Playing Games on Sets and Models

The most prominent objective of the thesis is the development of the generalized descriptive set theory, as we call it. There, we study the space of all functions from a fixed uncountable cardinal to itself, or to a finite set of size two. These correspond to generalized notions of the universal Baire space (functions from natural numbers to themselves with the product topology) and the Cantor space (functions from natural numbers to the {0,1}-set) respectively. We generalize the notion of Borel sets in three different ways and study the corresponding Borel structures with the aims of generalizing classical theorems of descriptive set theory or providing counter examples. In particular we are interested in equivalence relations on these spaces and their Borel reducibility to each other. The last chapter shows, using game-theoretic techniques, that the order of Borel equivalence relations under Borel reduciblity has very high complexity. The techniques in the above described set theoretical side of the thesis include forcing, general topological notions such as meager sets and combinatorial games of infinite length. By coding uncountable models to functions, we are able to apply the understanding of the generalized descriptive set theory to the model theory of uncountable models. The links between the theorems of model theory (including Shelah's classification theory) and the theorems in pure set theory are provided using game theoretic techniques from Ehrenfeucht-Fraïssé games in model theory to cub-games in set theory. The bottom line of the research declairs that the descriptive (set theoretic) complexity of an isomorphism relation of a first-order definable model class goes in synch with the stability theoretical complexity of the corresponding first-order theory. The first chapter of the thesis has slightly different focus and is purely concerned with a certain modification of the well known Ehrenfeucht-Fraïssé games. There we (me and my supervisor Tapani Hyttinen) answer some natural questions about that game mainly concerning determinacy and its relation to the standard EF-gameReaalilukuja on paljon: ylinumeroituvasti. Reaalilukujen osajoukkoja on yksinkertaisen laskutoimituksen mukaan sitäkin enemmän. Millaisia niitä on? Miten ne voi luokitella? Eräs lähestymistapa on luokitella ne monimutkaisuudensa mukaan. Jos joukko on helposti kuvailtavissa (avoimet, suljetut ja puoliavoimeet välit, Cantorin joukko, irrationaaliluvut jne..), niin se on monimutkaisuushierarkiassa matalalla tasolla ja jos sen kuvaileminen on vaikea (jatkuvien funktioiden kuvajoukot, epämitalliset joukot,..) on se korkealla. Iso osa matemaattisia ongelmia voidaan palauttaa kysymykseen "Kuuluuko x joukkoon A?". Joissakin onnekkaissa tapauksissa, tämä ongelma palautuu tilanteeseen, jossa A on reaalilukujen osajoukko ja x on reaaliluku. Silloin y.o. kysymykseen vastaaminen riippuu siitä, kuinka korkealla monimutkaisuushierarkiassa A on... Vai onko?! Jos on, niin tällä tavalla voidaan analysoida matemaattisten ongelmien vaativuutta (jo ennen kuin niitä lähdetään ratkaisemaan!). Tätä teoriaa kutsutaan deskriptiiviseksi (kuvailevaksi) joukko-opiksi. Entä jos matemaattinen ongelma ei palaudukkaan muotoon "Kuuluuko x joukkoon A?", missä A on reaalilukujen joukko? Väitöskirjassa sama asetelma on siirretty pois reaaliluvuista ja reaalilukujen tilalla on niiden yleistyksiä: siinä missä reaaliluvut voidaan ilmaista numeroituvina binäärijonoina, voidaan meidän objektit kuvata ylinumeroituvina binäärijonoina. Väitöskirjan keskeinen aihe on kehittää yllä mainittua monimutkaisuushierarkian teoriaa näille yleistetyille reaaliluvuille, jotta voitaisiin tutkia tiettyjen matemaattisten ongelmien (lähinnä malliteorian alalta) vaativuutta silloinkin, kun y.o. A ei voi olla reaalilukujen osajoukko