Multiplicative properties of Morin maps

In the first part of the paper we construct a ring structure on the rational cobordism classes of Morin maps (i. e. smooth generic maps of corank 1). We show that associating to a Morin map its singular strata defines a ring homomorphism to \Omega_* \otimes \Q, the rational oriented cobordism ring. This is proved by analyzing multiple-point sets of product immersion. Using these homomorphisms we are able to identify the ring of Morin maps. In the second part of the paper we compute the oriented Thom polynomial of the $\Sigma^2$ singularity type with \Q coefficients. Then we provide a product formula for the $\Sigma^2$ and the $\Sigma^{1,1}$ singularities.Comment: Corrected some small misprints and made lot of minor (mainly grammatical) alterations. 10 page

Singularities of projected immersions revisited

Sz\H ucs proved in 2000 that the $r$-tuple-point manifold of a generic immersion is cobordant to the $\Sigma^{1_{r-1}}$-point manifold of its generic projection. Here we slightly extend this by showing that the natural mappings of these manifolds are bordant to each other. The main novelty of our approach is that we construct the bordism explicitly.Comment: 8 page

Quantum tunneling on graphs

We explore the tunneling behavior of a quantum particle on a finite graph, in the presence of an asymptotically large potential. Surprisingly the behavior is governed by the local symmetry of the graph around the wells.Comment: 18 page

Szingularitások vizsgálata és holomorf geometria = Study of singularities and holomorphic geometry

Szűcsnek és Lippnernek lényeges előrelépést sikerült elérni a szinguláris leképezések kobordizmuselméletének vizsgálatában. Chevalley, Weyl csoport invariáns polinomokról szóló tételének ekvivariáns (polinom, sima vagy valós-analitikus) leképezésekre vonatkozó analogonját bizonyitotta be (társszerzők segitségével) Szőke. Némethi több cikkében vizsgálta Heegaard Floer homológiák kiszámithatóságát, és jelentősen kiterjesztette Ozsváth és Szabó egy korábbi eredményét. Egy további munkában egy új homológia elméletet definiált (a rácshomológiát), mely talán a Heegaard Floer csoportokat is kiszámitja, és több szingularitáselméleti tétel alapjául is szolgált. Szingularitások csomóin pedig belátta hogy létezik egy kitüntetett kontakt struktúra, a Milnor betölthető. Stipsicz kontakt 3-sokaságokban élő Legendre és transzverz csomók invariánsait találta meg a megfelelő Heegaard Floer csoportokban. Ezen eszközök segitségével túlcsavart kontakt sokaságokban tudott csomókat vizsgálni. Szabóval és Parkkal pedig kis Euler karakterisztikájú 4-sokaságokon találtak egzotikus sima struktúrákat. Az utóbbi pár év kutatásaiból világossá vált, hogy a sutured Floer homológia a 3-sokaságok vizsgálatában nagyon fontos szerepet játszik, lehetővé téve csomók Seifert felületeinek megkülönböztetését és osztályozását, továbbá peremes 3-sokaságok komplexitásának mérését. Juhász ezen elméletnek mind megalkotásában, mind alkalmazásában döntő szerepet játszott. Vértesi Verának Heegaard Floer elméletbeli invariánsok segitségével sikerült végtelen sok nem transzverz egyszerű csomót mutatnia. | Szűcs managed to make an essential step forward in studying the cobordism theory of singular maps. In collaboration Szőke proved an equivariant analogue of Chevalley's theorem on Weyl group invariant polynomials for polynomial, smooth or real-analytic maps. In a number of articles Némethi examined computability of Heegaard Floer invariants, and exteded earlier results of Ozsváth and Szabó. In a further paper he defined a new homology theory, lattice homology, which might have close connection to Heegaard Floer theory, but already provided interesting results in the theory of surface singularities. He also showed that on the link of a surface singularity there is a distinguished contact structure, the Milnor fillable structure. Stipsicz (in collaboration with Ozsváth, Szabó and Lisca) have found a Heegaard Floer theoretic invariant of Legendrian and transverse knots which Can be fruitfully applied in studying, for example, knots in overtwisted contact structures. With Park and Szabó they showed exotic smooth structures on certain topological 4-manifolds with small Euler characteristic. Recent research has made it clear that sutured Floer homology plays an important role in the study of 3-manifolds, making it possible to distinguish and classify Seifert surfaces of knots; furthermore, to measure the complexity of 3-manifolds with boundary. Juhász played a crucial role both in developing and in applying the theory of sutured Floer homology. Using invariants from Heegaard Floer homology Vera Vértesi constructed infinitely many non transversaly simple knots

Positive graphs

We study ‘‘positive’’ graphs that have a nonnegative homomorphism number into every edge-weighted graph (where the edge weights may be negative). We conjecture that all positive graphs can be obtained by taking two copies of an arbitrary simple graph and gluing them together along an independent set of nodes. We prove the conjecture for various classes of graphs including all trees. We prove a number of properties of positive graphs, including the fact that they have a homomorphic image which has at least half the original number of nodes but in which every edge has an even number of pre-images. The results, combined with a computer program, imply that the conjecture is true for all but one graph up to 10 nodes. © 2015 Elsevier Ltd.All rights reserved

Diszkrét és folytonos: a gráfelmélet, algebra, analízis és geometria találkozási pontjai = Discrete and Continuous: interfaces between graph theory, algebra, analysis and geometry

Sok eredmény született a gráfok növekvő konvergens sorozataival és azok limesz-objektumaival, ill. az ezek vizsgálatára szolgáló gráf-algebrákkal kapcsolatban. Kidolgozásra kerültek a nagyon nagy sűrű gráfok (hálózatok) matematikai elméletének alapjai, és ezek alkalmazásai az extremális gráfelmélet területén. Aktív és eredményes kutatás folyt a diszkrét matematika más, klasszikus matematikai területekkel való kapcsolatával kapcsolatban: topológia (a topológiai módszer alkalmazása gráfok magjára, ill a csomók elmélete), geometriai szerkezetek merevsége (a Molekuláris Sejtés bizonyítása 2 dimenzióban), diszkrét geometriai (Bang sejtésének bizonyítása), véges geometriák (lefogási problémák, extremális problémák q-analogonjai), algebra (félcsoport varietások, gráfhatványok színezése), számelmélet (additív számelmélet, Heilbronn probléma), továbbá gráfalgoritmusok (stabilis párosítások, biológiai alkalmazások)) területén. | Several results were obtained in connection with convergent growing sequences of graphs and their limit objects, and with graph algebras facilitating their study. Basic concepts for the study of very large dense graphs were worked out, along with their applications to extremal graph theory. Active and successful research was conducted concerning the interaction of discrete mathematics with other, classical areas of mathematics: topology (applications of topology in the study of kernels of graphs, and the theory of knots), rigidity of geometric structures (proof of the Molecular Conjecture in 2 dimensions), discrete geometry (proof of the conjecture of Bang), finite geometries (blocking problems, q-analogues of extremal problems), algebra (semigroup varieties, coloring of graph powers), number theory (additive number theory, heilbronn problem), and graph algorithms (stable matchings, applications in biology)