45 research outputs found
Eine Bemerkung zu Henkin's Beweis fĂŒr die VollstĂ€ndigkeit des PrĂ€dikatenkalkĂŒls der ersten Stufe
Im Folgenden wird eine Vereinfachung der Beweisanordnung fĂŒr Henkin's Theorem [2] p. 162 angegeben (Abschnitt I). - Die Vereinfachung zeigt sich u.a. darin, daĂ fĂŒr den abgeĂ€nderten Beweis eine AbschĂ€tzung der "projektiven Klasseâ (im Sinne der Kleene-Mostowski'schen Theorie der projektiven Mengen von natĂŒrlichen Zahlen) fĂŒr das zu konstruierende Modell gelingt (Abschnitte II-IV). Die Kenntnis der Henkin'schen Arbeit wird vorausgesetzt. Um eine maximale widerspruchsfreie Menge ÎÏ von geschlossenen Formeln, in der zu jeder Existenzaussage (âx)A(x) eine Beispielaussage A(uij ) vorhanden ist, zu erhalten, fĂŒhrt Henkin einen Turm von KalkĂŒlen S 0, S 1, ..., S i , ... und dessen Vereinigung SÏ ein. Abwechselnd wird dann die gegebene Menge von Formeln in S i zu einer maximalen widerspruchsfreien Menge Îi erweitert und in S i+1 durch Hinzunahme von Beispielaussagen fĂŒr alle Existenzaussagen aus Îi ergĂ€nzt, fĂŒr die das nicht schon in einem frĂŒheren Schritt geschehen ist. ÎÏ ist dann die Vereinigung aller Îi . Die Vereinfachung besteht nun darin, daĂ - nach Erweiterung von S 0 zu einem KalkĂŒl S* durch Hinzunahme einer einfachen Folge u 1, u 2, ... von "neuenâ Konstanten - in S* zu jeder Existenzaussage eine bedingte Beispielaussage gebildet wird. K sei die Klasse dieser Aussagen, Î die gegebene widerspruchsfreie Menge; dann wird Î* = K ⥠Πin S* einmal zu einer maximalen widerspruchsfreien Menge ergĂ€nzt. Unter Verwendung der Standard-Anordnung aller geschlossenen Formeln von S* erhalten wir fĂŒr diejenigen von der Form (âx)A(x) eine AufzĂ€hlung (âx)Ai (x), dazu eine Indexfolge ji (i =1, 2, ...), definiert durc