Degree distribution in random planar graphs

We prove that for each $k\ge0$, the probability that a root vertex in a random planar graph has degree $k$ tends to a computable constant $d_k$, so that the expected number of vertices of degree $k$ is asymptotically $d_k n$, and moreover that $\sum_k d_k =1$. The proof uses the tools developed by Gimenez and Noy in their solution to the problem of the asymptotic enumeration of planar graphs, and is based on a detailed analysis of the generating functions involved in counting planar graphs. However, in order to keep track of the degree of the root, new technical difficulties arise. We obtain explicit, although quite involved expressions, for the coefficients in the singular expansions of the generating functions of interest, which allow us to use transfer theorems in order to get an explicit expression for the probability generating function $p(w)=\sum_k d_k w^k$. From this we can compute the $d_k$ to any degree of accuracy, and derive the asymptotic estimate $d_k \sim c\cdot k^{-1/2} q^k$ for large values of $k$, where $q \approx 0.67$ is a constant defined analytically

Asymptotic enumeration and limit laws for graphs of fixed genus

It is shown that the number of labelled graphs with n vertices that can be embedded in the orientable surface S_g of genus g grows asymptotically like $c^{(g)}n^{5(g-1)/2-1}\gamma^n n!$ where $c^{(g)}>0$, and $\gamma \approx 27.23$ is the exponential growth rate of planar graphs. This generalizes the result for the planar case g=0, obtained by Gimenez and Noy. An analogous result for non-orientable surfaces is obtained. In addition, it is proved that several parameters of interest behave asymptotically as in the planar case. It follows, in particular, that a random graph embeddable in S_g has a unique 2-connected component of linear size with high probability

Aixecament arquitectònic i estudi fisico-constructiu de la masia "La Vall" de Mura

L'objectiu general d’aquest projecte és analitzar i estudiar una masia típica catalana, la Vall, de Mura, al Bages, província de Barcelona, amb gran importància històrica (data de 1168), per tal de poder deixar constància de la seva evolució històrica i conèixer quines són les principals lesions que l'afecten i com solucionar-ne les més importants. Així, amb aquestes dades es podrà realitzar una futura proposta d'intervenció per donar una nova vida a la masia, és a dir, per rehabilitar-la. D’acord amb el context socioeconòmic que ens afecta, s'hauria de prioritzar la rehabilitació abans que la construcció d'obra nova, no només tenint en compte criteris socials i econòmics, sinó també mediambientals. Podríem dividir la metodologia utilitzada en aquest treball en tres fases: 1. Estudi històric, 2. Aixecament arquitectònic i 3. Estudi i anàlisi de les lesions (diagnosi). 1. L’estudi històric ha estat necessari per conèixer la història i l’evolució de l’edifici, així com per treballar amb les mínimes suposicions i evitar actuacions poc encertades. S’ha dut a terme per mitjà de documentació i recerca, tant sobre la història de la masia catalana en general, com de la masia que ens ocupa en aquest projecte, la Vall. Ara bé, cal destacar que la informació documental que s’ha trobat sobre la nostra masia ha estat mínima, de manera que l’estudi històric s’ha hagut de completar per mitjà del treball de camp, in situ. 2. L’aixecament arquitectònic s’ha realitzat a fi de conèixer gràficament l'edifici (distribució, façanes, coberta, sistemes estructurals, materials utilitzats…), amb el màxim detall possible per tal de poder-ne realitzar una anàlisi en profunditat. S’ha dividit en tres parts: (a) croquis, (b) acotació de croquis per mitjà de diferents mètodes i (c) aixecament de croquis i acotacions en format digital amb AutoCAD. (a) La primera part de l'aixecament arquitectònic ha consistit a traçar els croquis de cada planta, mantenint les proporcions. (b) Posteriorment, amb l’ajuda d’unes piquetes (estacions) col·locades a l’exterior i cordes (alineacions), hem pogut anar acotant els croquis, fent servir diferents mètodes, com són el mètode de triangulació i/o el d’alineament, segons les necessitats. (c) Finalment, s’han aixecat els croquis i les acotacions per mitjà d’AutoCAD i s’ha arribat a representar l’edifici per mitjà de diferents plànols (cotes; estructura horitzontal; estructura vertical; lesions; detalls; paviments; distribució, superfície i cotes de nivell, entre d’altres) en format digital 3. Estudi i anàlisi de les lesions (diagnosi). El primer pas en la diagnosi va ser realitzar un seguit de càlculs estructurals (parets de càrrega i forjats), per tal de determinar l’estabilitat de l’edifici. Seguidament es va procedir a determinar i classificar cada una de les lesions. Per tal de fer-ho de manera ordenada, primer de tot es va realitzar una enumeració i localització de les lesions en el terreny i en els plànols; tot seguit, es va descriure cada lesió de manera detallada (situació dins la masia, segons la planta, l’estança i la ubicació exacta; causes, relació amb altres lesions, etc.), i posteriorment es va elaborar una fitxa tècnica numerada de cada lesió, on s’hi especifiquen les característiques principals de cadascuna: tipus de lesió, origen, actuació, imatges reals i plànols amb la zona afectada

On the diameter of random planar graphs

International audienceWe show that the diameter $D(G_n)$ of a random (unembedded) labelled connected planar graph with $n$ vertices is asymptotically almost surely of order $n^{1/4}$, in the sense that there exists a constant $c>0$ such that $P(D(G_n) \in (n^{1/4-\epsilon} ,n^{1/4+\epsilon})) \geq 1-\exp (-n^{c\epsilon})$ for $\epsilon$ small enough and $n$ large enough $(n \geq n_0(\epsilon))$. We prove similar statements for rooted $2$-connected and $3$-connected embedded (maps) and unembedded planar graphs