Stability properties of Plethysm: new approach with combinatorial proofs (Extended abstract)

International audiencePlethysm coefficients are important structural constants in the theory of symmetric functions and in the representations theory of symmetric groups and general linear groups. In 1950, Foulkes observed stability properties: some sequences of plethysm coefficients are eventually constants. Such stability properties were proven by Brion with geometric techniques and by Thibon and Carré by means of vertex operators. In this paper we present a newapproach to prove such stability properties. This new proofs are purely combinatorial and follow the same scheme. We decompose plethysm coefficients in terms of other plethysm coefficients (related to the complete homogeneous basis of symmetric functions). We show that these other plethysm coefficients count integer points in polytopes and we prove stability for them by exhibiting bijections between the corresponding sets of integer points of each polytope.Les coefficients du pléthysme sont des constantes de structure importantes de la théorie des fonctions symétriques, ainsi que de la théorie de la représentation des groupes symétriques et des groupes généraux linéaires. En 1950, Foulkes a observé pour ces coefficients de phénomènes de stabilité: certaines suites de coefficients du pléthysme sont stationnaires. De telles propriétés ont été démontrées par Brion, au moyen de techniques géométriques, et par Thibon et Carré, au moyen d’opérateurs vertex. Dans ce travail, nous présentons une nouvelle approche, purement combinatoire, pour démontrer des propriétés de stabilité de ce type. Nous décomposons les coefficients du pléthysme comme somme alternées de coefficients de pléthysme d’un autre type (liés à la base des fonctions symétriques sommes complètes), qui comptent les points entiers dans des polytopes. Nous démontrons la stabilité des suites de ces coefficients en exhibant des bijections entres les ensembles de points entiers des polytopes correspondants

Aspects algébriques des polynômes de Macdonald

L'introduction des polynômes de Macdonald (Macdonald, 1988) comme des vecteurs propres associés à certains opérateurs reliés à la physique et comme une généralisation\ud de quelques-unes des bases les plus importantes de l'anneau des fonctions symétriques, a donné lieu à un nombre remarquable de résultats dans divers domaines de l'algèbre, la combinatoire et la géométrie algébrique, entre autres. Ce travail présente un des liens entre la théorie des fonctions symétriques et la théorie des représentations des groupes, donné par les polynômes de Macdonald et les modules de Garsia-Haiman. ______________________________________________________________________________ MOTS-CLÉS DE L’AUTEUR : Combinatoire algébrique, Combinatoire énumérative, Fonctions symétriques, Modules de Garsia-Haiman, Polynômes de Macdonald, Théorie des représentations

Transformation d'espèces via la dualité de Schur-Weyl

Partant d'une représentation linéaire du groupe symétrique Sn d'un ordre quelconque n, la dualité de Schur-Weyl construit une représentation polynomiale du groupe général linéaire GLm. On peut alors restreindre l'action de GLm au groupe de permutations. Il en résulte une représentation du groupe symétrique Sm, d'un autre ordre m. On transforme donc une représentation de Sn en une représentation de Sm pour un m quelconque. Le but de ce mémoire est de décrire explicitement cette transformation, et d'expliquer comment calculer le caractère de la représentation qui en résulte. À cette fin, en plus d'énoncer les grands résultats des théories des représentations linéaires et polynomiales, on révise les bases de la théorie des fonctions symétriques qui est fondamentale pour passer d'une représentation linéaire à une représentation polynomiale, et vice versa. On montre au passage comment certaines constructions classiques de l'algèbre linéaire correspondent à des représentations particulières. Par ailleurs, après avoir survolé la notion d'espèces de structures, on focalise notre attention sur les espèces tensorielles, et les foncteurs polynomiaux qui leurs sont associées. En termes des structures d'une espèce, on voit comment on peut décrire explicitement les éléments d'une base de l'espace obtenu par l'évaluation d'un foncteur polynomial, lorsque celui-ci correspond à l'espèce tensorielle obtenue par la linéarisation de l'espèce considérée. On explique de plus comment les Sn-modules peuvent être considérés comme des espèces tensorielles, et les GLm-modules polynomiaux comme l'évaluation des foncteurs polynomiaux associés à celles-ci.\ud ______________________________________________________________________________ \ud MOTS-CLÉS DE L’AUTEUR : caractère, espèce de structures, espèce tensorielle, foncteur polynomial, fonction symétrique, groupe général linéaire, groupe symétrique, représentation linéaire, représentation polynomial

Plethysms and operads

Altres ajuts: acords transformatius de la UABWe introduce the T-construction, an endofunctor on the category of generalized operads, as a general mechanism by which various notions of plethystic substitution arise from more ordinary notions of substitution. In the special case of one-object unary operads, i.e. monoids, we recover the T-construction of Giraudo. We realize several kinds of plethysm as convolution products arising from the homotopy cardinality of the incidence bialgebra of the bar construction of various operads obtained from the T-construction. The bar constructions are simplicial groupoids, and in the special case of the terminal reduced operad Sym, we recover the simplicial groupoid of Cebrian (Algebraic Geom Topol 21(1):421-446, 2021), a combinatorial model for ordinary plethysm in the sense of Pólya, given in the spirit of Waldhausen S and Quillen Q constructions. In some of the cases of the T-construction, an analogous interpretation is possible