and on a real data set of daily rainfalls in the Cévennes-Vivarais region (France)

Estimation of risk measures for extreme pluviometrical measurements

International audienceExtreme rainfall statistics are often used when a flood has occurred to assess the rarity of such an event. A typical problem is to estimate the amount that will fall on a day of exceptionally heavy rainfall which is expected to occur every T years. Usually, hydrologists are interested in the value T = 100 corresponding to a centenary event. Statistically speaking, the problem is to estimate the T-year return level which is a upper quantile of the distribution of the variable of interest also called Value-at-Risk. This risk measure however suffers from several weaknesses. The estimation of a single extreme quantile only gives incomplete information on the extremes of a random variable. To put it differently, it may well be the case that a light-tailed distribution (e.g. a Gaussian distribution) and a heavy-tailed distribution share a quantile at some common level, although they clearly do not have the same behavior in their extremes. An alternative risk measure is the Conditional Tail Expectation which is the mean of the rainfalls larger than the Value-at-Risk. This risk measure thus takes into account the whole information contained in the upper tail of the distribution. It is frequently encountered in financial investment or in the insurance industry Here, we focus on the estimation of these risk measures in case of extreme rainfall modeled by heavy-tailed distributions. In order to take into account the geographical factors, we also assume that these risk measures depend on a covariate. We present the theoretical properties of our esti-mators. The behaviour and the efficiency of our estimators are illustrated on rainfall observations in the Cévennes-Vivarais region (southern part of France). This data set is provided by the French meteorological service Météo-France and consists in daily rainfalls measured at 523 raingauge stations from 1958 to 2000. In this context, the variable of interest is the daily rainfall measured in millimeters. The covariate is the three dimensional geographical location (longitude, latitude and altitude)

Contributions à l'estimation de quantiles extrêmes. Applications à des données environnementales

Cette thèse s'inscrit dans le contexte de la statistique des valeurs extrêmes. Elle y apporte deux contributions principales. Dans la littérature récente en statistique des valeurs extrêmes, un modèle de queues de distributions a été introduit afin d'englober aussi bien les lois de type Pareto que les lois à queue de type Weibull. Les deux principaux types de décroissance de la fonction de survie sont ainsi modélisés. Un estimateur des quantiles extrêmes a été déduit de ce modèle mais il dépend de deux paramètres inconnus, le rendant inutile dans des situations pratiques. La première contribution de cette thèse est de proposer des estimateurs de ces paramètres. Insérer nos estimateurs dans l'estimateur des quantiles extrêmes précédent permet alors d'estimer des quantiles extrêmes pour des lois de type Pareto aussi bien que pour des lois à queue de type Weibull d'une façon unifiée. Les lois asymptotiques de nos trois nouveaux estimateurs sont établies et leur efficacité est illustrée sur des données simulées et sur un jeu de données réelles de débits de la rivière Nidd se situant dans le Yorkshire en Angleterre. La seconde contribution de cette thèse consiste à introduire et estimer une nouvelle mesure de risque appelé Conditional Tail Moment. Elle est définie comme le moment d'ordre a>0 de la loi des pertes au-delà du quantile d'ordre p appartenant à ]0,1[ de la fonction de survie. Estimer le Conditional Tail Moment permet d'estimer toutes les mesures de risque basées sur les moments conditionnels telles que la Value-at-Risk, la Conditional Tail Expectation, la Conditional Value-at-Risk, la Conditional Tail Variance ou la Conditional Tail Skewness. Ici, on s'intéresse à l'estimation de ces mesures de risque dans le cas de pertes extrêmes c'est-à-dire lorsque p tend vers 0 lorsque la taille de l'échantillon augmente. On suppose également que la loi des pertes est à queue lourde et qu'elle dépend d'une covariable. Les estimateurs proposés combinent des méthodes d'estimation non-paramétrique à noyau avec des méthodes issues de la statistique des valeurs extrêmes. Le comportement asymptotique de nos estimateurs est établi et illustré aussi bien sur des données simulées que sur des données réelles de pluviométrie provenant de la région Cévennes-Vivarais.This thesis can be viewed within the context of extreme value statistics. It provides two main contributions to this subject area. In the recent literature on extreme value statistics, a model on tail distributions which encompasses Pareto-type distributions as well as Weibull tail-distributions has been introduced. The two main types of decreasing of the survival function are thus modeled. An estimator of extreme quantiles has been deduced from this model, but it depends on two unknown parameters, making it useless in practical situations. The first contribution of this thesis is to propose estimators of these parameters. Plugging our estimators in the previous extreme quantiles estimator allows us to estimate extreme quantiles from Pareto-type and Weibull tail-distributions in an unified way. The asymptotic distributions of our three new estimators are established and their efficiency is illustrated on a simulation study and on a real data set of exceedances of the Nidd river in the Yorkshire (England). The second contribution of this thesis is the introduction and the estimation of a new risk measure, the so-called Conditional Tail Moment. It is defined as the moment of order a>0 of the loss distribution above the quantile of order p in (0,1) of the survival function. Estimating the Conditional Tail Moment permits to estimate all risk measures based on conditional moments such as the Value-at-Risk, the Conditional Tail Expectation, the Conditional Value-at-Risk, the Conditional Tail Variance or the Conditional Tail Skewness. Here, we focus on the estimation of these risk measures in case of extreme losses i.e. when p converges to 0 when the size of the sample increases. It is moreover assumed that the loss distribution is heavy-tailed and depends on a covariate. The estimation method thus combines nonparametric kernel methods with extreme-value statistics. The asymptotic distribution of the estimators is established and their finite sample behavior is illustrated both on simulated data and on a real data set of daily rainfalls in the Cévennes-Vivarais region (France).SAVOIE-SCD - Bib.électronique (730659901) / SudocGRENOBLE1/INP-Bib.électronique (384210012) / SudocGRENOBLE2/3-Bib.électronique (384219901) / SudocSudocFranceF

Estimation de mesures de risque extrêmes

organisées par la Société Française de StatistiqueNational audienceDes mesures de risques classiques sont la Value-at-Risk, la Conditional Tail Expectation, la Conditional Value-at-Risk et la Conditional Tail Variance. En termes statistique, la Value-at-Risk est le quantile de niveau de con fiance alpha de la distribution des pertes. On s'intéresse aux propriétés de ces mesures de risque dans le cas de pertes extrêmes (où alpha n'est plus fixé mais tend vers 0) qu'on supposera modélisées par des lois à queues lourdes. On considérera aussi ces mesures de risque avec la présence d'une covariable. On ajoute ainsi deux difficultés dans l'estimation de mesures de risque. Par conséquent, le but principal de cette communication est de proposer des estimateurs de toutes les mesures de risque énoncées ci-dessus pour des pertes extrêmes dans le cas de lois à queues lourdes en présence d'une covariable. On établira les propriétés asymptotiques de nos estimateurs et on illustrera leurs comportements sur des données simulées et sur un jeu de données pluviométriques

Estimation de mesures de risque pour des pluies extrêmes dans la région Cévennes-Vivarais

National audienceOn dénombre de nombreuses mesures de risque dans la littérature dont la Value-at-Risk et la Conditional Tail Expectation. En termes statistiques, la Value-at-Risk est un quantile de la distribution de la variable aléatoire d'intérêt. En termes hydrologiques, la Value-at-Risk de la distribution des pluies est le niveau de retour. La Conditional Tail Expectation est la moyenne des précipitations plus élevées que la Value-at-Risk. On s'intéresse à l'estimation de ces mesures de risque dans le cas de pluies extrêmes modélisées par des lois à queues lourdes. Afin de prendre en compte les facteurs géographiques dans notre estimation on considèrera aussi ces mesures de risque en présence d'une covariable. On donnera les propriétés théoriques de nos estimateurs et on illustrera leurs comportements sur un jeu de données pluviométriques provenant de la région Cévennes-Vivarais

Kernel estimation of extreme risk measures for all domains of attraction

International audienceVariance are classical risk measures. In statistical terms, the Value-at-risk is the upper α-quantile of the loss distribution where α ∈ (0, 1) is the confidence level. Here, we focus on the properties of these risk measures for extreme losses (where α ↓ 0 is no longer fixed). To assign probabilities to extreme losses we assume that the distribution satisfies a von-Mises condi- tion which allows us to work in the general setting, whether the extreme- value index is positive, negative or zero i.e. for all domains of attraction. We also consider these risk measures in the presence of a covariate. The main goal of this communication is to propose estimators of the above risk measures for all domains of attraction, for extreme losses, and to include a covariate in the estimation. The estimation method thus combines non- parametric kernel methods with extreme-value statistics. The asymptotic distribution of our estimators is established and their finite sample behavior is illustrated on simulated data and on a real data set of daily rainfall

Kernel estimation of extreme risk measures for all domains of attraction

International audienceVariance are classical risk measures. In statistical terms, the Value-at-risk is the upper α-quantile of the loss distribution where α ∈ (0, 1) is the confidence level. Here, we focus on the properties of these risk measures for extreme losses (where α ↓ 0 is no longer fixed). To assign probabilities to extreme losses we assume that the distribution satisfies a von-Mises condi- tion which allows us to work in the general setting, whether the extreme- value index is positive, negative or zero i.e. for all domains of attraction. We also consider these risk measures in the presence of a covariate. The main goal of this communication is to propose estimators of the above risk measures for all domains of attraction, for extreme losses, and to include a covariate in the estimation. The estimation method thus combines non- parametric kernel methods with extreme-value statistics. The asymptotic distribution of our estimators is established and their finite sample behavior is illustrated on simulated data and on a real data set of daily rainfall