Formale Mengenlehre und Topologie:Ein Beitrag zur Degradierung des Mengenbegriffs

Die Mengenlehre hat heute eine Zwitterstellung: Einerseits beherrscht ihre Terminologie einen Großteil der Mathematik, andrerseits soll sie als eine spezielle formale axiomatische Theorie aufgebaut werden. Die Hilbertsche Auffassung der Formalität als syntaktische und somit sprachgebundene Struktur scheint diese beiden Aufgaben vereinbar zu machen. Diese Auffassung wird hier in Frage gestellt und durch eine andere rein strukturelle ersetzt, der auch die Sprache unterworfen ist. Danach sind nicht die Relationen der Mengenlehre bzw. der Syntax für die Mathematik entscheidend, sondern deren Eigenschaften. Eine Menge ist nur eine Rolle einer Relation, der Elementschafts-Relation, eine Klasse nicht einmal eine logische Einheit. Damit büßt die Mengenlehre ihre Sonderstellung ein und behält lediglich denselben Status wie etwa die (inhaltliche bzw. formale) Geometrie

Zahlen als Begriffe:Eine Revision der Fregeschen Zahlendefinition

Frege fasst Anzahlen als Gegenstände und nur als Gegenstände auf und definiert sie als Klassen. Dabei setzt er unzulässigerweise voraus, dass Klassen Einheiten seien. Wir definieren dagegen Anzahlen als Begriffe, behalten aber seine auf die Äquivalenzrelation der Gleichzahligkeit gegründeten Definitionsweise bei. Diese revidierte Definition stützt sich daher auf eine Theorie der Begriffe statt auf eine der Klassen. Die Anzahlen treten dann als Attribute (niederer Stufe) und als Gegenstände (zu Attributen höherer Stufe) auf. Dies hat keine Folgen für die Definition abzählbarer, wohl aber für die überabzählbarer Anzahlen. So ist z.B. der Cantorsche Teilmengensatz zwar gültig, aber nicht iterierbar und daher untauglich für die Generierung beliebig großer überabzählbarer Zahlen

Ernst Zermelo's Project of Infinitary Logic

This paper is a summary of a more comprehensive work Infinitarna Logika Ernsta Zermela (The Infinitary Logic of Ernst Zermelo) being currently under preparation for the research grant KBN 2H01A 00725 Metody nieskończonościowe w teorii definicji (Infinitary methods in the theory of definitions) headed by Professor JANUSZ CZELAKOWSKI at the Institute of Mathematics and Information Science of the University of Opole, Poland. The presentation of Zermelo's ideas is accompanied with some remarks concerning the development of infinitary logic.This paper is a summary of a more comprehensive work Infinitarna Logika Ernsta Zermela (The Infinitary Logic of Ernst Zermelo) being currently under preparation for the research grant KBN 2H01A 00725 Metody nieskończonościowe w teorii definicji (Infinitary methods in the theory of definitions) headed by Professor JANUSZ CZELAKOWSKI at the Institute of Mathematics and Information Science of the University of Opole, Poland. The presentation of Zermelo's ideas is accompanied with some remarks concerning the development of infinitary logic.

Über logische und mengentheoretische Aspekte von Mochizukis Beweis der abc-Vermutung

Diese Arbeit beschäftigt sich mit der Speziestheorie aus Mochizukis Beweis(versuch) der abc-Vermutung. Es wird ein Standpunkt eingeführt, der Parallelen zwischen der Kategorientheorie und der Speziestheorie aufzeigt und es werden so die Besonderheiten der Speziestheorie herausgearbeitet. In der Speziestheorie möchte man Konstruktionen ausführen, welche von keinen Auswahlen abhängen. Dieses Problem wird in einem allgemeinen Kontext für universelle Morphismen gelöst. An Beispielen wird die in der Arbeit behandelte Theorie erklärt

Über die Unendlichkeit der Irrationalzahlen

Neben den klassischen Definitionen der Irrationalzahlen werden verschiedene mathematische Konstruktionen des Kontinuums sowie wichtige Sätze über Abzählbarkeit und Überabzählbarkeit von Mengen behandelt

Mathematischer Platonismus. Beiträge zu Platon und zur Philosophie der Mathematik

Fragen und Problemen aus der Philosophie der Mathematik wird sowohl systematisch anhand der aktuellen wissenschaftlichen Diskussion wie auch historisch anhand der platonischen Dialoge nachgegangen. Diese Verknüpfung bringt Neues auf beiden Seiten ans Licht

Gottfried Köthe, 1905-1989 / neu hrsg. von Gabriele Dörflinger, Universitätsbibliothek Heidelberg

Leben und Werk des Mathematikers Gottfried Köthe, der von 1957 bis 1965 in Heidelberg lehrte. Der Beitrag enthält auch ein Verzeichnis der Schriften Gottfried Köthes