고차 상호작용하는 복잡계의 떠오름 현상

학위논문(박사) -- 서울대학교대학원 : 자연과학대학 물리·천문학부(물리학전공), 2022.2. 백용주.구성 요소들의 미시적 동역학만으로는 설명할 수 없는 복잡계의 많은 현상들은 구성 요소들의 복잡한 상호작용에 그 근원을 두고 있다. 총괄적 관점에서 복잡계의 성질을 해석하고 이해하는 방법으로 주목을 받았던 네트워크 과학을 통해 설명해 왔던 물리적 현상들 중에는 짝 상호작용으로 환원되지 않는 성질의 상호작용들이 존재한다. 둘 이상의 많은 요소들의 동시다발적 상호작용을 적절하게 표현하기 위해 사용되는 몇 가지 수학적 도구가 도입되었다. 이 학위논문에서는 고차 상호작용을 포함한 구조로 하이퍼그래프와 단체 복합체를 사용하여 이 위에서 기존 짝 상호작용 구조에서 나타나는 보편성과 동역학들이 어떻게 달라지는지를 해석적, 수치적 방법을 통해 탐구한다. 먼저 고차 상호작용으로의 표현이 필요한 사회 현상인 공저자 네트워크 데이터를 분석한다. 우리는 공저자 네트워크 데이터를 단체 복합체로 표현하여 그 위상적 특성의 시간 진화를 확인하였다. 이것의 성장 과정에서 위상적인 불변량인 베티 수가 차원에 따라 순차적으로 창발이 나타난다는 것을 확인하였다. 이러한 위상적 양상과 구조적 특성을 성장 과정에서 모방할 수 있는 단체 복합체 모형을 구성하여 그 특성들을 통계적으로 확인한 결과, 베티 수의 창발이 무한차수 상전이의 특징을 보인다는 것을 발견하였다. 이를 설명할 수 있는 시간 의존 비율방정식의 정상상태를 생성함수 방법으로 접근하여 무한차수 상전이를 이론적으로 규명하였다. 하이퍼그래프는 사회 연결망에서 여러 사람이 함께 하는 팀 사이의 상호작용을 표현하는데에도 사용할 수 있다. 매개 중심성을 하이퍼그래프에서 측정할 전산 알고리즘을 제안하고, 사회 연결망을 묘사할 척도없는 하이퍼그래프 모형을 구성하였다. 이로부터 팀의 매개중심성 분포는 개개인의 매개중심성 분포와는 상이하게 거듭제곱 분포가 왜곡되어 지수함수적 감소를 보임을 확인하고, 이 감소의 정도가 팀의 크기와 관련됨을 보았다. 하지만 실제 데이터에 반영되는 추가 정보를 팀의 가중치로써 도입하면 매개중심성 분포의 거듭제곱 법칙이 재구성됨을 확인하였다. 하지만 팀이 가지는 가중치가 아니라 하이퍼그래프 구조에서 존재하는 위치가 팀의 성과에 더욱 중요한 요소라는 반직관적인 결과를 얻었다. 마지막으로 복잡계에서 보이는 동역학 과정에 미치는 고차 상호작용의 영향을 동기화 현상의 예를 통해 살펴보았다. 동기화 과정은 자연 및 인공 시스템의 광범위한 기능에 중요한 역할을 하기 때문에 그 집단 행동의 형성에 미치는 미시적 상호작용 구조에 대한 이해는 필수불가결하다고 할 수 있다. 우리는 척도없는 하이퍼그래프 위에서의 구라모토 모형을 연속 방정식의 오트-안톤센 가설 풀이법과 평균장 이론을 이용하여 조사하였다. 그 결과로 연결 구조의 불균일함에 따라 연속 상전이에서 불연속 상전이로의 변화가 나타남을 확인하였다. 특히 불연속 상전이는 그 전이점에서 임계 현상을 보이는 하이브리드 상전이임을 확인하였고, 이 임계 지수를 해석적, 수치적으로 결정하였다.Rooted in the complex interactions of components, diverse aspects in complex systems cannot be explained by the microscopic dynamics of components. Among the physical phenomena that have been described through network science, which have received attention as a way of interpreting and understanding the properties of complex systems from a holistic point of view, are intrinsic interactions that cannot be reduced to pairwise interactions. In this dissertation, we analytically and numerically explore the emergent phenomena that appear in these higher-order interactions. As structures include these simultaneous interactions of two or more elements, we use hypergraphs and simplicial complexes. First, the coauthorship data, which is a social relationship that requires the expression of higher-order interactions, is analyzed. We confirmed the time evolution of the topological features by expressing the coauthorship data as a simplicial complex. In the process of its growth, we find that the Betti numbers, topological invariants, sequentially appeared according to the dimension. As a result of statistical confirming the properties by constructing a random simplicial complex model that can imitate these topological aspects and structural characteristics in the growing process, we reveal that the development of the Betti number showed the infinite-order phase transition. By generating function, the steady-state analysis of the time-dependent rate equation that mimics the model algorithms suggests the theoretical explanations of the infinite-order transitions. Hypergraphs also are widely used to express interactions between teams with multiple people in a social network. Here we propose a computational algorithm to measure betweenness centralities in a hypergraph. Furthermore, a scale-free hypergraph model is constructed to describe the features of social networks. From this, we confirm that the distribution of the team's betweenness centrality, showing exponential decaying, is different from the power-law distribution of individual betweenness centrality. Interestingly, the decaying rate is related to the size of the team. However, if additional information reflected in the actual data is introduced as the team's weight, the power law of the betweenness centrality distribution is reconstructed. Counterintuitively, we observe that the location of a team in the hypergraph structure, such as whether the team is near the hub, not the weight of the team, is a more crucial factor in the team's performance. Finally, the influence of higher-order interactions on the dynamics detected in complex systems is examined through examples of synchronization phenomena. Synchronization appears in a wide range of natural and artificial systems. Thus, an understanding of the microscopic group interaction structure is indispensable. We investigated the Kuramoto model on a scaleless hypergraph using the Ott-Antonsen ansatz of continuity equations and the mean-field theory. As a result, we find that the non-uniformity of the connection structure resulted in a change from continuous phase transition to discontinuous phase transition. In particular, we observe that discontinuous phase transition is indeed a hybrid phase transition, showing a critical phenomenon at its transition point. The critical exponents are determined both analytically and numerically.Abstract i Contents iii List of Figures vii List of Tables ix 1 Introduction 1 1.1 Complex systems in nature 1 1.2 Representations of complex systems 3 1.3 Structure and goal of the dissertation 6 2 Representations of interactions 10 2.1 Interaction 10 2.2 Pairwise represenation: graph theory 11 2.2.1 Definitions and concepts 11 2.2.2 Random graph models 17 2.3 Higher-order representation: concepts of hypergraphs 19 2.3.1 Mathematical definitions 19 2.4 Algebraic topology: special case of higher-order interactions 21 2.4.1 Simplicial complexes 21 2.4.2 Homology groups 22 3 Basics of percolation transitions 25 3.1 What is percolation 25 3.2 Percolation on complex networks 27 4 Homological percolation transitions: numerical approach 29 4.1 Introduction 29 4.2 Results 33 4.2.1 Homological percolation transitions 33 4.2.2 Facet degree distribution 37 4.2.3 Minimal model 39 4.2.4 Kahle localization 42 4.3 Conclusion 44 4.4 Discussion 45 5 Homological percolation transitions: analytical approach 46 5.1 Introduction 46 5.2 Model 49 5.3 Percolation transition 49 5.3.1 Cluster-size distribution, giant cluster, and mean cluster size 49 5.3.2 Graph and facet degree distributions 55 5.4 Homological percolation transition 58 5.4.1 Model generalization and Betti number 58 5.4.2 Rigorous description of the first Betti number 60 5.5 Discussion 63 5.6 Conclusion 64 6 Criticality from shortest path dynamics on hypergraphs: Betweenness centraility distribution 65 6.1 Betweenness centrality in hypergraphs 65 6.2 Random hypergraph model with preferential attachment 68 6.3 Real data analysis 72 6.4 Summary and discussion 76 7 Synchronization of coupled oscillators 81 7.1 Synchronization 81 7.2 Kuramoto model 82 7.2.1 Order parameter 83 7.2.2 Self-consistency equation approaches 84 8 Synchronization transitions in hypergraphs 86 8.1 Introduction 86 8.2 Model 87 8.3 Self-consistency equations 89 8.4 Results 92 8.5 Summary and discussion 92 9 Conclusion 95 Appendices 97 Appendix A Topological data analysis 98 A.1 Persistent homology 98 Appendix B Appendices for chapter 4 100 B.1 Derivation of master equation of joint generating function 100 Appendix C Appendices for chapter 5 103 C.1 BC distributions for the BA-II hypergraphs 103 C.2 Features of our coauthorship data 104 C.3 Parameter analysis 105 C.3.1 Relations among the BCes and parameters 105 C.3.2 Influential parameters for top BCes 107 C.4 Analysis of the small size dataset 108 Appendix D Appendices for chapter 6 118 D.1 Heterogeneous mean-field theory 118 D.2 Critical behavior 120 D.3 Correlation size 121 Bibliography 123 Abstract in Korean 135박