On the Heegaard Floer homology of Dehn surgery and unknotting number

n this thesis we generalise three theorems from the literature on Heegaard Floer homology and Dehn surgery: one by Ozsv ́ath and Szab ́o on deficiency symmetries in half-integral L -space surgeries, and two by Greene which use Donaldson’s diagonali- sation theorem as an obstruction to integral and half-integral L -space surgeries. Our generalisation is two-fold: first, we eliminate the L -space conditions, opening these techniques up for use with much more general 3-manifolds, and second, we unify the integral and half-integral surgery results into a broader theorem applicable to non- zero rational surgeries in S 3 which bound sharp, simply connected, negative-definite smooth 4-manifolds. Such 3-manifolds are quite common and include, for example, a huge number of Seifert fibred spaces. Over the course of the first three chapters, we begin by introducing background material on knots in 3-manifolds, the intersection form of a simply connected 4- manifold, Spin- and Spin c -structures on 3- and 4-manifolds, and Heegaard Floer ho- mology (including knot Floer homology). While none of the results in these chapters are original, all of them are necessary to make sense of what follows. In Chapter 4, we introduce and prove our main theorems, using arguments that are predominantly algebraic or combinatorial in nature. We then apply these new theorems to the study of unknotting number in Chapter 5, making considerable headway into the extremely difficult problem of classifying the 3-strand pretzel knots with unknotting number one. Finally, in Chapter 6, we present further applications of the main theorems, ranging from a plan of attack on the famous Seifert fibred space realisation problem to more biologically motivated problems concerning rational tangle replacement. An appendix on the implications of our theorems for DNA topology is provided at the end.Open Acces

Khovanov Homology, Lee Homology and a Rasmussen Invariant for Virtual Knots

The paper contains an essentially self-contained treatment of Khovanov homology, Khovanov-Lee homology as well as the Rasmussen invariant for virtual knots and virtual knot cobordisms which directly applies to classical knot and classical knot cobordisms. To do so, we give an alternate formulation for the Manturov definition of Khovanov homology for virtual knots and links with arbitrary coefficients. This approach uses cut loci on the knot diagram to induce a conjugation operator in the Frobenius algebra. We then discuss the implications of the maps induced in the aforementioned theory to the universal Frobenius algebra for virtual knots. Next we show how one can apply the Karoubi envelope approach of Bar-Natan and Morrison on abstract link diagrams with cross cuts to construct the canonical generators of the Khovanov-Lee homology. Using these canonical generators we derive a generalization of the Rasmussen invariant for virtual knot cobordisms and furthermore generalize Rasmussen's result on the slice genus for positive knots to the case of positive virtual knots. It should also be noted that this generalization of the Rasmussen invariant provides an easy to compute obstruction to knot cobordisms in $S_g \times I \times I$ in the sense of Turaev

Classification of smooth embeddings of 4-manifolds in 7-space, I

We work in the smooth category. Let N be a closed connected n-manifold and assume that m>n+2. Denote by E^m(N) the set of embeddings N -> R^m up to isotopy. The group E^m(S^n) acts on E^m(N) by embedded connected sum of a manifold and a sphere. If E^m(S^n) is non-zero (which often happens for 2m<3n+4) then no results on this action and no complete description of E^m(N) were known. Our main results are examples of the triviality and the effectiveness of this action, and a complete isotopy classification of embeddings into R^7 for certain 4-manifolds N. The proofs are based on the Kreck modification of surgery theory and on construction of a new embedding invariant. Corollary. (a) There is a unique embedding CP^2 -> R^7 up to isoposition. (b) For each embedding f : CP^2 -> R^7 and each non-trivial knot g : S^4 -> R^7 the embedding f#g is isotopic to f.Comment: 22 pages, no figures, statement and proof of the Effectiveness Theorem correcte

Compendium

Senior Project submitted to The Division of Languages and Literature of Bard College

The functoriality of Khovanov Homology and the monodromy of knots

L'omologia di Khovanov è stata introdotta nel 1999 da Mikhail Khovanov come categorificazione del polinomio di Jones. Questa teoria (co)omologica ha assunto in breve tempo una notevole importanza, anche collegata al fatto che essa è estremamante computatbile. L'omologia di Khovanov è un invariante di link e, inoltre presenta delle proprietà funtoriali (dimostrate per la prima volta da Jacobsson nel suo articolo “An invariant of link cobordisms from Khovanov homology ”). Nel 2005 Dror Bar-Natan, nel suo articolo “Khovanov homology for tangles and cobordisms”, riprende la teoria di Khovanov, che nel frattempo, con diverse complicazioni, era stata generalizzata anche ai tangle (si veda l'articolo di Khovanov “A Functor-Valued Invariant of Tangles”), e la presenta in una maniera più geometrica dando vita ad una teoria di Khovanov formale. La presente tesi ripercorre la dimostrazione della funtorialità data da Bar-Natan nel summenzionato articolo e indaga sulle proprietà funtoriali dell'omologia di Khovanov. Il lavoro è organizzato come segue. Nel Capitolo 0 vengono richiamate alcune definizioni di base della teoria dei nodi, come quelle di nodo, link, tangle, diagramma e invariante. Inoltre, viene presentata la costruzione del polinomio di Jones per link. Il Capitolo 1 è dedicato alla descrizione della teoria formale di Khovanov e alla descrizione delle sue relazioni con l'omologia di Khovanov e con le TQFT. Il capitolo esordisce con la descrizione del cubo degli incroci e con la presentazione dei cubi in categorie. Successivamente viene descritto il contesto nella quale è possibile definire la nostra teoria formale e viene introdotta la parentesi di Khovanov . Infine, viene provata l'invarianza per cambio di diagramma della parentesi ed introdotto il grado quantico nel nostro complesso formale. Come corollario si ottiene l'invarianza dell'omologia di Khovanov. Per introdurre la funtorialità dell'omologia di Khovanov è necessario cambiare un pò il contesto. Per questa ragione, nel Capitolo 2, vengono introdotti i cobordismi di link generici e le loro rappresentazioni. In particolare, la rappresentazione di questi cobordismi a noi congeniale è quella tramite movie. Due movie di superfici rappresentano superfici ambientalmente isotope, a bordo fisso, se e solo se sono correlati da un numero finito di mosse di movie. Proprio utilizzando queste che verrà dimostrata la funtorialità a meno di segno del complesso formale di Khovanov. Il quarto capitolo invece presenta alcuni risultati nuovi. In particolare, indaga sulla monodromia dei nodi, nel senso di Jacobsson (si veda “An invariant of link cobordisms from Khovanov homology ”). Viene provata l'invarianza, a meno di isomorfismi, del suddettto gruppo e vengono calcolati alcuni gruppi di monodromia