Reduction of large-scale RLCk models via low-rank balanced truncation

Model order reduction (MOR) is an important step in the design process of integrated circuits. Specifically, the electromagnetic models extracted from modern complex designs result in a large number of passive elements that introduce limitations in the simulation process. MOR techniques based on balanced truncation (BT) can overcome these limitations by producing compact reduced-order models (ROMs) that approximate the behavior of the original models at the input/output ports. In this paper, we present a low-rank BT method that exploits the extended Krylov subspace and efficient implementation techniques for the reduction of large-scale models. Experimental evaluation on a diverse set of analog and mixed-signal circuits with millions of elements indicates that up to x5.5 smaller ROMs can be produced with similar accuracy to ANSYS RaptorX ROMs

MORCIC: Model Order Reduction Techniques for Electromagnetic Models of Integrated Circuits

Model order reduction (MOR) is crucial for the design process of integrated circuits. Specifically, the vast amount of passive RLCk elements in electromagnetic models extracted from physical layouts exacerbates the extraction time, the storage requirements, and, most critically, the post-layout simulation time of the analyzed circuits. The MORCIC project aims to overcome this problem by proposing new MOR techniques that perform better than commercial tools. Experimental evaluation on several analog and mixed-signal circuits with millions of elements indicates that the proposed methods lead to x5.5 smaller ROMs while maintaining similar accuracy compared to golden ROMs provided by ANSYS RaptorX.Comment: arXiv admin note: substantial text overlap with arXiv:2311.0847

Καινοτόμες τεχνικές ανάλυσης χρονισμού κυκλωμάτων πολύ μεγάλης κλίμακας ολοκλήρωσης σε προηγμένες τεχνολογίες

Timing analysis is an essential and demanding verification method used during the initial design and iterative optimization of a Very Large Scale Integrated (VLSI) circuit, while it also constitutes the cornerstone of the final signoff that dictates whether the chip can be released to the semiconductor foundry for fabrication. Throughout the last few decades, the relentless demand for high-performance and energy-efficient circuits has been met by aggressive technology scaling, which enabled the integration of a vast number of devices into the same die but brought new problems and challenges to the surface. In nanometer technology nodes, on-chip VLSI interconnects are more resistive and have an ever-increasing impact on gate and interconnect delay, while nonlinear transistor and Miller capacitances imply that signals no longer resemble smooth and saturated ramps. At the same time, manufacturing process variations have become significantly more pronounced, which in turn calls for sophisticated timing analysis techniques to reduce the uncertainty in timing estimation. From another perspective, the timing guardbands enforced by the traditional design paradigm to protect circuits from variation-induced timing errors are overly pessimistic since they are estimated using Static Timing Analysis (STA) under rare worst-case timing conditions, ignoring the workload variability and leaving extensive dynamic timing margins unexploited. To this end, this dissertation presents novel techniques for accurate and efficient timing analysis of VLSI circuits in advanced technology nodes, which address different aspects of the problem, starting from gate and interconnect delay calculation and moving to timing analysis under process variation and Dynamic Timing Analysis (DTA). In the first part of this thesis, we focus on gate and interconnect delay calculation, which is the heart of any timing analysis technique. On the gate side, we present an iterative algorithm that accurately approximates the nonlinear signal waveforms by piecewise linear ramps, using multiple effective capacitance values to take the resistive shielding effect into account. Contrary to prior works, our approach is compatible with industrial Current Source Models (CSMs), considers the Miller effect, and is computationally efficient since it relies on closed-form formulas and convergences in very few iterations. We demonstrate that our method achieves greater accuracy than related schemes that assume a single effective capacitance value or ignore the impact of Miller capacitance. On the interconnect side, we propose a sparsity-aware Model Order Reduction (MOR) technique for efficient signoff timing analysis of large interconnects with many ports. As opposed to well-established MOR techniques, our method produces sparse reduced-order models by applying key congruence transformations on the original interconnect model and then exploiting the correspondence between Laplacian matrices and circuit graphs. Moreover, the generated models can be straightforwardly realized into equivalent compact RC networks and utilized in several other analysis steps of the design flow. We show that a high sparsity ratio of the reduced system matrices can be achieved without significant accuracy loss, leading to enhanced simulation runtimes compared to a well-known MOR technique that produces dense matrices. In the second part, we introduce a novel statistical methodology based on Monte Carlo (MC) simulation and Extreme Value Theory (EVT) for timing analysis of VLSI circuits under process variations in gate and interconnect parameters. In contrast to corner-based or traditional statistical approaches, our method provides fast yet accurate results regardless of the underlying timing models and any assumption about the propagated distributions, thus being very suitable for both transistor-level and gate-level timing analysis. Experimental results indicate that our method requires only a few thousand MC trials to yield highly accurate worst-case delay estimates, providing a speedup of six orders of magnitude over exhaustive MC simulation. Finally, the concept of gate-level event-driven simulation is leveraged to develop an accurate DTA framework that identifies the dynamic timing slacks existing during the operation of a VLSI circuit according to the processed data. Contrary to conventional graph-based DTA that inherently relies on worst-case assumptions, the proposed event-driven DTA considers the actual data-dependent timing properties of the activated paths. Thus, it reveals significantly more dynamic timing slack, especially for the most critical paths, enabling the opportunity for substantial dynamic frequency or voltage scaling and considerably more accurate estimation of timing failures.Η ανάλυση χρονισμού ανέκαθεν αποτελούσε το σημαντικότερο βήμα της διαδικασίας επαλήθευσης της λειτουργίας κυκλωμάτων πολύ μεγάλης κλίμακας ολοκλήρωσης (Very Large Scale Integration - VLSI). Πρόκειται για μια κρίσιμη και απαιτητική ανάλυση, η οποία χρησιμοποιείται τόσο κατά την αρχική σχεδίαση και την επανειλημμένη βελτιστοποίηση του κυκλώματος, όσο και στην τελική επαλήθευση που είναι καθοριστικής σημασίας για την ορθή κατασκευή και λειτουργία του ολοκληρωμένου κυκλώματος. Κατά τις τελευταίες δεκαετίες, η αμείλικτη ζήτηση για γρηγορότερα και χαμηλότερης ισχύος κυκλώματα VLSI ικανοποιείται με τη συνεχή κλιμάκωση της τεχνολογίας, η οποία έχει οδηγήσει σε ολοένα και πιο περίπλοκες σχεδιάσεις, φέρνοντας στην επιφάνεια νέα προβλήματα και προκλήσεις. Στις προηγμένες τεχνολογίες ολοκλήρωσης των μερικών νανομέτρων, οι αγωγοί διασύνδεσης έχουν ολοένα και αυξανόμενη επίδραση στην καθυστέρηση του κυκλώματος, καθώς εισάγουν μεγαλύτερη παρασιτική αντίσταση, ενώ παράλληλα τα λογικά σήματα αδυνατούν πλέον να προσεγγιστούν με ακρίβεια από απλές γραμμικές κυματομορφές λόγω των μη γραμμικών παρασιτικών χωρητικοτήτων των τρανζίστορ, συμπεριλαμβανομένων των χωρητικοτήτων Miller. Επιπρόσθετα, οι διακυμάνσεις των σχεδιαστικών παραμέτρων γίνονται ολοένα και πιο έντονες, δημιουργώντας την ανάγκη για εξελιγμένες στατιστικές τεχνικές ώστε να μειωθεί η αβεβαιότητα κατά την ανάλυση χρονισμού. Προκειμένου να προστατέψουν τα κυκλώματα από σφάλματα που οφείλονται στις συγκεκριμένες διακυμάνσεις, οι σχεδιαστές εισάγουν επιπλέον περιθώρια καθυστέρησης, τα οποία είναι άκρως πεσιμιστικά διότι παραδοσιακά υπολογίζονται μέσω στατικής ανάλυσης χρονισμού (Static Timing Analysis - STA) κάτω από παραδοχές χειρότερης περίπτωσης, αγνοώντας τις διαφοροποιήσεις των εισόδων, αφήνοντας έτσι ανεκμετάλλευτα εκτενή δυναμικά περιθώρια χρονισμού. Βάσει των παραπάνω, η παρούσα διδακτορική διατριβή προτείνει νέες τεχνικές για ακριβή και αποδοτική ανάλυση χρονισμού κυκλωμάτων VLSI, οι οποίες αντιμετωπίζουν διαφορετικές πτυχές του προβλήματος, από τον υπολογισμό της καθυστέρησης πυλών και διασυνδέσεων έως και την ανάλυση χρονισμού κάτω από διακυμάνσεις των σχεδιαστικών παραμέτρων και τη δυναμική ανάλυση χρονισμού (Dynamic Timing Analysis - DTA). Το πρώτο μέρος της διατριβής επικεντρώνεται στον υπολογισμό της καθυστέρησης πυλών και διασυνδέσεων, ο οποίος αποτελεί τον πυρήνα οποιασδήποτε τεχνικής ανάλυσης χρονισμού. Σχετικά με την ανάλυση καθυστέρησης των πυλών, παρουσιάζεται ένας ακριβής επαναληπτικός αλγόριθμος, ο οποίος προσεγγίζει τα μη γραμμικά σήματα με τμηματικά γραμμικές κυματομορφές, υπολογίζοντας την ισοδύναμη χωρητικότητα των διασυνδέσεων σε πολλαπλές περιοχές, προκειμένου να λάβει υπόψη τη δυναμική της συμπεριφορά. Αντίθετα με προγενέστερες προσεγγίσεις, ο προτεινόμενος αλγόριθμος βασίζεται σε πρόσφατα βιομηχανικά μοντέλα πηγής ρεύματος (Current Source Models – CSMs), συνυπολογίζει το φαινόμενο Miller, ενώ παράλληλα είναι εξαιρετικά αποδοτικός μιας και αξιοποιεί απλές μαθηματικές εκφράσεις κλειστού τύπου για τους υπολογισμούς και επιτυγχάνει σύγκλιση εντός ελάχιστων επαναλήψεων. Η πειραματική αξιολόγηση του αλγορίθμου δείχνει πως πετυχαίνει καλύτερη ακρίβεια σε σύγκριση με μεθόδους που είτε θεωρούν μοναδική ισοδύναμη χωρητικότητα είτε αγνοούν το φαινόμενο Miller. ́Οσον αφορά τους VLSI αγωγούς διασύνδεσης, προτείνουμε μια τεχνική μείωσης τάξης μοντέλου (Model Order Reduction - MOR) για ακριβή και γρήγορη ανάλυση χρονισμού μεγάλων παρασιτικών RC μοντέλων με πολλές θύρες εισόδου/εξόδου. Αντίθετα με καθιερωμένες τεχνικές MOR που οδηγούν σε πυκνούς πίνακες μειωμένης τάξης, η προτεινόμενη τεχνική προσεγγίζει τους πυκνούς πίνακες με τους κοντινότερους πίνακες που έχουν αντιστοιχία με γράφους και στη συνέχεια εφαρμόζει τεχνικές αραιοποίησης γράφων για να παράγει αραιά μειωμένα μοντέλα. Τα πλεονεκτήματα της μεθόδου είναι πως τα αραιά μοντέλα οδηγούν σε επιτάχυνση της προσομοίωσης με μικρή απώλεια στην ακρίβεια εκτίμησης της καθυστέρησης, ενώ επίσης μπορούν να μετατραπούν σε ισοδύναμα RC δίκτυα μεγέθους πολύ μικρότερου του αρχικού και να επαναχρησιμοποιηθούν κατά τη σχεδίαση. Στη συνέχεια, εισάγουμε μια νέα στατιστική μεθοδολογία βασισμένη στην προσομοίωση Monte Carlo και στη θεωρία ακραίων τιμών, για την ανάλυση χρονισμού κυκλωμάτων VLSI υπό διακύμανση των φυσικών παραμέτρων των πυλών και των διασυνδέσεων. Συγκριτικά με τεχνικές που επικεντρώνονται στις ακραίες περιπτώσεις διακύμανσης και με παραδοσιακές στατιστικές τεχνικές, η μεθοδολογία μας δεν βασίζεται σε απλουστευμένες παραδοχές για τον τύπο της κατανομής καθυστέρησης σε κάθε κόμβο του κυκλώματος και είναι ανεξάρτητη των υποκείμενων μοντέλων καθυστέρησης, με αποτέλεσμα να είναι κατάλληλη για ανάλυση τόσο σε επίπεδο τρανζίστορ όσο και σε επίπεδο πυλών. Τα πειραματικά αποτελέσματα υποδεικνύουν ότι η συγκεκριμένη μέθοδος απαιτεί μόλις μερικές χιλιάδες δοκιμές Monte Carlo ώστε να παρέχει γρήγορη και ακριβή εκτίμηση της χειρότερης καθυστέρησης, επιτυγχάνοντας έως και έξι τάξεις μεγέθους επιτάχυνση συγκριτικά με μια πλήρη προσομοίωση Monte Carlo. Τέλος, αναπτύσσεται ένα εργαλείο DTA βασισμένο σε προσομοίωση επιπέδου πύλης οδηγούμενη από γεγονότα (event-driven gate-level simulation), το οποίο υπολογίζει με ακρίβεια τα δυναμικά περιθώρια χρονισμού που υπάρχουν κατά τη λειτουργία του κυκλώματος σύμφωνα με τα επεξεργαζόμενα δεδομένα. Σε αντίθεση με συμβατικές graph-based μεθόδους, οι οποίες θεωρούν καθυστερήσεις χειρότερης περίπτωσης σε κάθε στοιχείο του κυκλώματος, η προτεινόμενη event-driven DTA προσέγγιση λαμβάνει υπόψη τα πραγματικά χαρακτηριστικά χρονισμού των ενεργοποιημένων μονοπατιών. ́Ετσι, αναδεικνύει σημαντικά περισσότερα δυναμικά περιθώρια χρονισμού, ειδικά για τα κρισιμότερα μονοπάτια, προσφέροντας τη δυνατότητα για αξιοσημείωτη δυναμική μεταβολή της συχνότητας λειτουργίας και της τάσης τροφοδοσίας του κυκλώματος, παρέχοντας παράλληλα ακριβέστερη εκτίμηση των σφαλμάτων χρονισμού