Articulación de representaciones en álgebra

Este trabajo consta de dos partes: en la primera se presentan algunos aspectos del marco teórico del Álgebra Temprana, en particular sobre artículos de Brizuela, Carraher, Kaput, Schliemann y otros, y en la segunda (de investigación) se presenta la descripción y análisis, en base a este marco teórico, de una implementación en clase en un 5o año de una escuela media de Bariloche (Argentina) y de dos entrevistas clínicas posteriores a la clase. El objetivo del trabajo es dar cuenta de distintas representaciones externas utilizadas por los estudiantes en la resolución de una actividad de álgebra. Estamos interesados en prestar especial atención a la articulación que un mismo estudiante hace entre distintas representaciones de una situación, bajo la hipótesis de que una multiplicidad de representaciones ayuda a construir un mejor entendimiento de los conceptos involucrados (Brizuela, 2005; Goldin, 1998)

Un concepto matemático muy incorporado aunque no tan obvio: El axioma de continuidad y algunas aplicaciones

En nuestra experiencia en la formación de docentes en el Profesorado de Matemática, el análisis de las fuertes implicaciones que tiene el axioma de continuidad en el estudio de la longitud, el área y el volumen en el cursado de la asignatura Geometría Métrica, nos llevó a trabajarlas con detenimiento. Baste pensar en un teorema tan importante como el de Thales, cuya demostración exige utilizar el axioma de continuidad, aunque sea de manera velada como la que presenta L. Santaló utilizando áreas. Es conveniente también considerar porqué no alcanza con una demostración como la que aparece en el libro de Repetto la que, como bien advierte la autora, es válida sólo para segmentos conmensurables. Esto devino en la necesidad de demostrar algunas proposiciones que ponen de manifiesto que, a pesar de la "naturalidad" de ciertos supuestos respecto a la "continuidad del espacio" (a través de la recta) que hace que ciertas propiedades de la longitud sean tratadas como obvias, creemos que no lo son tanto

Un análisis de razonamientos implicados en la resolución grupal de una demostración

Las dificultades y logros por los que atraviesan tantos alumnos para llegar a concretar una demostración es la preocupación que nos lleva a profundizar en el estudio de los procedimientos y operaciones mentales involucrados en el proceso de aprendizaje de la demostración y no sólo en el producto final. Una de las actividades diseñadas en el marco del Proyecto de Investigación consistió en el registro etnográfico de la interacción en pequeños grupos durante la resolución de una tarea en clase, correspondiente a la materia Geometría Euclídea del Plano del Profesorado en Matemática. En este trabajo se examina el proceso de resolución de problemas a partir de las fases de Polya por las que transitaría un resolutor ideal, pero teniendo en cuenta que estamos trabajando con sujetos reales actuando grupalmente, para nosotros no hay fases perfectas. Concebiremos dichas fases como estados por los que se pasa y a los que se puede volver durante el proceso de resolución, pudiendo darse la ocurrencia simultánea de fases distintas atendiendo a los aportes e intercambios de distintos integrantes. Se analizan también otros componentes del proceso contenido matemático, métodos de demostración, tipos de prueba y heurísticas

Una propuesta innovadora de evaluación en geometría

Describimos una modalidad de evaluación parcial, implementada en las materias Geometría Euclídea del Plano y Geometría Euclídea del Espacio del Profesorado de Matemática del Centro Regional Universitario Bariloche, que permite superar su función como mera acreditación. El trabajo que realizarán los alumnos comienza con la asignación, por parte de la cátedra, de problemas individuales y colectivos; sigue con la presentación de las producciones, de manera oral y escrita, al cabo de una semana, y culmina con la acreditación. La puesta en práctica demanda la preparación y selección de problemas adecuados. Son características de esta modalidad de evaluación: tener en cuenta los tiempos del alumno para la apropiación del conocimiento, estimularlo a desarrollar tareas de investigación del tema por evaluar, atender el desempeño de habilidades de comunicación y la integración a la dinámica de la materia, sin provocar cortes en el proceso de enseñanza-aprendizaje

Consulta a profesores como medio de aproximación a las concepciones de los estudiantes acerca del número real

El objetivo de la presente comunicación es describir el proceso mediante el cual pretendemos incorporar la voz de los profesores, a través de entrevistas, como forma de dar validez y confiabilidad a nuestra investigación sobre las comprensiones de los estudiantes acerca del número real. Asimismo buscamos comunicar el por qué consideramos importante la consulta a profesores en ejercicio acerca de la temática, cómo se realizó el diseño de la entrevista y los recaudos tomados respecto de la adecuación a la temática mencionada y por último, algunas conclusiones preliminares que surgen de estas entrevistas. Este trabajo se encuadra en el Proyecto de Investigación “Comprensión del número real por parte de estudiantes de los últimos años de secundaria e ingresantes a la universidad” subsidiado por la Universidad Nacional del Comahue. Podemos ver que la temática que nos ocupa en este proyecto, ha sido tratada en estudios realizados en diferentes países y niveles educativos. Estos muestran que un entendimiento pleno de los números reales no se da fácilmente, por lo que constituyen un desafío tanto para el aprendizaje como para la enseñanza. [Moss, J. y Case, R. (1999), Fischbein, Y. y otros (1994); Sierpinska, A. (1985); Artigue, M. (1995), Moreno-Armella, L., y Waldegg, G. (1995); Romero, C. (1996), Sierpinska, A. (1985); Artigue, M. (1995); Cornu, B. (1983); Monaghan, J. (2001); Moreno-Armella, L., y Waldegg, G. (1991); (1995); Montoro, V. (2005)]. Así mismo, en el proyecto marco nos interesa profundizar en la exploración de las ideas de los estudiantes sobre el número en cuanto asumimos que las concepciones de los aprendices constituyen el punto de partida de la enseñanza. Consideramos que para que los procesos de enseñanza propicien un aprendizaje significativo es necesario partir de las ideas que los estudiantes ponen en juego interactuando con ellas a fin de enriquecerlas o modificarlas. Particularmente nos interesan las ideas y comprensiones de los estudiantes en relación con el nivel de pericia en dominios específicos [Pozo, J. y Carretero, M. (1987), Pozo, J.I. y Scheuer, N. (1999)]. Consultar a docentes con el objeto de indagar sus anticipaciones e impresiones acerca de las ideas que ellos advierten en los alumnos sobre los distintos aspectos que nos ocupan de la comprensión del número real cobra sentido puesto que concordamos con Scheuer y otros, (2010) cuando afirman que “esas concepciones operan implícitamente en el aprendizaje y la enseñanza, en calidad de mediadoras de los procesos que las personas ponen en juego al aprender y al enseñar, de los parámetros que orientan sus esfuerzos y metas, así como la evaluación de logros y capacidades”. En nuestro enfoque los profesores no son los sujetos activos centro de la investigación sino que actúan como informantes privilegiados de la temática que nos ocupa, mediadores e intérpretes del proceso de enseñanza-aprendizaje de lo números reales. Siendo una manera novedosa de acercarnos a los docentes, hemos tomado algunos parámetros de investigaciones centradas en las “prácticas docentes del profesor de matemáticas” mencionadas en Bosch y Gascón (2001), a saber: conocimiento del profesor, creencias del profesor y actitudes del profesor, adaptándolos a nuestros fines. El conocimiento del profesor tiene tres componentes: el conocimiento del contenido matemático; el conocimiento pedagógico de los métodos de enseñanza; y el conocimiento de los mecanismos mediante los cuales los alumnos entienden y aprenden un contenido particular. En este trabajo se tuvo en cuenta principalmente el conocimiento del profesor en referencia a la formulación de las preguntas y para su posterior interpretación

Pensando realmente en nuestros alumnos

El concepto de número real es una de las ideas matemáticas más útiles e importantes por cuanto sobre ella se construye gran parte del desarrollo matemático y se lo encuentra en la base de la enseñanza en las escuelas secundarias y en la universidad. El objetivo del taller es reflexionar sobre las ideas propias de los docentes y sus apreciaciones sobre las de sus alumnos acerca del número real. El mismo se desarrollará en dos encuentros de 2 horas cada uno; en el primero se realizarán una serie de actividades entorno a los siguientes contenidos: distintos conjuntos numéricos, notaciones y densidad de Q y en el segundo encuentro las actividades versarán sobre la representación de los reales en la recta, completitud de R e infinito matemático. Cada uno de estos encuentros se desarrollará en tres instancias: 1h para trabajar las actividades en grupos de no más de tres asistentes; 30 minutos para que cada grupo comparta su producción con el resto de los asistentes; 30 minutos de institucionalización de los resultados de las actividades y posibles relaciones con las investigaciones sobre el tema y reflexiones sobre consecuencias didácticas

Desde el conocimiento implícito al conocimiento explícito en una actividad de álgebra

En este trabajo se describen algunos conocimientos implícitos utilizados por estudiantes de escuela media, al resolver una actividad de Álgebra. La experiencia se llevó a cabo en un 5to año del Centro de Educación Media nº 46 de Bariloche, Argentina, en dos etapas: una clase y entrevistas clínicas posteriores, registradas en audio y video. La tarea propuesta a los alumnos se refiere a la comparación entre dos funciones, una lineal y otra cuadrática, dadas ambas de forma verbal (escrita). Se estudia el dominio de validez de los conocimientos intuitivos de los alumnos atendiendo a la Teoría de los Campos Conceptuales desarrollada por Vergnaud. En particular, presentamos algunos resultados del análisis de las producciones de dichos alumnos considerando la noción de teorema-en-acción y las aproximaciones “escalar” y “funcional” identificadas en los modelos lineales

Rol que le asignan los docentes a los ejercicios y problemas en las clases de aritmética. Un trabajo exploratorio

Se trata de un trabajo exploratorio, basado en observaciones de clases de aritmética, en San Carlos de Bariloche, provincia de Río Negro (Argentina). El análisis y la discusión se centran en los ejercicios y problemas utilizados por los docentes en el tratamiento del tema y se determinan categorías respecto al uso que de éstos hacen los docentes

Una experiencia de taller sobre números reales con ingresantes a la universidad

En este trabajo describiremos un encuentro focalizado en Educación Matemática, que corresponde a un taller denominado "Ingreso a la formación docente" llevado a cabo en febrero de 2010 en el Centro Regional Universitario Bariloche. Se presentó una serie de tareas a 6 alumnos ingresantes a la carrera de Profesorado en Matemática, con el objetivo de que esta experiencia se constituyera en una instancia de aprendizaje y revisión de conocimientos (en relación al rol de los participantes como alumnos), e incentivara la reflexión en cuanto a la naturaleza de los objetos matemáticos y sobre las formas de validación en Matemática (en relación a sus roles tanto de alumnos como de futuros docentes). En consecuencia, trabajamos sobre algunos de los siguientes aspectos relacionados con los números reales: la comprensión de la completitud de los números reales y su asociación con la continuidad de la recta, cómo se relacionan las concepciones sobre el infinito matemático y la comprensión del número real, la comprensión de la densidad y del orden de los números reales y su relación con distintas representaciones externas convencionales. Mostraremos para cada actividad propuesta algunas consideraciones sobre la consigna presentada, las actuaciones del grupo de estudiantes a partir de observaciones generales sobre el modo de resolución y ejemplos de casos particulares interesantes, para luego compartir las reflexiones que surgen de estas observaciones

Las concepciones acerca del juego de niños de cinco países: hacia un mejor conocimiento de la actividad lúdica

Drawing on a mixed-methods cross-cultural study undertaken in five locations in Argentina, Denmark, Hong Kong, England and the United States in 2018, this paper explores how children (aged five and seven) conceive of playfulness. Following a card-sorting task, 387 children selected familiar activities that they felt were most representative of play and not-play and explained their reasons. The children’s justifications were fully transcribed, and five corpora were created (one per site). Lexicometry was applied, generating sets of the characteristic responses per age in each site. In-depth qualitative interpretation of these modal responses revealed nine dimensions across play and not-play: pleasure, social context, materials, movement, agency, risk, goal, time and focus. Commonalities revealed that children’s ideas around play are not aligned with specific activities but with the sense of agency in a secure physical and social context when carrying out an activity experienced as an end in itself. Implications for playful pedagogies highlight the need to open up play with opportunities for children’s choice and initiative, confident exploration and immersion in the activities in which they participate.Fil: Mukherjee, Sarah Jane. The Open University; Reino UnidoFil: Bugallo, Lucía. Universidad Nacional del Comahue. Instituto Patagónico de Estudios de Humanidades y Ciencias Sociales. Consejo Nacional de Investigaciones Científicas y Técnicas. Centro Científico Tecnológico Conicet - Patagonia Norte. Instituto Patagónico de Estudios de Humanidades y Ciencias Sociales; ArgentinaFil: Scheuer, Nora. Universidad Nacional del Comahue. Instituto Patagónico de Estudios de Humanidades y Ciencias Sociales. Consejo Nacional de Investigaciones Científicas y Técnicas. Centro Científico Tecnológico Conicet - Patagonia Norte. Instituto Patagónico de Estudios de Humanidades y Ciencias Sociales; ArgentinaFil: Cremin, Teresa. The Open University; Reino UnidoFil: Montoro, Maria Virginia. Universidad Nacional del Comahue. Centro Regional Universitario Bariloche; Argentina. Universidad Nacional del Comahue. Instituto Patagónico de Estudios de Humanidades y Ciencias Sociales. Consejo Nacional de Investigaciones Científicas y Técnicas. Centro Científico Tecnológico Conicet - Patagonia Norte. Instituto Patagónico de Estudios de Humanidades y Ciencias Sociales; ArgentinaFil: Ferrero, Martha. Universidad Nacional del Comahue. Centro Regional Universitario Bariloche; ArgentinaFil: Preston, Marcia. ;Fil: Cheng, Doris.. The Tung Wah College; Hong KongFil: Golinkoff, Roberta. ;Fil: Popp, Jill. The Lego Foundation; Dinamarc