47 research outputs found
A fast and spectrally convergent algorithm for rational-order fractional integral and differential equations
A fast algorithm (linear in the degrees of freedom) for the solution of linear variable-coefficient rational-order fractional integral and differential equations is described. The approach is related to the ultraspherical method for ordinary differential equations [27], and involves constructing two different bases, one for the domain of the operator and one for the range of the operator. The bases are constructed from direct sums of suitably weighted ultraspherical or Jacobi polynomial expansions, for which explicit representations of fractional integrals and derivatives are known, and are carefully chosen so that the resulting operators are banded or almost-banded. Geometric convergence is demonstrated for numerous model problems when the variable coefficients and right-hand side are sufficiently smooth
Stable and convergent finite difference schemes on nonuniformtime meshes for distributed-order diffusion equations
In this work, stable and convergent numerical schemes on nonuniform time meshes are proposed, for the solution of distributed-order diffusion equations. The stability and convergence of the numerical methods are proven, and a set of numerical results illustrate that the use of particular nonuniform time meshes provides more accurate results than the use of a uniform mesh, in the case of nonsmooth solutions.The authors acknowledge the support of the Center for Mathematics and Applications (CMA)—FCT-NOVA, Center for Computational and Stochastic Mathematics, Instituto
Superior Técnico, and CMAT—Centre of Mathematics—University of Minho. The first author
acknowledges Fundação para a Ciência e Tecnologia (Portuguese Foundation for Science and Technology) within Projects UIDB/04621/2020 and UIDP/04621/2020. The second author acknowledges
the Fundação para a Ciência e a Tecnologia through Project UIDB/00297/2020 (Centro de Matemática
e Aplicações). The third author acknowledges the funding by Fundação para a Ciência e Tecnologia
through Projects UIDB/00013/2020 and UIDP/00013/202
The Eigenvalue Problem in Linear Viscoelastic Structures: New Numerical Approaches and the Equivalent Viscous Model
El análisis y el control de las vibraciones cobra especial importancia en muchas
ramas de la ingeniería, en especial la ingeniería mecánica, civil, aeronáutica y
automovilística. Tal es así que prácticamente se identi¿ca como un área independiente dentro del análisis dinámico de estructuras. Desde los comienzos de esta
teoría, las fuerzas disipativas o de amortiguamiento han sido uno de los fenómenos
más difíciles de modelizar. El modelo viscoso, por su sencillez y versatilidad ha
sido y sigue siendo el gran paradigma de los modelos de amortiguamiento. Sin embargo, como consecuencia de la aparición de materiales con memoria se introdujo
el fenómeno de la viscoelasticidad; Esta, si bien está también 'íntimamente ligada '
a la velocidad de la respuesta, necesito de la introducción de las denominadas funciones hereditarias, que permiten poner a las fuerzas disipativas como función no
solo de la velocidad instantánea sino de la historia de velocidades desde el comienzo
del movimiento, de ahí el termino memoria. De forma natural, el avance teórico
introducido en el modelo supone también una complicación computacional, pues
donde antes teníamos un sistema lineal de ecuaciones diferenciales ahora tenemos
un sistema de ecuaciones integro-diferenciales.
El análisis de las vibraciones libres de los sistemas con amortiguamiento viscoelástico conduce a un problema nolineal de autovalores donde la característica
principal es una matriz de amortiguamiento que depende de la frecuencia de excitación. El estudio de la solución de autovalores y autovectores de este problema
es importante si se desean conocer los modos de vibración de la estructura o si se
pretende obtener la respuesta en el dominio de la frecuencia del sistema. El objetivo fundamental de esta Tesis Doctoral es doble: Por un lado, profundizar en el
conocimiento del problema de autovalores de sistemas viscoelásticos proponiendo
para ello nuevos métodos numéricos de resolución. Por otro, desarrollar un nuevo
modelo viscoso que, bajo ciertas condiciones, reproduzca la respuesta del modelo
viscoelástico con su¿ciente aproximación.
La Tesis se divide en ocho capítulos, de ellos el cuerpo principal se encuentra en
los seis centrales (Capítulos 2 a 7. Todos ellos son artículos de investigación que,
o bien han sido publicados, o bien están en proceso de revisión en revistas contenidas en el Journal Citation Reports (JCR). Por esta razón, todos los capítulos
conservan la estructura intrínseca de un artículo, incluidas una introducción y una
bibliografía en cada uno.
Los cuatro primeros capítulos (Capítulos 2 a 5) se centran en el estudio del problema no lineal de autovalores. Se proponen dos metodologías de resolución: la
primera es un procedimiento iterativo basado en el esquema del punto-¿jo y desarrollado para sistemas proporcionales o ligeramente no-proporcionales (aquellos
en los que los modos se presentan desacoplados o casi desacoplados). La segunda
metodología (presentada en dos capítulos diferentes), denominada paramétrica,
permite obtener soluciones casi-analíticas de los autovalores, tanto para sistemas
de un grado de libertad como para sistemas de múltiples grados de libertad y
dentro de 'estos, para sistemas proporcionales y no proporcionales. El estudio del
problema de autovalores se completa con un capítulo dedicado a los autovalores
reales, también denominados autovalores no viscosos. En 'él se demuestra una
nueva caracterización maten ática que deben cumplir dichos autovalores y que
permite proponer un nuevo concepto: el conjunto no-viscoso.
Los dos 'últimos capítulos (Capítulos 6 y 7) analizan el Modelo Viscoso Equivalente
como propuesta para la modelización de la respuesta de sistemas viscoelásticos.
El análisis se realiza desde el dominio de la frecuencia estudiando la función de
transferencia. En una primera etapa (pen último capítulo), de naturaleza más
maten ática, se demuestra que la función de transferencia exacta de un modelo viscoelástico se puede expresar como suma de una función de transferencia
propia de un modelo viscoso más un término denominado residual, directamente
dependiente del nivel de amortiguamiento inducido y del acoplamiento modal (noproporcionalidad de la matriz de amortiguamiento). En una segunda etapa ('ultimo
capítulo), se desarrolla una aplicación para estructuras reales formadas por entramados planos de elementos 1D amortiguados con capas de material visco elástico.
Este tipo de estructuras ha permitido usar una variante mejorada del método
paramétrico para la obtención de los autovalores, de forma que en este 'ultimo
capítulo ha servido como nexo de unión de las metodologías más importantes desarrolladas en la Tesis.Lázaro Navarro, M. (2013). The Eigenvalue Problem in Linear Viscoelastic Structures: New Numerical Approaches and the Equivalent Viscous Model [Tesis doctoral no publicada]. Universitat Politècnica de València. https://doi.org/10.4995/Thesis/10251/30062TESI
Well-posedness of the fractional Zener wave equation for heterogenous viscoelastic materials
We explore the well-posedness of the fractional version of Zener's wave
equation for viscoelastic solids, which is based on a constitutive law relating
the stress tensor to the strain tensor
, with being the displacement vector,
defined by: . Here , is the shear
modulus bounded below by a positive constant, and is first
Lam\'e coefficient, , with , is the Caputo
time-derivative, is the characteristic relaxation time and
is the characteristic retardation time. We show that, when
coupled with the equation of motion , considered in a bounded open Lipschitz
domain in and over a time interval , where
is the density of the material, bounded
below by a positive constant, and is a specified load vector, the
resulting model is well-posed in the sense that the associated
initial-boundary-value problem, with initial conditions , ,
, for , and a homogeneous Dirichlet boundary condition, possesses a unique
weak solution for any choice of , , and , and any load vector , and that this unique weak
solution depends continuously on the initial data and the load vector
A Finite Element Method for the Multiterm Time-Space Riesz Fractional Advection-Diffusion Equations in Finite Domain
We present an effective finite element method (FEM) for the multiterm time-space Riesz fractional advection-diffusion equations (MT-TS-RFADEs). We obtain the weak formulation of MT-TS-RFADEs and prove the existence and uniqueness of weak solution by the Lax-Milgram theorem. For multiterm time discretization, we use the Diethelm fractional backward finite difference method based on quadrature. For spatial
discretization, we show the details of an FEM for such MT-TS-RFADEs. Then, stability and convergence of such numerical method are proved, and some numerical examples are given to match well with the main conclusions
A novel design of fractional Mayer wavelet neural networks with application to the nonlinear singular fractional Lane-Emden systems
In this study, a novel stochastic computational frameworks based on fractional Meyer wavelet artificial neural network (FMW-ANN) is designed for nonlinear-singular fractional Lane-Emden (NS-FLE) differential equation. The modeling strength of FMW-ANN is used to transformed the differential NS-FLE system to difference equations and approximate theory is implemented in mean squared error sense to develop a merit function for NS-FLE differential equations. Meta-heuristic strength of hybrid computing by exploiting global search efficacy of genetic algorithms (GA) supported with local refinements with efficient active-set (AS) algorithm is used for optimization of design variables FMW-ANN., i.e., FMW-ANN-GASA. The proposed FMW-ANN-GASA methodology is implemented on NS-FLM for six different scenarios in order to exam the accuracy, convergence, stability and robustness. The proposed numerical results of FMW-ANN-GASA are compared with exact solutions to verify the correctness, viability and efficacy. The statistical observations further validate the worth of FMW-ANN-GASA for the solution of singular nonlinear fractional order systems.This paper is partially supported by Ministerio de Ciencia, Innovación y Universidades grant number PGC2018-097198-BI00
and Fundación Séneca de la Región de Murcia grant number 20783/PI/18