Eine Bemerkung zu Henkin's Beweis für die Vollständigkeit des Prädikatenkalküls der ersten Stufe

Im Folgenden wird eine Vereinfachung der Beweisanordnung für Henkin's Theorem [2] p. 162 angegeben (Abschnitt I). - Die Vereinfachung zeigt sich u.a. darin, daß für den abgeänderten Beweis eine Abschätzung der "projektiven Klasse” (im Sinne der Kleene-Mostowski'schen Theorie der projektiven Mengen von natürlichen Zahlen) für das zu konstruierende Modell gelingt (Abschnitte II-IV). Die Kenntnis der Henkin'schen Arbeit wird vorausgesetzt. Um eine maximale widerspruchsfreie Menge Γω von geschlossenen Formeln, in der zu jeder Existenzaussage (∃x)A(x) eine Beispielaussage A(uij ) vorhanden ist, zu erhalten, führt Henkin einen Turm von Kalkülen S 0, S 1, ..., S i , ... und dessen Vereinigung Sω ein. Abwechselnd wird dann die gegebene Menge von Formeln in S i zu einer maximalen widerspruchsfreien Menge Γi erweitert und in S i+1 durch Hinzunahme von Beispielaussagen für alle Existenzaussagen aus Γi ergänzt, für die das nicht schon in einem früheren Schritt geschehen ist. Γω ist dann die Vereinigung aller Γi . Die Vereinfachung besteht nun darin, daß - nach Erweiterung von S 0 zu einem Kalkül S* durch Hinzunahme einer einfachen Folge u 1, u 2, ... von "neuen” Konstanten - in S* zu jeder Existenzaussage eine bedingte Beispielaussage gebildet wird. K sei die Klasse dieser Aussagen, Λ die gegebene widerspruchsfreie Menge; dann wird Λ* = K ◡ Λ in S* einmal zu einer maximalen widerspruchsfreien Menge ergänzt. Unter Verwendung der Standard-Anordnung aller geschlossenen Formeln von S* erhalten wir für diejenigen von der Form (∃x)A(x) eine Aufzählung (∃x)Ai (x), dazu eine Indexfolge ji (i =1, 2, ...), definiert durc