Unified Representation Of Decoupled Dynamic Models For Pendulum-Driven Ball-Shaped Robots

Dynamic models describing the ball-robot motion form the basis for developments in ball-robot mechanics and motion control systems. For this paper, we have conducted a literature review of decoupled forward-motion models for pendulum-driven ball-shaped robots. The existing models in the literature apply several different conventions in system definition and parameter notation. Even if describing the same mechanical system, the diversity in conventions leads into dynamic models with different forms. As a result, it is difficult to compare, reproduce and apply the models available in the literature. Based on the literature review, we reformulate all common variations of decoupled dynamic forward-motion models using a unified notation and formulation. We have verified all reformulated models through simulations, and present the simulation results for a selected model. In addition, we demonstrate the different system behavior resulting from different ways to apply the pendulum reaction torque, a variation that can be found in the literature. For anyone working with the ball-robots, the unified compilation of the reformulated dynamic models provides an easy access to the models, as well as to the related work.Peer reviewe

ФОРМАЛИЗМ ВЫПИСЫВАНИЯ УРАВНЕНИЯ ДИНАМИКИ МАНИПУЛЯТОРОВ

The problem of cumbersome equations of dynamics for manipulation systems of industrial robots (manipulators) with translational and rotational joints is solved. A new formalism for writing out the equations of dynamics of manipulators by using of guide cosines is proposed. Examples of writing out equations of dynamics of manipulators with guid cosines are given. The equations of dynamics in relative angles of rotation of bodies are obtained with the help of these guide cosines by applying their properties. These manipulators have from three to six degrees of freedom. In their equations of dynamics the geometric, kinematic, static and inertial parameters are explicit. The multipliers for accelerations and products of velocities are optimal in the sense of the minimum of arithmetic operations (additions and multiplications) that are needed for their calculations in the written out equations of dynamics. JS-code and method for verification of the equations of dynamics of manipulators written in analytical form are proposed. The problem is that when the equations are written out manually, errors and oversights in the intermediate entries and the final result are possible. Therefore it is necessary to check the results of writing out for absence of errors, i.e. to perform verification of formulas for calculation of constitutive equations of dynamics. To do this, we can use software designed to calculate the generalized driving forces of manipulators, i.e. to solve the first problem of dynamics. Such software is offered as a web-application, in which JS-function is used for verification of the equations of dynamics of manipulators. The method of verification of formulas to calculate the generalized forces of gravity and multipliers (coefficients) for generalized accelerations and products of generalized velocities in the equations of dynamics is developed. An example of verification of the equations of dynamics of the universal manipulator with six degrees of freedom in space is given. Aim. The aim of research is to develop a formalism for writing out the analytical form of the equations of the manipulators’ dynamics in the guide cosines of the principal axes of the coupled body coordinate systems, whose coefficients contain the minimum number of arithmetic operations. Research methods. The methods of research refer to vector and analytic mechanics of absolutely solid systems, to vector algebra, and to systems analysis and programming in scripting languages. Results. The results contain two proved statements, in which there are the formulas and the methodology that allow us to write manually the equations of dynamics of manipulators with three and six degrees of mobility both in guiding cosines and in generalized coordinates. In both cases it is impossible to simplify the obtained equations. Conclusion. The offered analytical types of the equations of dynamics occupy several lines. By the known classical formalisms (Lagrange, Appel, Nielsen, Newton-Euler, etc.) it is practically impossible to obtain similar results because of the large number of complex mathematical operations in their implementation and the cumbersomeness of the resulting formulas.Решается проблема громоздкости уравнений динамики манипуляционных систем промышленных роботов (манипуляторов), состоящих из поступательных и вращательных сочленений. Предложен новый формализм выписывания уравнений динамики манипуляторов в направляющих косинусах, из которых легко получить уравнения динамики в других параметрах относительной или абсолютной ориентации тел. Приведены примеры выписывания уравнений динамики манипуляторов в направляющих косинусах, из которых путем применения их свойств получены уравнения динамики в относительных углах поворота тел. Рассмотренные манипуляторы имеют от трех до шести степеней свободы. В их уравнениях динамики явно выражены геометрические, кинематические, статические и инерционные параметры. Множители при ускорениях и произведениях скоростей в выписанных уравнениях динамики являются оптимальными в смысле минимума арифметических операций (сложений и умножений), необходимых для их вычислений. Предложен JS-код и методика верификации уравнений динамики манипуляторов, записанных в аналитическом виде. Проблема в том, что при ручном выписывании уравнений возможны ошибки и описки в промежуточных записях и конечном результате. Поэтому необходимо проверять результаты выписывания на отсутствие ошибок, т. е. выполнять верификацию формул вычисления составляющих уравнений динамики. Для этого можно использовать ПО, предназначенное для вычисления обобщенных движущих сил манипуляторов, т. е. решать первую задачу динамики. В качестве такого ПО здесь предлагается web-приложение, в котором JS-функция используется для верификации уравнений динамики манипуляторов. Разработана методика верификации формул вычисления обобщенных сил тяжести и множителей (коэффициентов) при обобщенных ускорениях и произведениях обобщенных скоростей в уравнениях динамики. Приведен пример верификации уравнений динамики универсального манипулятора с шестью степенями свободы в пространстве. Целью исследования является разработка формализма выписывания аналитического вида уравнений динамики манипуляторов в направляющих косинусах главных осей связанных систем координат тел, коэффициенты которых содержат минимальное количество арифметических операций. Методы исследования относятся к векторной и аналитической механике систем абсолютно твердых тел, к векторной алгебре, а также к системному анализу и программированию на скриптовых языках. Результаты исследования содержат два доказанных утверждения, формулы которых и методика их использования позволили вручную выписать уравнения динамики манипуляторов с тремя и шестью степенями подвижности как в направляющих косинусах, так и в обобщенных координатах. В обоих случаях упростить полученные уравнения невозможно. Заключение. Записанные аналитические виды уравнений динамики занимают несколько строк. По известным классическим формализмам (Лагранжа, Аппеля, Нильсена, Ньютона – Эйлера и т. д.) практически невозможно получить аналогичные результаты из-за большого количества сложных математических операций в их реализации и громоздкости получаемых формул

MUSME 2011 4 th International Symposium on Multibody Systems and Mechatronics

El libro de actas recoge las aportaciones de los autores a través de los correspondientes artículos a la Dinámica de Sistemas Multicuerpo y la Mecatrónica (Musme). Estas disciplinas se han convertido en una importante herramienta para diseñar máquinas, analizar prototipos virtuales y realizar análisis CAD sobre complejos sistemas mecánicos articulados multicuerpo. La dinámica de sistemas multicuerpo comprende un gran número de aspectos que incluyen la mecánica, dinámica estructural, matemáticas aplicadas, métodos de control, ciencia de los ordenadores y mecatrónica. Los artículos recogidos en el libro de actas están relacionados con alguno de los siguientes tópicos del congreso: Análisis y síntesis de mecanismos ; Diseño de algoritmos para sistemas mecatrónicos ; Procedimientos de simulación y resultados ; Prototipos y rendimiento ; Robots y micromáquinas ; Validaciones experimentales ; Teoría de simulación mecatrónica ; Sistemas mecatrónicos ; Control de sistemas mecatrónicosUniversitat Politècnica de València (2011). MUSME 2011 4 th International Symposium on Multibody Systems and Mechatronics. Editorial Universitat Politècnica de València. http://hdl.handle.net/10251/13224Archivo delegad