A combination of Kohn-Vogelius and DDM methods for a geometrical inverse problem

We consider the inverse geometrical problem of identifying the discontinuity curve of an electrical conductivity from boundary measurements. This standard inverse problem is used as a model to introduce and study a combined inversion algorithm coupling a gradient descent on the Kohn-Vogelius cost functional with a domain decomposition method that includes the unknown curve in the domain partitioning. We prove the local convergence of the method in a simplified case and numerically show its efficiency for some two dimensional experiments

Méthodes d'inversion combinées pour les problèmes inverses de conductivité

In this thesis, we develop an inversion method that combines the use of a Kohn-Vogeliustype cost functional with a non-overlapping domain decomposition method as an iterativesolver. The idea behind this method is to iterate simultaneously on the solution of the directproblem using the domain decomposition method and on the unknown of the inverse problemusing gradient descent on the Kohn-Vogelius cost functional. This type of approach falls intothe category of ”one-shot inversion methods,” and its use has the potential to significantlyreduce the cost of inversion when the numerical solution of the direct problem is costly. Weare particularly interested in the case of geometric inverse problems where the unknown ofthe inverse problem is the support of a physical parameter’s discontinuity. The developmentsmade in this area were modeled on the inverse electrical conductivity problem, where the goalis to reconstruct the conductivity discontinuity interface from Cauchy data on the domainboundary. We prove the local convergence of the method in simplified cases and numericallyshow its efficiency for some two dimensional experiments with synthetic data. Additionally,we extend our approach to the more complex case where we also iterate on the value of con-ductivity. In this context, we have also developed an alternating inversion algorithm betweenthe geometry and the inner value of the conductivity, with an adaptive descent step.Dans cette thèse, nous développons une méthode d'inversion qui combine l'utilisation d'une fonctionnelle coût de type Kohn-Vogelius avec une méthode de décomposition de domaine sans recouvrement en tant que solveur itératif. L'idée derrière cette méthode est d'itérer simultanément sur la solution du problème direct via la méthode de décomposition de domaine et sur l'inconnue du problème inverse en utilisant une descente de gradient sur la fonctionnelle de Kohn-Vogelius. Ce type d'approche fait partie de la famille des méthodes dites "one-shot inversion methods", et son utilisation a le potentiel de réduire sensiblement le coût de l'inversion lorsque la résolution du problème direct est coûteuse. Nous nous intéressons plus particulièrement au cas des problèmes inverses géométriques où l'inconnue du problème inverse est le support d'une discontinuité d'un paramètre physique. Les développements réalisés sur cette thématique ont pris pour modèle inverse le problème inverse de conductivité électrique, où l'on cherche à reconstruire l'interface de discontinuité de la conductivité à partir de données de Cauchy sur la frontière du domaine. Nous prouvons un résultat de convergence locale de la méthode dans des cas simplifiés et l'avons validée numériquement pour certaines expériences bidimensionnelles avec des données synthétiques. De plus, nous étendons notre approche au cas plus complexe où l'on itère également sur la valeur de la conductivité. Dans ce contexte, nous avons également développé un algorithme d'inversion alternée entre la géométrie et la valeur intérieure de la conductivité, avec un pas de descente adaptatif